第一章集合与常用逻辑用语
第四节充分条件和必要条件
一、充分条件和必要条件
当命题“若A则B”为真时，A称为B的充分条件，B称为A的必要条件。
二、充分条件、必要条件的常用判断法
1.定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断B=>A或者A=>B 是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可
2.转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断。
3.集合法
在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：
若A⊆B，则p是q的充分条件。
若A⊇B，则p是q的必要条件。
若A=B，则p是q的充要条件。
若A⊈B，且B⊉A，则p是q的既不充分也不必要条件。
三、知识扩展
1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系(尤其是两种等价关系)的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：
(1)交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题;
(2)同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题;
(3)交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。
2.由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，他们之间存在这密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑“正难则反”的原则，即在正面判断较难时，可转化为应用该命题的逆否命题进行判断。
一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个。
知识点针对训练
1．选择题
1.使x>1成立的一个必要条件是( A )
A.x>0
B.x>3
C.x>2
D.x<2
2.已知p:x2-x<0,那么命题p的一个充分条件是( C )
A.0<x<2
B.-1<x<1
C. <x<
D. <x<2
3.下列p是q的必要条件的是( D )
A.p:a=1,q:|a|=1
B.p:a<1,q:|a|<1
C.p:a<b,q:a <b+1
D.p:a>b,q:a>b+1
4.下列所给的p,q中,p是q的充分条件的个数是( C )
①p:x>1,q:-3x<-3;②p:x>1,q:2-2x<2;
③p:x=3,q:sinx>cosx;④p:直线a,b不相交,q:a∥b.
A.1
B.2
C.3
D.4
5.如果不等式|x-a|<1成立的充分但不必要条件是 <x< ,则实数a的取值范围是( B )
A. <a<
B. ≤a≤
C.a> 或a<
D.a≥或a≤
2.填空题
1.集合A= ,B={x||x-b|<a},若“a=1”是“A∩B≠”的充分条件,则实数b的取值范围是_____________.
答案:(-2,2)
2.函数f(x)=a- 为奇函数的必要条件是_________.
答案:a=1
3.若向量a=(x,3),x∈R,则|a|=5的一个充分条件是____________.
答案:x=4(或x=-4)
3.解答题
1.分别判断下列“若p,则q”命题中,p是否为q的充分条件或必要条件,并说明理由.
(1)p:sinθ=0,q:θ=0.
(2)p:θ=π,q:tanθ=0.
(3)p:a是整数,q:a是自然数.
(4)p:a是素数,q:a不是偶数.
【解析】(1)由于p:sinθ=0⇐q:θ=0,p:sinθ=0 q:θ=0,
所以p是q的必要条件,p是q的不充分条件.
(2)由于p:θ=π⇒q:tanθ=0,p:θ=π q:tanθ=0,
所以p是q的充分条件,p是q的不必要条件.
(3)由于p:a是整数 q:a是自然数,
p:a是整数⇐q:a是自然数,
所以p是q的必要条件,p是q的不充分条件.
(4)由于p:a是素数 q:a不是偶数,
所以p是q的不充分条件,p是q的不必要条件.
2.若p:-2<a<0,0<b<1;q:关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于
1的不等正根,则p是q的什么条件?
【解析】若a=-1,b= ,则Δ=a2-4b<0,关于x的方程x2+ax+b=0无实根,故p q.
若关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,不妨设这两个根为x1,x2,且0<x1<x2<1,
则x1+x2=-a,x1x2=b.
于是0<-a<2,0<b<1,即-2<a<0,0<b<1,故q⇒p.
所以,p是q的必要条件,但不是充分条件.
3.已知p:x 2-2x-3<0,若- a<x-1<a是p的一个必要条件但不
是充分条件,求使a>b恒成立的实数b的取值范围.
【解析】由于p:x2-2x-3<0⇔-1<x<3,
-a<x-1<a⇔1-a<x<1+a(a>0).
依题意,得{x|-1<x<3} {x|1-a<x<1+a}(a>0),
所以解得a>2,
则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b≤2,
即(-∞,2].
4.已知命题p:m∈[-1,1],命题q:a2-5a-3- ≥0,若p是q的充分条件,求a的取值范围.
【解析】因为p是q的充分条件,
所以当-1≤m≤1时,a2-5a-3≥恒成立,
又当-1≤m≤1时, ≤3,所以a2-5a-3≥3,
所以a2-5a-6≥0,所以a≥6或a≤-1.。