当n=1时, a1=1 不满足上式
因此 an=
1 (n=1) 4n －2(n≥2,
n N* )
不要遗漏n=1的情形哦！
2,已知a 数 n中 列 a， n0,Sn是数列 n项 的的 前和，
且 ana1n 2Sn,求 an
解 :由an
1 an
2Sn , 得 an2
1
2Sn
• an,
又 an S n S n1 (n 2)
代入上式化简得 S n 2 S n12 1,由已知 S1 a1 1
数列 Sn2 是等差数列，公差为 1，首项为 1，
Sn 2 1 （ n 1）• n n, an 0, S n 0
S n n , n 2时， an S n S n1 n n 1
而 n 1时， a1 1也适合上式
转化为 an xqn 是公比p为 的等比数列（此法 用只 于p适 q,若
pq只能用方法一解决）
例7：已知数a列 n中，a1
5 6,an1
1 3an
(12)n1,求an
解法一：两边同 1） n除 1得以 an（ 1 2 an
2
(1)n1 3 (1)n
1,令bn
an (1)n
2
2
2
bn1
32bn
1,即bn1332（bn
2
六待定系数法（构造法） 形an 如 1pna q(p0,p1)的递推
求法 :待定系数 .令a法 n1p(an ), 其中 为待定系 ,化数为等比数列 {an }求通.项
例6：数 列 a n 满 足 a 1 1 , a n 1 2 a n 1 , 求 a n .
解：由题意可知：an+1+1=2(an+1) 所以数列{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比 的等比数列. 所以an+1=2n,即an=2n-1
类型七、相除法形如 an1A anBAn1的递推式
例8：数 列 an 满 足 : a13,an13an3n1, 求 an通 项 公 式 .
解：Qan 3an13n
an 3n
a3nn11 1
a3nn是以a31为首项，以1为公差的等差数列
an 3n
a1 （n-1）1n 3
an n3n
【变式迁移】
1
n
注意：累乘法与累加法有些相
似，但它是n个等式相乘所得
类型四、累乘法形如 an1f(n)an 的递推式
练习1：已 知 a n 中 ， a 1 2 , a n 1 3 n a n , 求 通 项 a n .
解： an 3n1, an1
an1 3n2 , an2
an2 3n3 , an3
3） ，bn
4（2） n13 33
an (1)n
34（32） n13,an
2(1)n 3
3(1)n 2
2
方法二：令an1
x
•
( 1 )n1 2
1 3
(an
x
•
(1)n 2
)
an1
1 3
an
(
1)x 3
•
(
1 2
)
n1与an1
1 3
an
( 1 )n1比较得 2
(
1)x 3
1,
x
3, an1
3
( 1 )n1 2
（1）求数 {an列 }的通项公式；
an6n5.
二、公式法（利用an与Sn的关系an=
或利用等差、等比数列的通项公式）
S1 (n=1) Sn－Sn－1(n≥2)
练习：1.｛an｝的前项和Sn=2n2－1，求通项an
解：当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(2n2－1) －[2(n－1)2－1] =4n－2
∴an=
2·3n n
（n≥2） 而n=1时,a1=9
9 (n=1)
∴an=
2·3n n
（n≥2,
n N）*
注意n的范围
三、累加法 (递推公式形如an+1=an+ f(n)型的数列)
例3.已知{an}中, an+1=an+ n (n∈N*),a1=1,求通项
解an:由an+1=an+ n (n∈N*) 得 an+1 － an= n (n∈N*)
特点
逐项代换 例5.已知{an}中, an= 3n－1+an－1 , (n≥2),a1=1,求通项an.
解: ∵ an= 3n－1+an－1 (n≥2)
∴ an= 3n－1+an－1 = 3n－1 +3n－2+ an－2
=3n－1 +3n－2+ 3n－3 + an－3
= 3n－1 +3n－2+ 3n－3 +···+3+ a1 =3n－1 +3n－2+ 3n－3 +···+3+1 = 3n －1
数列 a n 的通项公式是 an n n 1
3.已知{an}中，a1+2a2+3a3+ •••+nan=3n+1,求通项an
解: ∵ a1+2a2+3a3+···+nan=3n+1 (n≥1) ∴ a1+2a2+3a3+···+(n－1)an－1=3n（n≥2）
两式相减得： nan=3n+1－3n=2·3n
解：Q an1 an 2an1an
11 2
an an1
1 an
是以 1 a1
为首项，以-
2为公差的等差数列
1 1 （n-1）(-2) -2n 5 4n5
an a1
22
2
an
4n 5
形如递推 an1式 p为 •anf(n)，（ f(n)为一次或二次函数 方法一a： n1如 p•ana•nb,令an1x(n1)yp(anxny)
解出 x,y转化a为 nxny以公比 p的为等比数f列 (n)， an2若 bnc
转化a为 nAn2BnC以公比 p的为等比数列
例；数 an列 满足 a14,an 3an12n1(n2),求an
解：令an xn 3(an1 x(n 1) y)(n 2), an 3an1 2xn3y 3x与an 3an1 2n 1
an3 3n4 an4
.......
a3 32 , a2 3
a2
a1
以上各式相乘得an a1 3 32 33 3n2 3n1
2 3123(n-1)
n( n-1)
23 2
n( n-1)
an 2 3 2
四、累乘法适用于an+1=an f(n)型的递推公式
练习2
五、迭代法 (递推公式形如an+1=an+ f(n)型的数列)
11
1
a na 1 (n 1 )2 2 n 1 a n2 n 1
练习 已 知{数 an}中 列 ,a11,Sn2SSn n111, 求 {an}的通项 . 公式
八取倒法 形如an1anpan1an的递推式
例10已 ： 知 a 1 2 , a n 0 , 且 a n 1 a n 2 a n 1 a n , 求 a n .
例1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分 别是下列各数。
1、 3 1 , 5 1 , 7 1 , 9 1 ,L ; 4 8 16 32
an2n12n11
2、 2,3,4, 5,6. 3 8 1524 35
an（-1） n（ n n1） 12-1
练习：
1、写出下列数列的一个通项公式: (1) 9, 99, 999, 9999, ……
n- 1n n2n2
1
2
2
求法：累加法 an1anf(n)
练习： 在数{列 an}中,已知 a1 1,当n2时, 有an an12n1(n2),求数列 的通项公 . 式
四、累乘法 (形如an+1 =f(n)•an型)
例4.已知{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12 +an+1an－nan2=0, 求{an}的通项公式
解: ∵(n+1)an+12 +an+1an－nan2=0 ∴( an+1+ an)[(n+1) an+1 － nan]=0
∵ an+1+ an>0
∴ (n+1) an+1 = nan
∴ an1 n
∴
an an=
an an1
n1
an1 an2
(n≥1)
... a 2 a1
a1
n1n2n3..2 .11 n n1n2 32
练 : 已 知 a n 中 ， a 1 2 , a n 1 3 a n + 2 , 求 通 项 a n .
反思：待定系数法如何确定x？
待定系数法： 即
令an+1+x=p(an+x) an+1=pan+px-x
an(1根据pq已1)知pnx1=pq1
所以数列{ a n
q p1
}是等比数列.
1 3
(an
3
(1)n 2
)
数列an
3
(1)n 2
是以
1 3
为公比，以a1
3
(
1) 2
2 3
为首项
的等比数列 an
3 ( 1 )n 2
2 3
（1）n1, 3
an
2 (1)n 3
3(1)n 2
反思 形 a n 1 p 如 n a f( n )p (0 ,p 1 ) 求法 :待定系数法 apnn11或 apnn化 fp(n为 n1)