三角函数的图象与性质
A组基础题组
1.y=|cos x|的一个单调增区间是( )
A.-
B.[0,π]
C.
D.
2.下列函数中,周期为π的奇函数为( )
A.y=sin xcos x
B.y=sin2x
C.y=tan 2x
D.y=sin 2x+cos 2x
3.已知函数f(x)=sin-1(ω>0)的最小正周期为,则f(x)的图象的一条对称轴的方程是( )
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=
4.(2018江西宜春中学与新余一中联考)设函数
f(x)=sin-cos的图象关于原点对称,则角
θ=( )
A.-
B.
C.-
D.
5.(2017河北石家庄教学质量检测(二))已知函数f(x)=sin, f '(x)是f(x)的导函数,则函数y=2f(x)+f '(x)的一个单调递减区间是( )
A. B.- C.- D.-
6.函数y=3-2cos的最大值为,此时x= .
7.比较大小:sin-sin-.
8.已知函数f(x)=cos,其中x∈∈且,若f(x)的值域是--,则m的最大值是.
9.已知函数y=cos.
(1)求函数的最小正周期;
(2)求函数图象的对称轴及对称中心.
10.已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+2cos2x-2.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)当x∈时,求函数f(x)的最大值和最小值.
B组提升
题组
1.(2017湖北武汉武昌调研考试)若f(x)=cos 2x+acos在上是增函数,则实数a的取值范围为( )
A.[-2 +∞)
B.(-2 +∞)
C.(-∞ -4)
D.(-∞ -4]
2.已知函数f(x)=2sin ωx在-上的最小值为-2,则ω的取值范围是( )
A.-∞ -∪[6 +∞)
B.-∞ -∪∞
C.(-∞ -2]∪[6 +∞)
D.(-∞ -2]∪∞
3.(2017安徽合肥第二次教学质量检测)已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;
(2)讨论函数f(x)在上的单调性.
4.已知f(x)=2sin+a+1.
(1)若x∈R 求f(x)的单调递增区间;
(2)当x∈时,f(x)的最大值为4,求a的值;
(3)在(2)的条件下,求满足f(x)=1且x∈[-π,π]的x的取值集合.
答案精解精析
A组基础题组
1.D 作出y=|cos x|的图象(如图).易知是y=|cos x|的一个单调增区间.故选D.
2.A y=sin2x为偶函数;y=tan 2x 的周期为;y=sin 2x+cos 2x=sin
为非奇非偶函数,故B、C、D都不符合题意,故选A.
3.A 依题意,得=,|ω|=3,
又ω>0,所以ω=3.
令3x+=kπ+(k∈Z)
解得x=+(k∈Z)
当k=0时,x=.
因此函数f(x)的图象的一条对称轴的方程是x=.
4.D ∵f(x)=2sin-,且f(x)的图象关于原点对
称 ∴f(0)=2sin-=0,即sin-=0 ∴θ-=kπ(k∈Z) 即
θ=+kπ(k∈Z) 又|θ|< ∴θ=.
5.A 由题意,得f '(x)=2cos,所以y=2f(x)+f '(x)=2sin
+2cos=2sin=2sin.由
2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z) 得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z) 所以函数
y=2f(x)+f '(x)的一个单调递减区间为,故选A.
6.答案5;+2kπ(k∈Z)
解析函数y=3-2cos 的最大值为3+2=5,此时x+=π+2kπ(k∈Z) 即x=+2kπ(k∈Z).
7.答案>
解析因为y=sin x在-上为增函数且->-,故sin->sin-.
8.答案π
解析由x∈,可知≤3x+≤3m+.
∵f=cos=-,且f=cos π=-1 ∴要使f(x)的值域是--,需要π≤3m+≤,即≤m≤,则m的最大值是.
9.解析(1)由题可知ω=,T==8π,
所以函数的最小正周期为8π.
(2)由x+=kπ(k∈Z)
得x=4kπ-(k∈Z)
所以函数图象的对称轴为x=4kπ-(k∈Z).
由x+=kπ+(k∈Z)
得x=4kπ+(k∈Z)
所以函数图象的对称中心为(k∈Z).
10.解析(1)f(x)=sin 2x+cos 2x=sin ,
令2kπ-≤2x+≤2kπ+ k∈Z
则kπ-≤x≤kπ+ k∈Z.
故f(x)的单调递增区间为- k∈Z.
(2)∵x∈,
∴≤2x+≤,
∴-1≤sin≤,
∴-≤f(x)≤1
∴当x∈时,函数f(x)的最大值为1,最小值为-.
B组提升题组
1.D f(x)=1-2sin2x-asin x,令sin x=t t∈,则
g(t)=-2t2-at+1 t∈,因为f(x)在上是增函数,所以g(t)在
上单调递增,所以-≥1 即a≤-4,故选D.
2.D 当ω>0时,由题意知-ω≤-,
即ω≥;
当ω<0时,由题意知ω≤- ∴ω≤-2.
综上可知,ω的取值范围是(-∞ -2]∪∞.
3.解析(1)∵f(x)=sin ωx-cos ωx=·sin-,且T==π ∴ω=2.于是f(x)=sin-.令2x-=kπ+(k∈Z) 得x=+(k∈Z) 即函数f(x)图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).
(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z) 得函数f(x)的单调递增区间为
-(k∈Z).注意到x∈,所以令k=0,得函数f(x)在上的单调递增区间为,同理,其单调递减区间为.
4.解析(1)f(x)=2sin +a+1,
由2kπ-≤2x+≤2kπ+ k∈Z
可得x∈-(k∈Z)
所以f(x)的单调递增区间为-(k∈Z).
(2)易知在上,当x=时,f(x)取最大值,则f=2sin +a+1=a+3=4,所以a=1.
(3)由f(x)=2sin+2=1
得sin=-,
则2x+=+2kπ或2x+=π+2kπ k∈Z 即x=+kπ或x=+kπ k∈Z
又x∈[-π,π],
所以x=-,-,,,
所以x的取值集合为-,-,,.。