选修4－4 坐标系与参数方程1．(2012·江苏卷)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．2．(2013·福建卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．3．(2013·郑州市质量预测)已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)求曲线C 在极坐标系中的方程； (2)求直线l 被曲线C 截得的弦长．4．(2013·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．5．设直线l 过点P (－3,3)，且倾斜角为5π6. (1)写出直线l 的参数方程；(2)设此直线与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |.6．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5＋32ty ＝12t(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；(2)设曲线C 与直线l 相交于P ，Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积．7．(2013·辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．8．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－3t ，y ＝2－4t(t 为参数)，它与曲线C ：(y －2)2－x 2＝1交于A 、B 两点．(1)求|AB |的长；(2)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，3π4，求点P 到线段AB 中点M 的距离．9．(2012·新课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3， (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．10．在极坐标系中，O 为极点，半径为2的圆C 的圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求圆C 的极坐标方程；(2)P 是圆C 上一动点，点Q 满足3OP →＝OQ →，以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，求点Q 的轨迹的直角坐标方程．详解答案：1.解析： 在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝(2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.2．解析： (1)由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝2， 所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1. 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．3．解析： (1)由已知得，曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 即x 2＋y 2－4x ＝0，化为极坐标方程是ρ＝4cos θ. (2)由题意知，直线l 的直角坐标方程为x ＋y －4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0x ＋y ＝4得直线l 与曲线C 的交点坐标为(2,2)，(4,0)，所以所求弦长为2 2. 4．解析： 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1，得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－1. 5．解析： (1)直线l 的参数方程是 ⎩⎨⎧x ＝－3＋t cos 5π6＝－3－32t ，y ＝3＋t sin 5π6＝3＋12t (t 为参数)．(2)消去曲线C 中的参数，得4x 2＋y 2－16＝0，把直线的参数方程代入曲线C 的普通方程，得4⎝⎛⎭⎫－3－32t 2＋⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＝16，化简为13t 2＋12(1＋43)t ＋116＝0. 由t 的几何意义，知|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|， ∴|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|＝11613. 6．解析： (1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，即曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ；由⎩⎨⎧x ＝5＋32t y ＝12t(t 为参数)，得y ＝13(x －5)，即直线l 的普通方程为x －3y －5＝0.(2)由(1)可知C 为圆，且圆心坐标为(2,0)，半径为2，则弦心距d ＝|2－3×0－5|1＋3＝32，弦长|PQ |＝222－⎝⎛⎭⎫322＝7，所以以PQ 为边的圆C 的内接矩形面积S ＝2d ·|PQ |＝37. 7．解析： (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， 由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1.所以⎩⎨⎧b2＝1，－ab2＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.8．解析： (1)把直线的参数方程代入曲线方程并化简得7t 2－12t －5＝0. 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝127，t 1t 2＝－57. 所以|AB |＝(－3)2＋(－4)2|t 1－t 2| ＝5(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝10717. (2)易得点P 在平面直角坐标系下的坐标为(－2,2)，根据中点坐标的性质可得AB 中点M 对应的参数为t 1＋t 22＝67. 由t 的几何意义可得点P 到M 的距离为|PM |＝(－3)2＋(－4)2·⎪⎪⎪⎪67＝307. 9．解析： (1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π2， C ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π， D ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)．(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．10．解析： (1)设M (ρ，θ)是圆C 上任一点，过点C 作CH ⊥OM 于H 点，则在Rt △COH 中，OH ＝OC ·cos ∠COH .∵∠COH ＝∠COM ＝⎪⎪⎪⎪θ－π3，OH ＝12OM ＝12ρ， OC ＝2，∴12ρ＝2cos ⎪⎪⎪⎪θ－π3， 即ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3为所求的圆C 的极坐标方程． (2)设点Q 的极坐标为(ρ，θ)，∵3OP →＝OQ →， ∴P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫13ρ，θ，代入圆C 的极坐标方程得13ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3， 即ρ＝6cos θ＋63sin θ，∴ρ2＝6ρcos θ＋63ρsin θ，令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 得x 2＋y 2＝6x ＋63y ，∴点Q 的轨迹的直角坐标方程为x 2＋y 2－6x －63y ＝0.。