即x，y的相关系数为0。
因此，当变量间的关系是非线性时，用相关系数 来度量其关系是不可靠的。而Copula函数在一定的 范围内就可以避免这个问题。
2.2.基于Copula函数的相关性测度
★定理
对随机变量 x1 , x2 ,, xn 做严格的单调增变换，相应的 Copula函数不变。 ①Kendall秩相关系数τ
1 1 0 0
关系数ρ
◆Gini关联系数γ ◆上尾相关系数 ◆下尾相关系数
12
2
uvdCu, v 3 12 Cu, vduv 3
1 1 0 0
1 1
0 0
u v 1 u v dCu, v
1 2u C u , u U lim u 1 1 u
C u, u L lim u 0 u
3.常用的Copula函数
• 3.1.二元正态Copula函数
• 3.2.二元t-Copula函数
• 3.3.二元阿基米德Copula函数
3.1.二元正态Copula函数
C u, v;
1 u 1 v
◆ 阿基米德分布函数的定义:
Cu1, u2 ,, un 1 u1 u2 un
其中 称为阿基米德Copula函数的生成元，它是一 个凸的减函数。
◆常用的二元阿基米德Copula函数：
①Gumbel Copula函数 ②Clayton Copula函数 ③Frank Copula函数
i 1
2.2.基于Copula函数的相关性测度
◆定义：令 ri , si 为随机变量X,Y的样本 xi , yi ， i=1,2,...,n的秩，则
n 1 n ri si n 1 ri si 2 int n 2 i 1 i 1
1 1
1
1 2
ln v uv ln u
1
1 1 1 ln u ln v 1
生成元 ln t
G 1
G U 2 2
G L 0
主要内容
1 2 3 4 5
Copula函数的定义
Copula函数的相关测度 常用的Copula函数 Copula模型的构建 Copula模型的参数估计
1.Copula函数的定义
★什么是Copula函数？
形象地说，我们可以把Copula函数叫做“连接 函数”或“相依函数”，它是把多个随机变量的 联合分布与它们各自的边缘分布相连接起来的函 数。


r 2 s 2 2 rs exp 2 2 2 1 2 1 1



drds

1 u 2 1 v 2 2 1 u 1 v 1 u 2 1 v 2 exp cu, v; exp 2 2 2 1 2 1 1


◆Gini系数可以扩展到无限样本的情形，并有相应的 Copula函数给出：
2
1 1
0 0
u v 1 u v dCu, v
2.3.尾部相关性
◆ 在金融风险分析中，更有意义的是随机变量的尾部相
关性，这一特性用Copula函数来处理十分方便。考虑条 件概率 PY y | X x ，它可以用来讨论金融市场之间或 金融市场中各类资产之间的相关性。
t 1
C 2
Copula理论简介
引言
• 国际金融市场快速发展——市场间相互依存性加强。 金融创新不断涌现——金融风险越发集中和隐蔽。 • 相关性分析是多变量金融分析中的一个中心问题，资产定 价、投资组合、波动的传导和溢出、风险管理等问题都涉 及相关性分析。而常用的线性相关系数有具有一定的局限 性。如它要求变量间是线性的，且方差存在，但是金融市 场中出现的不少数据往往是厚尾分布，它们的方差有时并 不存在。 • 金融波动和危机的频繁出现使风险度量和多变量金融时间 序列分析成为国内外关注的焦点，原有的多变量金融模型 已不能完全满足发展的需要。如用Var来度量风险时须具 备一定的条件，它在非椭圆分布时就不可用。
2.2.基于Copula函数的相关性测度
◆定义： x1 , y1 和 x2 , y2 为独立同分的随机向量，
Px1 x2 y1 y2 0 Px1 x2 y1 y2 0
1 ，完全正相关； 1 ，完全负相关； 0 ，无法判定。


3.2.二元t-Copula函数
C u , v; ,
T1 u T1 v


s 2 t 2 2 st 1 2 2 1 2 1 1
2 12 2 2 1 2 1 2 1

1
1
Hale Waihona Puke 因此，基于Copula函数的尾部相关性可以表示为
U lim
1 2u C u , u u 1 1 u
C u, u u 0 u
L lim
相关性测度总结
◆Kendall秩相关
系数τ
◆Spearman秩相
4
1 1
0 0
Cu, vdCu, v 1
由于
P Y G 1 u , X F 1 u C u, u P Y G u | X F u 1 P X F u u

1
1




1 2u C u, u 同样可证 P Y G u | X F u 1 u

2
2
dsdt
2
2
cu, v; ,

1 2
2 2 2 2 1 2
1 i 1
2
2 i


2
2
3.3二元阿基米德Copula函数
0 0
Cu, vdCu, v 1
2.2.基于Copula函数的相关性测度
②Spearman秩相关系数ρ
x1 , y1 , x2 , y2 和x3 , y3 为独立同分布的随机向 ◆定义： 量，则
3Px1 x2 y1 y3 0 Px1 x2 y1 y3 0
u 0 1 1 u L lim P Y G u | X F
u 1
1 1 u U lim P Y G u | X F




若 L 0,1，X,Y称为下尾相关；若L 0，X,Y称为下尾独立。
2.3.尾部相关性
◆Sperman秩相关系数对严格单调增的变换也是不变 的，由相应的Copula函数来表示如下：
12
1 1
0 0
uvdCu, v 3 12 Cu, vduv 3
1 1 0 0
2.2.基于Copula函数的相关性测度
③Gini关联系数γ
τ和ρ只考虑了随机变量变化方向的一致性和不一致 性，而Gini关联系数则更细致地考虑了随机变量变化顺 序的一致性和不一致性。 设随机变量(X,Y)的n个样本为 x1, y1 , x2 , y2 ,, xn , yn ， xi 的名次 ri 称为它 将 x1 , x2 ,, xn 按从小到大顺序排列后， 的秩，同样 y i 在y1, y2 ,, yn中的名次（秩）记为 si 。 ri si 就应该很小，所以 如果x，y的变化是一致的， n ri si 反映了不一致的程度。如果变化方向相反，那么 ri i 1 si 应位于倒数第 ri 的 xi 位于 ri 位置时， 与 si 应处于两端， si n 1 ri 就应该 n 1 ri 的位置上，因此， 位置上，即第 n 很小，而 ri si n 1 就反映了相反变化的不一致程度。
3.3二元阿基米德Copula函数
①Gumbel Copula函数
1 1 ln v CG u, v; exp ln u
cG u, v;
CG u, v; ln u ln v
3.3二元阿基米德Copula函数
上尾部变化十分敏感
3.3二元阿基米德Copula函数
②Clayton Copula函数
Ccl u, v; u ccl
u, v; 1 uv u


v

1
1
1

v

1

2 1
生成元
PY y | X x 即反映了随 ◆当x,y趋于无穷大或足够大时，
机变量X与Y的尾部相关性。
2.3.尾部相关性
◆定义：(上尾相关与独立、下尾相关与独立)
令 X , Y ' 为连续随机变量的向量，边缘分布分别为F,G， 则 X , Y ' 的上尾相关系数为 若 U 0,1，X,Y称为上尾相关；若U 0，X,Y称为上尾独立。 下尾相关系数为
◆可以看到，对于单调增函数s(x)和t(y)，有
sx1 sx2 t y1 t y2 0 x1 x2 y1 y2 0
因此τ值对单调增的变换是不变的。
◆Kendall秩相关系数可以由Copula函数给出（证明略）：
4
1 1
F x1 , x2 ,, xn CF1 x1 , F2 x2 ,, Fn xn
若F1 , F2 ,, Fn 连续，则C ,, 唯一确定。
2.相关性测度
• 2.1.提出问题