也不一定要与力矩轴相重合。在列平衡方程时，可用适当的力矩方程取代投影方程，即
可采用四矩式、五矩式或六矩式的平衡方程，只要所建立的平衡方程是彼此独立的，就能
解出全部未知量。
4.解空间力系平衡问题时，有时采用将该力系向三个相互垂直的坐标平面投影的方
法，将空间力系化为三个平面力系分别求解。采用此法时，必须注意各力在投影面上投
，
，
可解出
应注意到，在上式的力矩计算中，应用了力矩关系定理。例如，当求 时，是将力 对O点之矩先表示为矩矢 ，再投影到OC轴上。在本例中还可应用对CG及BE轴的力矩平衡方程，以求解F1及F2。
综上述可知，由于合理地选取了力矩轴，并以力矩方程代替了投影方程，使得每个未知量都可由一个平衡方程单独解出来。既避免了解联立方程组，又可避免由于数值计算而产生误差的传播。
（c）对x、y轴之矩相等（d）对y、z轴之矩相等
图3-11
5、在一个正方体上沿棱边作用6个力，各力的大小都等于F，如图3-12所示。此力系的最终简化结果为（）。
（a）合力（b）平衡(c)合力偶(d)力螺旋
图3-12
3.4.4计算题
3-1正方体的边长a=20 cm，力F沿对顶线AB作用，如图3-13所示，其大小以AB线的长度表示，每1cm代表10N。试求：
例3-6已知均质杆AB和BC分别重为P和Q，A和C用球形铰链支座连接在水平面上，另一端B用球形铰链相连，靠在光滑的墙上，AC与墙与地面的交线平行， ，AC=AO，杆AB与水平线交角为45°，如图3-6（a）所示。试求A、C的支座反力及墙上B点所受的压力。
（a）（b）
图3-6
解：
解题思路：本题为空间力系的物系平衡问题，可分别取整体及其中一部分为研究对象，列平衡方程求解。列平衡方程时应合理地选取力矩轴以避免解联立方程。
图3-4
(1)选取AB物体为研究对象，A点具有两个方向的轴向约束,B点具有三个方
向的轴向约束，将传动轴上软绳分割。显然，分割后绳子的拉力为P值。物体的受
力图见图(b)，为方便地建立平衡方程，可将力F分解成三个轴向的分力，按二次投影法，可得各分力大小为：Fx=Fcos60°cos30°，Fy=Fcos260°，Fy=Fsin60°。在作力F的二次投影时，可
例3-3图3-3（a）所示电杆OD高7m，D处受水平力F=10kN作用。O处视为球铰支座，A处以钢索AB、AC与地面相连，略去电杆自重。试求钢索拉力及支座反力。
解：
解题思路：电杆OD受已知力F、钢索的拉力F1与F2以及球铰支座O处的反力FOx、FOy、FOz作用，计有5个未知量，可由空间一般力系平衡方程的基本形式求解。
的力，如图3-10所示。此力系向任一点简化的结果是（）。
（a）主矢等于零，主矩不等于零（b）主矢不等于零，主矩也不等于零
（c）主矢不等于零，主矩等于零（d）主矢等于零，主矩也等于零
图3-10
4、正立方体的前侧面沿AB方向作用一力F，如图3-11所示。该力（）。
（a）对x、y、z轴之矩全相等（b）对三轴之矩全不相等
3.4.1是非题
1、一空间力系，若各力的作用线不是通过固定点A，就是通过固定点B，则其独立的平衡方程式只有5个。（）
2、若空间力系各力的作用线都垂直某固定平面，则其独立的平衡方程最多有3个。（）
3、一空间力系，对不共线的任意三点的主矩均等于零，则该力系平衡。（）
4、物体的重心和形心虽然是两个不同的概念，但它们的位置却总是重合的。（）
1、以整体为研究对象，受力图如图（a）所示，应注意两杆在B点铰接后靠在墙上，故B处为光华面约束。为方便计，取辅助坐标轴 和 。
，
得
，
得
，
得
，
得
，
得
，
2、以杆AB为研究对象，受力图见图（b）。
，
得
讨论：对于空间力系的物系平衡问题，应特别注意研究对象及力矩轴、投影轴的选取，避免求解联立方程。
3.4课后练习
影的大小、方向及作用点的位置。
3.3范例分析
例3-1图3-1(a)为直角三棱柱。其上作用力系：:F1=200 N, =100N，试求该力系在各轴上的投影及对轴之矩。
图3-1
解
解题思路：F1在轴上的投影可按直接投影法计算，对轴之矩可用力对轴之矩的解析式计算； 组成一个空间力偶矩矢M1=F2×0.2=20N·m，如图（b）所示，对轴之矩直接投影即可。
4、边长为 的立方体，受三个力作用，如图3-9所示。设 ，则此力系的简化结果为。
图3-9
3.4.3选择题
1、空间力矩是（）。
（a）标量；（b）定点矢量；（c）滑动矢量；（d）自由矢量。
2、空间力偶矩是（）。
（a）标量；（b）定点矢量；（c）滑动矢量；（d）自由矢量。
3、正立方体的顶角上作用着6个大小相等
（1）力F在各坐标轴上的投影，（2）力F对各坐标轴之矩，（3）力F对O点的矩矢。
答案：（1）X =–200N，Y = Z =200N
3、空间一般力系
3.1内容提要
3.1.1力在轴上的投影
力在轴上的投影祥见表3-1
表3-1力在轴上的投影
内容
表达式
角度含义
直接投影法
、 、 分别为力 与坐标轴x、y、z正向间夹角时
二次投影法
θ为力 与平面Oxy的夹角，
为力 在Oxy平面上的投影 与x轴的夹角
3.1.2力对点的矩和力对轴的矩
有关力矩的概念祥见表3-2
表3-2力矩
内容
表达式
定义
力对点之矩
力对点之矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积
力对轴之矩
力对轴之矩是代数量。力对任一轴z的矩，等于力在垂直于该轴的平面Oxy上的投影 对该轴与该平面的交点O的矩，正负号按右手螺旋法则确定
力矩关系定理
力对某点O之矩矢在过此点任一轴上的投影，等于此力对该轴之矩
合力矩定理
合力对某轴之矩，等于各分力对同一轴之矩的代数和
3.1.3空间一般力系的简化
1、空间任意力系向任一点简化
空间一般力系向简化中心简化，可得主矢和主矩，其结果见表3-3。
表3-3主矢和主矩
内容
表达式
定义
主矢
主矢等于原力系中各力的矢量和，与简化中心O的位置无关。
主矩
主矩等于原力系中各力对简化中心O点之矩的矢量和，一般情况下，它与简化中心的位置有关。
3.1.4空间一般力系的平衡
空间一般力系是力系的最一般形式，其平衡的充要条件是，力系的主矢和对。
表3-5空间力系平衡方程
力系
平衡方程
空间一般力系
空间特殊力系
空间汇交力系
， ，
空间力偶系
， ，
空间平行力系
， ，
（力系中各力与轴z平行）
3.2解题要点
2、空间一般力系简化的最后结果
空间一般力系简化的最后结果见表3-4
表3-4空间一般力系的最后简化结果
主矢
主矩
最后结果
说明
平衡
空间一般力系平衡的充要条件
合力偶
此时主矩与简化中心的位置无关
合力
合力作用线通过简化中心
合力作用线到简化中心的距离
力螺旋
力螺旋中心轴通过简化中心
与 成 角
力螺旋中心轴到简化中心距离
例3-5边长为a的等边三角形板ABC用三根铅直杆1、2、3和三根与水平面各成30°角的斜杆4、5、6支撑在水平位置。在板的平面内作用有力偶M，如图3-5(a)所示。板和各杆的自重不计，求各杆的内力。
图3-5
解：
解题思路：因支撑三角板的杆都是二力杆，故用截面法将各杆截开，取三角板为研究对象，受力如图（b）所示。它们构成空间一般力系，有六个未知量，可用空间一般力系平衡方程式求解。下面分别用三种方法求解。
例3-4在铅垂轴AB上有一个水平圆盘。A点为向心轴承，B点为止推轴承。盘上C点有力F作用，在转轴上绕有一软绳，绳的一端悬挂有重物P，如图3-4（a）所示。已知：P=100KN，r1=0.2m,r2=0.5m,a=1m,α=30°,β=60°.试求平衡时力F及轴承反力。
解
解题思路：先对z轴取矩，列平衡方程，求出力F，然后再求出A及B处的反力。
（2）根据结构对称或荷载对称条件，也会给求解带来方便。
选不同力矩轴和投影轴建立平衡方程有一定的限制。当然，要判别任意写出的六个平衡方程是否独立是一个比较复杂的问题。但是，如果一个方程能解出一个未知量，这不仅避免了解联立方程，而且这个方程也一定是独立的。所以，在列平衡方程的其他形式时，要尽可能地使方程中只含有一个未知数。
3.4.2填空题
1、通过A（3，0，0）、B（0，1，2）两点（长度单位为m），由A指向B的力 在z轴上的投影为，对z轴之矩为。
2、图3-7中力 ，力 对x轴之矩为，对y轴之矩为，对z轴之矩为。
图3-7图3-8
3、已知力F和长方体的边长a、b、c及角 、 ，如图3-8所示，力F对AB轴之矩的大小为。
1、空间一般力系的题型可分为空间力系的简化问题和平衡问题两大类。
物体在空间力系作用下的平衡问题的解题方法和步骤与平面问题基本相同。但求解空间问题时，要有清晰的空间概念，熟练掌握力在轴上的投影和力对轴之矩。
3、为了简化计算，在选取投影抽与力拒轴时，投影轴要与尽可能多的未知力或其所
在的平面相垂直，力矩轴应与尽可能多的未知力相交或平行．投影轴不一定要彼此垂直，
OD杆的受力如图（b）所示。对图示坐标系，列平衡方程
图3-3
， （1）
， （2）
， （3）
， （4）
（5）
由图示几何关系知： ，
联立求解上述5个平衡方程，可得
，FOx=0，FOy=–4 kN，FOz=17.5 kN
其中，负号表示约束反力的实际方向与假设的方向相反。
讨论为了避免解联立方程组，如何合理选取力矩轴？理论依据是当力与轴相交或平行时，力对该轴之矩等于零。