二次函数典型中考试题解析及训练[解读中考要点] 1、二次函数 一般地，形如2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）的函数叫做x 的二次函数。
解读：在函数中注意二次项系数0a ≠，,b c 是任意的实数即可。
2、二次函数2y ax =（0a ≠）的性质解读：（1）二次函数2y ax =的图象是抛物线，它的顶点是原点，对称轴是y 轴。
（2）当0a>时，抛物线2y ax =的开口向上，并且向上无限延伸，顶点是它的最低点；当0a <时，抛物线2y ax =的开口向下，并且向下无限延伸，顶点是它的最高点。
3、二次函数2y ax k =+（0a ≠）的图象与性质解读：（1）二次函数2y ax k =+的图象与2y ax =的图象的形状完全一样，可以通过平移二次函数2y ax =的图象得到2y ax k =+的图象。
当0k >时，向上平移k 个单位长度；当0k<时，向下平移k个单位长度。
（2）当0a >时，抛物线的开口向上；当0a <时，抛物线的开口向下。
（3）抛物线的顶点是()0,k ，对称轴是y 轴。
4、二次函数()2y a x h k =-+（0a ≠）的图象与性质解读：（1）它的图象与2y ax =的图象的形状完全一样，可以通过二次函数2y ax =的图象得到()2y a x h k=-+的图象。
（2）当0a>时，抛物线的开口向上；当0a <时，抛物线的开口向下。
（3）抛物线的顶点是(),h k ，对称轴是y 轴。
5、关于二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象解读：（1）二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象是与2y ax =的图象的形状完全一样的一条抛物线。
（2）抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴是直线2bx a =-，顶点是24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭。
（3）当0a >时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点。
当2bx a=-时，函数有最小值244ac b a -；当2bxa<-时，y 的值随x 值的增大而减小；当2bx a>-时，y 的值随x 值的增大而增大。
（4）当0a <时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点。
当2bx a=-时，函数有最大值244ac b a -；当2bx a<-时，y 的值随x 值的增大而增大；当2bx a>-时，y 的值随x 值的增大而减小。
6、二次函数与一元二次方程 二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。
当二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当0y =时自变量x 的值，即一元二次方程20ax bx c ++=的根。
解读：（1）当240bac ->时，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点，此时一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根；（2）当240b ac -=时，二次函数2y ax bx c =++的图象与x轴有一个交点，此时一元二次方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根；（3）当240bac -<时，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴没有交点，此时一元二次方程2ax bx c ++=没有实数根。
7、二次函数解析式的确定 解读：运用待定系数法确定二次函数2y ax bx c =++的系数,,a b c ，一般需要三个条件，组成关于,,a b c 的三元方程组，解方程组可以确定,,a b c 的值，从而确定解析式。
[剖析经典考题]近年来，全国各省市的中考题中，考查二次函数及其相关内容所占的比例比较大，考题既有基本题，又有综合题。
基本题常以填空、选择的形式出现，考查二次函数的意义、性质等知识点；综合题常与方程、一次函数、反比例函数、圆等知识综合在一起，有些综合题也会考查学生利用二次函数的知识解决实际问题的能力。
例1、（2005·资阳）已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图5.3-1所示，给出以下结论：① a +b +c <0；② a -b +c <0；③ b +2a <0；④ abc >0 . 其中所有正确结论的序号是 A. ③④B. ②③C. ①④D. ①②③分析：从所给的图象，我们可以获取以下信息：（1）抛物线的开口向下；（2）顶点在第一象限，对称轴在直线x=1的左侧；（3）抛物线与y 轴的交点在正半轴上；（4）横坐标为1的点在x 轴上方；横坐标为-1的点在x 轴下方。
由以上信息可以做出判断。
解：∵抛物线开口向下，∴a<0.∵顶点在第一象限，∴0,02bb a->∴>。
∵对称轴在直线x=1的左侧∴1,0,2,20.2ba b a a b a-<<∴->∴+<故③正确。
∵抛物线与y 轴的交点在正半轴上，∴c>0。
图5.3-1∴abc<0.故④错误。
∵横坐标为1的点在x 轴上方，∴a +b +c >0.故①错误。
∵横坐标为-1的点在x 轴下方，∴a -b +c <0，故②正确。
所以应选B 。
点拨：要充分利用函数的图象，数形结合，弄清图象中所给的信息是解题关键。
例2、（2005贵阳）已知二次函数342+-=x x y 的图象如图5.3-2所示，它与y 轴相交于点C ，点D 在二次函数图象上与点C 对称，一次函数的图象过点A 、D ； （1）求点D 的坐标； （2）求一次函数的解析式；分析：这是一道二次函数与一次函数的综合题目。
对于（1）问，由点D 在二次函数图象上与点C 对称，易知点D 的纵坐标为3；把y=3代入解析式342+-=x x y 可求得x 的值，从而可以确定点D 的坐标。
对于（2）问，知道了点A 、D 的坐标，利用待定系数法可以求得一次函数解析式。
解：（1）∵D 在二次函数342+-=x x y 的图象上且与点C 对称，则D （4，3）。
（2）设直线b kx y +=过点A （1，0）和D （4，3）∴⎩⎨⎧=+=+340b k b k ，解得：1,1-==b k∴所求一次函数为1-=x y 。
点拨：确定函数解析式的关键是先要确定函数图象上的点的坐标。
例3、（2005泉州）有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度BM 为3米，跨度OA 为6米，以OA 所在直线为x 轴，O 为原点建立直角坐标系（如图5.3-3所示）. ⑴请你直接写出O 、A 、M 三点的坐标；⑵一艘小船平放着一些长3米，宽2米且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过此桥洞，问这些木板最高可堆放多少米（设船身底板与水面同一平面）？分析：本题是通过实例确定二次函数解析式并利用解析式解决问题的一道简单的应用题。
对于（1）根据题意可直接表示出；对于（2），关键是要读懂题意，必须先由三点的坐标确定出函数的解析式，当CD 表示宽，CD=2，B 是CD 的中点，此时OC=2。
利用解析式求出2x =时对应的函数值即可解决。
解：（1）O （0，0），A （6，0），M （3，3）（2）求抛物线的解析式的方法列出两种： 法1：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，∵抛物线过O ，A ，M 三点∴0,3660,930.c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解之得1,32,0.a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∴2123y x x =-+。
法2：依题意，抛物线的顶点坐标是（3，3），可设其解析式为()233y a x =-+，∵抛物线过（0，0），∴()20033a =-+。
解之得：()22111,332333ay x x x =-∴=--+=-+。
要使木板堆放最高，依题意，B 点应是木板宽CD 的中点，把2x=代入2123y x x =-+，得21822233y =-⨯+⨯=（米）。
∴这些木板可以堆放83米。
点拨：当知道抛物线的顶点坐标，设顶点式求函数解析式简便。
例4、（2004天津）已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴只有一个交点，且交点为A （2，0）. （1）求b 、c 的值；（2）若抛物线与y 轴的交点为B ，坐标原点为O ，求△O AB 的周长。
（答案可带根号）.分析：由于抛物线与x 轴只有一个交点A （2，0），所以抛物线的顶点坐标为（2，0）。
那么我们可以运用抛物线的顶点坐标公式求得b 、c 的值，从而可求出OA 的长。
把x=0代入二次函数y ＝x 2＋bx ＋c ，可求出点B 的坐标，那么OB 的长野就确定了。
然后再在Rt △AOB 中，利用勾股定理求出AB 的长，这样△O AB 的周长可得。
解：（1）由题意可知，抛物线的顶点是（2，0），那么2, 4.21bb -=∴=-⨯ 2410,4160, 4.41c b c c ⨯⨯-=∴-==⨯（2）由（1）得，抛物线的解析式为244y x x =-+，当x=0时，y=4,∴点B 的坐标是（0，4）。
在Rt △AOB 中，OA=2，0B=4，∴AB ===。
∴△O AB的周长为246++=+点拨：这是一个涉及多个知识点的题目，要注意所学知识的综合运用。
例5、观察图5.1-3中1至5小黑点的摆放规律,并按照这样的规律继续摆放.记第n 个图中小黑点的个数为y .图5.1-3n ＝8时,y ＝＿＿＿＿＿＿；,把n 作为横坐标,把y 作为纵坐标,在左图的平面直角坐标系中描(n , y ),其中1≤n ≤5；,请写出该.分析：本例把探求规律和函数结合起来，考查学生灵活应用各种知识去解决问题，同时又领悟各知识间的相互联系，本例先读图也可以发现规律，完成（1）（2）小题。
只用第（1）小题的表格也可解决全部问题。
解：（1）21（2）57（3）(图略)（4）在一个函数的图象上，该函数的解析式为12+-=n n y 。
点拨：规律探究题是近几年中考中频繁出现的一种新的题型，解决此类问题要按照由特殊到一般的认识规律，从变化的关系中寻找不变的规律。
[挑战中考名题] 一、选择题1、（2005常德）y=(x －1)2＋2的对称轴是直线 （ B ） A ．x=－1B ．x=1C ．y=－1D ．y=12、（2005马尾）将函数762++=x x y 进行配方正确的结果应为（ ）A.2)3(2++=x y B. 2)3(2+-=x y C. 2)3(2-+=x y D. 2)3(2--=x y3、（2005武汉）若二次函数，当x 取，（≠）时，函数值相等，则当x 取+时，函数值为（ ）.A.a+cB.a-cC.-cD.c 4、（2005武汉）抛物线的图角如图5.1-4，则下列结论：①＞0；②；③＞；④＜1.其中正确的结论是（ ）.A.①②B.②③C.②④D.③④ 5、 （2005·杭州）用列表法画二次函数2y x bx c =++的图象时先列一所对应的值依个表,当表中对自变量x 的值以相等间隔的值增加时,函数y3 4 1 2 5图5.1-4次为:20,56,110,182,274,380,506,650,其中有一个值不正确,这个不正确的值是:（ ） A.506 B.380 C.274 D.1826、（湖北宜昌）如图5.1-5所示的函数图象的关系式可能是（ ）. （A ）y = x （B ）y =x1（C ）y = x 2 (D) y =1x二、填空题：7、（2005宁波）已知抛物线解析式为y=x 2－3,则此抛物线的顶点坐标为 .8、（2005·常德）请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 。