Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright © John C. Hull 2009
10.20
其他Copula函数


高斯Copula函数只是定义了V1及V2 相关结构的某 一种形式，还有许多其他Copula函数可以 用于描 述相关结构. 其中一种Copula函数被称为Student t-copula 函数. 这种Student t-copula函数同髙斯Copula函数类似， 其不同之处只是U1 和 U2被假定为服从二元学生 t 分布.

如果满足这些变量满足因子模型的假设，则待估 计参数的个数减至N 个.
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10.13
因子模型(续)

假设变量U1, U2, ..., UN 均服从标准正态分布.. 在单因子模型中，每个 Ui (i = 1, 2, ..., N)均同一个 共同的因子 F 及另外一个相互独立的因子有关， 准确地讲:
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10.21
二元正态分布的5,000个抽样
5
4 3 2 1
N –1(0,99)=2,33
-5
-4
10.18
例
V2 0,1 0,2 0,3 ...

Percentile 2,00 8,00 18,00 ...

U2 -2,05 -1,41 -0,92 ...

当V2 < 0.1时， 对应于累积概率 为底为0.1高为0.2的三边形面积. 因此等于0.02 (= ½ × 0.1 ×0.2), 也就是 2%.

当V1 < 0.1时， 对应于累积概率 为底为0.1高为1的三边形面积. 因此等于0.05 (= ½ × 0,1 ×1), 也就是 5%.

V1=0.1的值被映射到标准正态分 布5%的分位数，其值为–1,64. 以此类推.
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10.6
检测相关系数(续)

第n天的协方差
covn = E(xn yn) – E(xn) E(yn)
常常假定变量每天的预期收益为0，因此这意味着 变量X及Y在第n天的协方差可以被简化为 E(xn yn).
f (V2 | V1 x) f (V2 )
其中f (∙) 是概率密度函数，则V1 和 V2相互独立。
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10.3
零相关



10.17
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例
V1 0,1 0,2 0,3 ...

Percentile 5,00 20,00 38,75 ...

U1 -1,64 -0,84 -0,29 ...
...

...
...
...
...

...
...
...
...
...

假设U1 和 U2 之间的相关系数 为 0.5. 上表显示出V1 和 V2之间的联合 分布.

V1 < 0,1及V2 < 0,1的概率同 U1 < –1,64 及 U2 < –2,05. 的概率相同. 如果 ρ = 0,5 在二元正态的情形 下，这一概率仅仅为 0,006.
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10.12
因子模型

假设N 个变量, Vi (i =1 , 2, ..., N),均服从一个多元正 态分布, 则需要顾及 N × (N –1)/2 [= (N × N – N)/2] 个相关系数.
如果两个变量的相关系数为0，就意味着变量毫无 关联吗？ 答案是否定的！ 例如, 有 V1 = –1; 0; +1有均等的可能; 若 V1 = –1 或 V1 = +1 则 V2 = +1; 若 V1 = 0 则V2 = 0; 在这里我们可以清楚地看到V2和V1有某种关联性， 但相关系数为零.
因此相关系数又可以写为:
cov(V1 ,V2 ) ρ . SD(V1 ) SD(V2 )
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10.2
独立性


如果两个变量中，其中任意一个变量的信息（观 测值）不会影响另一个变量的分布，那么两个变 量在统计上被定义为独立。 精确地讲，如果对于所有的x等式成立,
10.10
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二元正态分布


我们假定两个变量 V1 和 V2 服从二元正态分布. 变量 V1 和 V2 的无条件期望值和标准差分别为 μ1, μ2 e σ1, σ2,相关系数为 ρ. 假设已知 V1 有一个观测值 v1. 根据以上信息, 变量 V2 也服从正态分布， v1 μ1 其均值为 μ 2 ρσ 2 σ1 标准差为
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10.7
监测相关系更新方差类似的 方式更新协方差: covn λ covn1 (1 λ) xn1 yn1. 在 GARCH(1,1) 中, X 和 Y 协方差的更新由下式给 出: covn ω α xn1 yn1 β covn1 .
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10.15
通过Copula函数定义V1 和 V2 的 联合分布
V1 Mapping
V2 Mapping
U1
Correlation Assumption

V2=0.1的值被映射到标准正态分 布2%的分位数，其值为–2.05. 以此类推.
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10.19
例
V1 V2 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
10.4
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几种关联形式
E(V2) V1 E(V2) V1
(a)
E(V2)
(b) V1
(c)
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U2
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10.16
例
V1

V2

假定V1 和 V2的边际分布上图所 示的为三角分布.

两个变量均介于0〜1. V1 及 V2 和 U1 及 U2 之间的映射 为分位数与分位数 之间的一一 映射.

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10.8
半正定矩阵

方差协方差矩阵 Ω 满足内部一致性条件，如果此 矩阵为半正定矩阵，也就是对于任意向量w, 以下 不等式成立 w TΩw 0
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10.9
例

考虑一下矩阵:


0 0,9 1 1 0,9 . 0 0,9 0,9 1 可以这么这个矩阵不满足内部一致性:第1个变量 和第2个变量均同第3个变量高度相关，但是第1、 2个变量之间无关，. 如果令 w = (1, 1, –1), 可以验证此矩阵不满足半正 定条件.
U i ai F 1 ai2 Zi .