导数。
du dt
ut
uxx
x
t
在这条直线 x 3t c 上，即 x c 3t ，在这个直线上，上述
定解问题转化为
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du 4t c, 0 t dt
(3)
u(0) u(x(0), 0) x2 (0) c2
数解之，得
第
学
u 2t2 ct c2
六
物理又 x 3t c ，则
99
9
2 x2 1 x2 3 tx 8 (x2 6x 9t2 ), 9 9 99
x2 5tx 8t2.
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定义1 考虑下面一阶线性微分方程
aut bux cu f
4
其中 a 、b、c 和 f 均为自变量 x 、t 的函数。
数 学
方程
物
a dx b 0
u( uy
x,0) f ( ( x,0)
x) 1
3
g(x) f ( x)
f ( x y 3) g( x
3x2 g( x) 0 1 f
3
y)
(x)
g( x)
线 法
C
解 出f ( x) 9 x 2 C, g( x) 3 x 2 C
u( x,
y)
9
(
4
x
1
y)2
3(x
4
(x t)ux
dU
dx
dt ut ux dt ut (x t)ux
则
数
学
物
理
dU
U
et
t
1
cet
dt
U (0) u(x(0), 0) x(0) c
(12)
第 六 章
方程这个常微分方程初值问题的解为
U (t) t (1 c)sht
又
特 征 线 法
x(t) et t 1 cet
x(0) , 变化相当于 x(0) 在 x 轴上滑动。
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例2 求解线性方法柯西问题
ut (x cos t)ux 0,t 0, x
(6)
数
u(x,
0)
1 1 x2
,
x
(7) 第
学 物 理 方
解 方程(6)式的特征方程为
的特征线就是下面问题的解
dx dt
x cos t
第6章 特征线法
数
第
学
六
物 理
章
方 程
特 征
线
法
本章中心内容
特征线法求解一阶偏微分方程以及一维波动方程
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Method of characteristics 一种基于特征理论的求解双
数学物理曲为一人 维型们不偏所定微用常分。流方电和程子二组计维的算定似机常方出流法现等。以问它后题产，中生又得较得到早到了，了广19进泛世一 的纪步用末的。已发经展有，效在地第 六 章
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99
u(x,t) 2 x2 1 (x 3t)x g(x 3t), 99
由方程（2）
u(x, 0) x2
数得
学 物
x2 2 x2 1 x2 g(x),
理
99
第 六 章
方程即
8 x2 g(x),
特 征
所以
9
线 法
u(x,t) 2 x2 1 (x 3t)x 8 (x 3t)2,
x
(1) (2)
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特征线 x 3t c 是方程 dx 3 0 的解，方程
dx 3 0
dt
称为（1）的特征方程，其解就是（1）的特征线。
dt
数 沿一阶偏微分方程的特征线将方程化为常微分方程，便是特 第
学物征线法的基本思想。
理 方
对定解问题（1）（2）
程
uut(
3ux x t, 0 t x, 0) x2, x
8
数 最后，由特征线方程 x esint解出 xesint , 将其代入到 第
学
物(8)式中便得(6)式-(7)式的解为
理 方 程
u(x,
t)
1
1 x 2e2 sin t
六 章 特 征
线
法
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练习
求下列Cauchy问题的解
数 学
uut|t0(x
x
t)ux
u
x,
x
R, t
0,
程
dx
x
cos t
0, t
0
dt
而过点
(
,
0)
六 章
特 征 线
x(0)
法
解之可得 x esint。沿此特征线原定解问题(6)-(7)简化为
du dt
ut
(x cos t)ux
0, t
0
西安交通大学
数学与统计u学(院0)
u(
,
0)
1
1
2
易得该问题的解为
1
u 常数 u(0) 1 2
数 u(x,t) 1 [(x at) (x at)] 1
xat
()d 第
学
2
2a xat
六
物 理
章
方 程
特 征
线
法
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例1
定
解问
题uut(t
a2uxx x,0) sin
x,
ut ( x,0) a cos x
解 u(x, t) sin(x at) sin(x at) 1
数
第
学
六
物 理
章
方 程
特 征
线
法
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数
第
学
六
物 理
章
方 程
特 征
线
法
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数
第
学
六
物 理
章
方 程
特 征
线
法
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（3）称为特征方程
dx dt
2
a2
0
(3)
数 做变量代换 x at
学 物 理
x at
第 六 章
方则
程
ut ut ut au au
特 征
utt a(ut ut ) a(ut ut )
线
a(au au ) a(au au )
法
a2 (u 2u u ) ux ux ux u u
2
2a 0
2
g(x) 1 (x) 1
x
(
)d
1
(
f
(0)
g (0))
2
2a 0
2
所以
u(x,t) f (x at) g(x at)
(B)
第 六
章
(7特 征) 线
(8法)
1 (x at) 1
xat
(
)d
1
(x
at)
1
xat
()d
2
2a 0
2
2a 0
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5
理
dt
第 六 章
方
程 称为(4)式的特征方程，其积分曲线称为(4)式的特征曲线。
特 征
注1 给出例1求解方法的一个几何解释。在该例中，使用了参数线
c，即为特征线的初始值x(0) 。当参数 c x(0) 在x 轴滑动时，法
(3)式的解曲线就织成了(1)式--(2)式的解曲面。
为了避免和常数c混淆，下面用变量 代替参数c。请记住：
方 特征线法也是求解偏微分方程的一种基本方法。其实质 程是沿偏微分方程的特征线积分以使方程的形式简化，从而使
特 征
其求解称为可能。它不仅适用于线性偏微分方程，而且也是 线
求解非线性方程的一种有效方法。
法
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第一节、一阶偏微分方程特征线法
一、特征线法
结合一些具体的定解问题的求解，说明特征线方法的基本思想
代入
3
ut 3ux x t
有
数学3u 3(u u ) ut 3ux x t
物
理 方
程所以
3u
3u
4
3
.
43 .
3
即
u
4
9
1.
9
对 两边积分，可得
第 六 章 特 征 线 法
u 22 1 g( ),
99
其中，g() 为一个可微函数。
由
u( ,) 2 2 1 g( ),
0
x
(1) (2)
理 这里是无界问题，可以用积分变换求解，下用特征线求解。
第 六 章
方
程 特征线族
特 征
dx dt
2
a2
0
线 (3) 法
即
dx a 0, dx a 0
dt
dt
1 a2k 2 0, k 1
1
1a
可得
t a x c1,t a x c2
x at c1, x at c2
utt a2uxx
4a2u
uxx u 2u u
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则（1）式变为
u 0
积分此方程，可得
数
u f1( )
学 物
u f1( ) g() f ( ) g()
理方其中f、g是两个任意函Leabharlann ，将变量 , 还原成x和t得程
u(x,t) f (x at) g(x at)
0