3、空间一般力系内容提要力在轴上的投影力在轴上的投影祥见表3-1表3-1 力在轴上的投影力对点的矩和力对轴的矩有关力矩的概念祥见表3-2空间一般力系的简化1、空间任意力系向任一点简化空间一般力系向简化中心简化，可得主矢和主矩，其结果见表3-3。

2、空间一般力系简化的最后结果空间一般力系简化的最后结果见表3-4空间一般力系的平衡空间一般力系是力系的最一般形式，其平衡的充要条件是，力系的主矢和对任一点O 的主矩都等于零，即0='R F ，00=M空间力系的平衡方程见表3-5。

解题要点1、 空间一般力系的题型可分为空间力系的简化问题和平衡问题两大类。

物体在空间力系作用下的平衡问题的解题方法和步骤与平面问题基本相同。

但求解空间问题时，要有清晰的空间概念，熟练掌握力在轴上的投影和力对轴之矩。

3、为了简化计算，在选取投影抽与力拒轴时，投影轴要与尽可能多的未知力或其所 在的平面相垂直，力矩轴应与尽可能多的未知力相交或平行．投影轴不一定要彼此垂直， 也不一定要与力矩轴相重合。

在列平衡方程时，可用适当的力矩方程取代投影方程，即 可采用四矩式、五矩式或六矩式的平衡方程，只要所建立的平衡方程是彼此独立的，就能 解出全部未知量。

4.解空间力系平衡问题时，有时采用将该力系向三个相互垂直的坐标平面投影的方 法，将空间力系化为三个平面力系分别求解。

采用此法时，必须注意各力在投影面上投 影的大小、方向及作用点的位置。

范例分析例3-1 图3-1(a)为直角三棱柱。

其上作用力系：:F 1=200 N,22F F '==100N ，试求该力系在各轴上的投影及对轴之矩。

图3-1解解题思路： F 1在轴上的投影可按直接投影法计算，对轴之矩可用力对轴之矩的解析式计算；22F F '与组成一个空间力偶矩矢M 1=F 2×=20N ·m ，如图（b ）所示，对轴之矩直接投影即可。

)N ( 28.742922004.03.02.02.02221=⨯=++=F F x)N ( 56.1482942002941=⨯==F F y)N ( 41.1112932002931-=⨯-=-=F F z)m N ( 56.44041.1114.0)(⋅-=-⨯-=-=y z x zF yF M)m N ( 28.341241.1112.053)(1⋅=+⨯=+-=M xF zF M z x y 154)(M yF xF M x y z +-=)m N ( 161628.44.056.1482.0⋅=+⨯-⨯=7例3-2均质矩形板ABCD 重P=200 N ，作用在其对角线交点上，矩形板用球形铰链A 和蝶形铰链B 固定在墙上，并用绳子CE 维持在水平位置如图3-2（a ）所示，若α=30°，试求绳子的拉力以及铰链A,B 的反力。

图3-2解解题思路：取矩形板为研究对象，空间球形铰链A 的约束反力可用三个互相垂直的分力来表示。

而蝶形铰链轴向的约束反力和垂直于轴向的约束力偶可以忽略，故约束反力的作用线在垂直于铰链轴的平面内。

作用在板上的力组成一个空间任意力系，它有六个平衡方程，可求解六个未知力。

（1）取矩形板为研究对象，受力图如图（b ）所示。

为便于计算绳子拉力F 对x ，y 轴之矩，可将力F 分解成平行于z 轴的分力F z =F sin30°，与在板平面内的分力F xy =F cos30°。

（2）建立空间任意力系的平衡方程：0)(=∑F m z ， 0=Bx F （1） 0)(=∑F m y ，030sin 21=⋅︒-⨯BC F BC P （2） N F 200=0)(=∑F m x ，030sin 21=⋅︒+⨯-⋅CD F AB P AB F Bz （3）0=Bz F0=∑X ，060cos 30cos =︒⋅︒-+F F F Bx Ax （4）N 6.86=Ax F0=∑Y ， 030cos 30cos =︒⋅︒-F F Ay （5）N 150=Ay F0=∑Z ， 030sin =︒+-+F P F F Bz Az （6）N 100=Az F[讨论]空间力系的平衡方程建立次序可以随意，一般，首先建立的是不用解联立方程的力矩平衡方程。

应尽可能使一个方程包含一个未知量，使未知量从方程中直接解出。

最后还可以用非独立的平衡方程来校核所得约束力。

如对DB 线用0=∑DB M 平衡方程来校核力F ，F Az 的例3-3 图3-3（a ）所示电杆OD 高7m ，D 处受水平力F =10kN 作用。

O 处视为球铰支座，A 处以钢索AB 、AC 与地面相连，略去电杆自重。

试求钢索拉力及支座反力。

解：解题思路：电杆OD 受已知力F 、钢索的拉力F 1与F 2以及球铰支座O 处的反力F Ox 、F Oy 、F Oz 作用，计有5个未知量，可由空间一般力系平衡方程的基本形式求解。

OD 杆的受力如图（b ）所示。

对图示坐标系，列平衡方程图3-30=∑X ， 0sin 45cos sin 45cos 21=+︒-︒Ox F a F a F （1）0=∑Y ， 0cos 45cos cos 45cos 21=+︒+︒+-Oy F a F a F F （2）0=∑Z ， 045cos 45cos 21=︒-︒-F F F Oz （3） 0)(=∑F m x ， 0445sin 445sin 721=⋅︒-⋅︒-⋅F F F （4）0)(=∑F m y 0345sin 345sin 21=⋅︒-⋅︒F F （5）由图示几何关系知：53sin =a ，54cos =a 联立求解上述5个平衡方程，可得kN 37.1221==F F ，F Ox =0，F Oy =–4 kN ，F Oz = kN其中，负号表示约束反力的实际方向与假设的方向相反。

讨论 为了避免解联立方程组，如何合理选取力矩轴理论依据是当力与轴相交或平行时，力对该轴之矩等于零。

首先，欲使力矩平衡方程中不出现F 1及F 2 ，可过F 1、F 2交点A 作x '及y '轴（图b ），此时力F 、F Oy 、F Oz 与y '轴共面，则这些力对y '轴之矩为零。

故应以y '轴为矩轴。

0)(=∑'F m y ，05=⋅-Ox F得0=Ox F同理，应以x '轴为矩轴列为矩平衡方程。

由于已求出00=X ，在下面建立平衡方程时，可不再考虑。

由0)(=∑'F m x ，052=⋅-⋅Oy F F得kN 452-=-=F F Oy其次以F 1、F 2的交线BC 为矩轴，即0)(=∑F m BC ，047=⋅-⋅Oz F F得kN 5.1747==F F Oz 最后，求F 1及F 2 。

分别以OC 及OB 为力矩轴，列出力矩平衡方程0)(=∑F m OC ， 0)290cos(225sin 71=-︒⋅⋅+⋅-a F a F 0)(=∑F m OB ， 0)290cos(225sin 72=-︒⋅⋅-⋅a F a F 可解出αααcos 257)290cos(225sin 721F F F F ⋅=-==kN 37.12542570==应注意到，在上式的力矩计算中，应用了力矩关系定理。

例如，当求)(1F m OC 时，是将力1F 对O 点之矩先表示为矩矢)(10F m ，再投影到OC 轴上。

在本例中还可应用对CG 及BE 轴的力矩平衡方程，以求解F 1及F 2 。

综上述可知，由于合理地选取了力矩轴，并以力矩方程代替了投影方程，使得每个未知量都可由一个平衡方程单独解出来。

既避免了解联立方程组，又可避免由于数值计算而产生误差的传播。

例3-4 在铅垂轴AB 上有一个水平圆盘。

A 点为向心轴承，B 点为止推轴承。

盘上C 点有力F 作用，在转轴上绕有一软绳，绳的一端悬挂有重物P ，如图3-4（a ）所示。

已知：P=100KN ，r 1=,r 2=, a=1m ,α=30°,β=60°.试求平衡时力F 及轴承反力。

解解题思路：先对z 轴取矩，列平衡方程，求出力F ，然后再求出A 及B 处的反力。

图3-4(1)选取AB 物体为研究对象，A 点具有两个方向的轴向约束,B 点具有三个方 向的轴向约束，将传动轴上软绳分割。

显然，分割后绳子的拉力为P 值。

物体的受力图见图(b)，为方便地建立平衡方程，可将力F 分解成三个轴向的分力，按二次投影法，可得各分力大小为：F x =Fcos60°cos30°，F y =Fcos 260°，F y =Fsin60°。

在作力F 的二次投影时，可以作辅助图（c ）来表示。

(2)按尽可能避免求解联立方程的原则建立方程：∑=0)(F m z， 060cos 21=︒-⋅r F rP得 F=80kN∑=0)(F mX， 030cos 232=︒-++-z y Ay F r aF aP aF得 F A y =63﹒3kN∑=0)(F m Y ， 030sin 32=︒++z x Ax F r aF aF 得 F Ax =–17﹒3kN ∑=0X ， 0=++x Bx Ax F F F 得： F Bx =–17﹒3kN ∑=0Y ， 0=--+y By Ay F P F F 得 F By =56﹒7kN∑=0Z ， 0=-z Bz F F 得 F Bz =69﹒3kN讨论：对空间一般力系的平衡问题，可先将空间力沿三个坐标轴方向分解，然后再列平衡方程求解，较为方便。

例3-5边长为a 的等边三角形板ABC 用三根铅直杆1、2、3和三根与水平面各成30°角的斜杆4、5、6支撑在水平位置。

在板的平面内作用有力偶M ，如图3-5(a)所示。

板和各杆的自重不计，求各杆的内力。

图3-5解：解题思路：因支撑三角板的杆都是二力杆，故用截面法将各杆截开，取三角板为研究对象，受力如图（b ）所示。

它们构成空间一般力系，有六个未知量，可用空间一般力系平衡方程式求解。

下面分别用三种方法求解。

[方法一]用空间力系一般形式的平衡方程式求解。

坐标系Dxyz 如图（b ）所示。

0)(=∑F M z ，030cos 30cos 5=+︒⋅︒M a F （1） 得 a Ma M F 3430cos 25-=︒-= 0=∑Y ，030cos 30cos 30cos 30cos 54=︒︒-︒︒F F （2） 得 aM F F 3454-== 0=∑X ，030sin 30cos 30sin 30cos 30cos 546=︒︒-︒︒-︒F F F （3）得 aMF F F 3430sin )(546-=︒+= 0)(=∑F M x ，030cos 30sin 30cos 42=︒⋅︒-︒-a F a F得 aMF F 3230sin 42=︒-= （4） 0)(=∑F M y ，030sin 30sin 30sin 30sin 5423=⋅︒-︒⋅︒-︒--a F a F a F a F （5） 得 aMF F F F 3230sin )30sin (5423=︒-︒--= 0=∑Z ，030sin 30sin 30sin 654321=︒-︒-︒----F F F F F F （6）得aMF F F F F F 3230sin )(654321=︒++---= 上述求得的结果为各杆内力的大小。