2018衡水名师原创理科数学专题卷 专题十八 坐标系与参数方程考点58：极坐标与直角坐标（1-6题，13,14题，17-19题） 考点59：参数方程（7-12题，15,16题，20-22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．【来源】2017届山西太原市高三上期中 考点58 易 在极坐标系中，点()1,0与点()2,π的距离为 （ ）A.1B.32．【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷）考点58 中难 下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（ ）.（A ）θρcos 56+= （B ）65sin ρθ=+ （C ）θρcos 56-= （D ）65sin ρθ=-3．【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（江西卷） 考点58 中难 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（ ）A.1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B.1,0cos sin 4πρθθθ=≤≤+C.cos sin ,02πρθθθ=+≤≤D.cos sin ,04πρθθθ=+≤≤4．【来源】2015届上海市闸北区高三下学期期中练习 考点58 中难 在极坐标系中，关于曲线:4sin 3C πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的下列判断中正确的是 A 、曲线C 关于直线56πθ=对称 B 、曲线C 关于直线3πθ=对称C 、曲线C 关于点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D 、曲线C 关于极点()0,0对称 5．【来源】2015届安徽省淮南一中等四校高三5月联考 考点58 中难 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos sin x a y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()4πρθ-=.若直线l 与圆C 相切，则实数a 的取值个数为（ ）A .0 B.1 C.2 D.3 6．【来源】2016届重庆市巴蜀中学高三10月月考 考点58 难在极坐标系中，设曲线12sin C ρθ=：与22cos C ρθ=：的交点分别为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为（ ）A ．1sin cos ρθθ=+B ．1sin cos ρθθ=-C ．()4R πθρ=∈D ．3()4R πθρ=∈7．【来源】2014届天津市蓟县马伸桥中学高三5月月考 考点59 易直线2x t y at a =⎧⎨=+⎩(t 为参数)与曲线ρ=1的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定 8．【来源】2016届四川省成都市高三模拟 考点59 易若曲线02sin 301sin 30x t y t ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩ （t为参数）与曲线ρ=B ,C 两点，则||BC 的值为（ ）．A ．72 BC ．27D ．30 9．【来源】2015-2016学年河北省黄骅中学高二下期中 考点59 中难参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=21y t t x （t 为参数）所表示的曲线是 （ ）A ．一条射线B ．两条射线C ．一条直线D ．两条直线10．【来源】2013届中国人民大学附属中学高考冲刺十 考点59 中难若直线l 的参数方程为13()24x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线l 倾斜角的余弦值为（ ）A ．45-B ．35-C ．35D ．4511．【来源】2014届江西师大附中高三三模 考点59 中难直线l 的参数方程是x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中t 为参数），圆C 的极坐标方程)4cos(2πθρ+=，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是（ ）A ．2 Ｂ．2 C ．3 D．12．【来源】2017届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考 考点59 难 已知实数满足，则的最大值为（ ）A. 6B. 12C. 13D. 14第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

） 13．【2017天津，理11】考点58 易在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________. 14.【2017北京，理11】 考点58 中难在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为（1,0），则|AP |的最小值为___________.15．【来源】2016届上海市行知中学高三第一次月考 考点59 易 方程⎩⎨⎧+=+=θθθ2sin 1cos sin y x （θ为参数）所表示曲线的准线方程是__________.16．【来源】2015-2016学年宁夏六盘山高中高二下第二次月考 考点59 中难直线y x b =+与曲线cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，且22ππθ-≤≤）有两个不同的交点，则实数b 的取值范围___________．三、解答题（本题共6小题，共70分。

）17. （本题满分10分）【来源】山西省大同市灵丘豪洋中学2017届高三下学期第三次模拟考试 考点58 中难 已知半圆C 的参数方程为{1x cos y sin αα==+，其中α为参数，且,22ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. （1）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆C 的极坐标方程；（2）在（1）的条件下，设T 是半圆C上的一点，且OT =，试写出T 点的极坐标.18.（本题满分12分）【来源】辽宁省鞍山市2017届高三下学期第一次质量检测 考点58 中难 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为{x acos y bsin φφ==（0a b >>， φ为参数），在以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线1C上的点1,2M ⎛ ⎝⎭对应的参数3πφ=，射线3πθ=与曲线2C 交于点1,3D π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点()1,A ρθ， 2,2B πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭在曲线1C 上，求221211ρρ+的值.19．（本题满分12分）【2017课标II ，理22】 考点58 中难在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=。

（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值。

20．（本题满分12分）【2017课标1，理22】考点59 易在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la. 21．（本题满分12分）【2017课标3，理22】 考点59 中难在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.22.（本题满分12分）【来源】河北省石家庄市高三数学一模考试 考点59 难在平面直角坐标系，将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 1C 的极坐标方程为2ρ=．（Ⅰ）求曲线2C 的参数方程；（Ⅱ）过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A 、C 和B 、D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线1l 的普通方程．参考答案1．【答案】B【解析】在极坐标系中，作出点()1,0与点()2,π，可得两点之间的距离为123d =+=，故选B. 2．【答案】D【解析】依次取π3π0,,π,22θ=，结合图形可知只有65sin ρθ=-满足，选D. 3．【答案】A【解析】根据cos ,sin ,0,[0,2]x y ρθρθρθπ==>∈，()101y x x =-≤≤得：[0,1],sin 1cos ,(0cos 1,0sin 1,)y ρθρθρθρθ∈=-≤≤≤≤解得1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+，选A.4．【答案】A .【解析】由4sin 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭得22sin cos ρρθθ=-即(()2214x y +-=，所以曲线C 是圆心为()，半径为2的圆，所以曲线C 关于直线56πθ=对称，关于点52,6π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 5．【答案】C【解析】圆C 的普通方程为22()1x a y -+=，直线l 的直角坐标方程为10x y -+=，因为直线l 与圆C 1,1a ==-±故选C . 6．【答案】A【解析】曲线θρsin 2:1=C 的直角坐标方程y y x 222=+即1)1(22=-+y x ，曲线θρcos 2:2=C 的直角坐标方程x y x 222=+即1)1(22=+-y x ，两曲线均为圆，圆心分别)0,1(),1,0(21C C ，所以线段AB 的中垂线为两圆心连线，其直角坐标方程为1=+y x ，化为极坐标方程得1sin cos ρθθ=+，故选A ．7．【答案】D【解析】在平面直角坐标系下，2x ty at a =⎧⎨=+⎩表示直线2y ax a =+，ρ=1表示半圆221(y 0)x y +=≥，由于a 的取值不确定，所以直线与半圆的位置关系不确定，选D.8．【答案】D【解析】将直线02sin 301sin 30x t y t ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩化为普通方程为1=+y x ，曲线ρ=的直角坐标方程为822=+y x ；圆心到直线的距离2221=-=d ，根据圆中特殊三角形，则302182222=-=-=d r BC ，故选D ． 9．【答案】B【解析】12x t t =+≥或12x t t=+≤-,所以表示的曲线是两条射线 10．【答案】B【解析】1312(),2434x t x y t y t=+⎧--∴=⎨=-⎩ 为参数，故直线l 的方程为43100x y +-= ，所以倾斜角θ的正切值为4tan 3θ=-，所以,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以直线l 倾斜角的余弦值为cos θ=35=-．11．【答案】D【解析】将圆的极坐标方程和直线l 的参数方程转化为普通方程221x y ⎛⎛+=⎝⎭⎝⎭和0x y -+=，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l 的距离d=5，要使切线长最小，必须直线l 上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心到直线的距离d ，求出d ，由勾股定理可求切线长的最小值．12．【答案】B 【解析】实数满足的区域为椭圆及其内部，椭圆的参数方程为（为参数），记目标函数，易知，故．设椭圆上的点，则，其中，所以的最大值为12，故选B ． 13．【答案】2【解析】直线为210y ++= ，圆为22(1)1x y +-= ，因为314d =< ，所以有两个交点 14．【答案】1【解析】将圆的极坐标方程化为普通方程为222440x y x y +--+= ，整理为()()22121x y -+-= ，圆心()1,2C ，点P 是圆外一点，所以AP 的最小值就是211AC r -=-=.15．【答案】14y =-【解析】利用同角三角函数的基本关系，消去参数θ，参数方程 ⎩⎨⎧+=+=θθθ2sin 1cos sin y x （θ为参数）化为普通方程可得()202≤≤=y y x ，表示抛物线的一部分，故其准线方程为14y =-. 16．【答案】(1⎤-⎦【解析】曲线cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，且22ππθ-≤≤）的普通方程为221(0)x y x +=≥，它是半圆，单位圆在y 右边的部分，作直线y x b =+，如图，它过点(0,1)A -时，1b =-，当它在下方与圆相切时，b =(1]b ∈-．17.【答案】（1）2sin ρθ=， 0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（2）3πθ=【解析】（1）根据半圆C 的参数方程{1x cos y sin αα==+，其中α为参数，且,22ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得圆的普通方程为： ()2211x y +-= ()01x ≤≤，所以，半圆C 的极坐标方程为： 2sin ρθ=， 0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（2）因为OT =2sin θ， 0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则解得3πθ=.故点T的极坐标为3π⎫⎪⎭.18． 【答案】（1）()2211x y -+=（2）54【解析】（Ⅰ）将M ⎛ ⎝⎭及对应的参数3πϕ=，代入{x acos y bsin ϕϕ==，得133acosbsin ππ=，即2{1a b ==，所以曲线1C 的方程为2{x cos y sin ϕϕ==（ϕ为参数），或2214x y +=.设圆2C 的半径为R ，由题意，圆2C 的方程为2cos R ρθ=，（或()222x R y R -+=）.将点1,3D π⎛⎫⎪⎝⎭代入2c o s R ρθ=，得12cos3R π=，即1R =.（或由1,3D π⎛⎫ ⎪⎝⎭，得12D ⎛ ⎝⎭，代入()222x R y R -+=，得1R =），所以曲线2C 的直角坐标方程为()2211x y -+=.（Ⅱ）因为点()1,A ρθ， 2,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在曲线1C 上，所以222211cos sin 14ρθρθ+=， 222sin 4ρθ+222cos 1ρθ=，所以221211ρρ+ 22cos sin 4θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22sin 5cos 44θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭. 19．【答案】(1)()()22240x y x -+=≠；(2) 2 【解析】（2）设点B 的极坐标为()(),0B B ραρ>,由题设知2,4cos B OA ρα==,于是OAB △面积1sin 24cos sin 32sin 232B S OA AOB ρπααπα=⋅⋅∠⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭≤ 当12πα=-时，S取得最大值2所以OAB △面积的最大值为220．（2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d 当4a ≥-时，d8a =；当4a <-时，d=16a =-. 综上，8a =或16a =-. 21．【答案】(1) ()2240x y y -=≠；【解析】设(),p x y ,由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y -=≠.所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠.22．【答案】(1) 2{x cos y sin θθ==（θ为参数）．（2）14y x = 【解析】（Ⅰ） 2214x y +=， 2{x cos y sin θθ==（θ为参数）． （Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，设点()2cos ,sin A q q ， 8cos 4sin l θθ=+ ()θθθϕ⎫==+⎪⎭， 且cosϕ sin ϕ= 所以，当22k πθϕπ+=+（k Z ∈）时， l 取最大值， 此时22k πθπϕ=+-，所以， 2cos 2sin θϕ= sin cos θϕ= 此时，A ， 1l 的普通方程为14y x =．。