2017-2018 高考三角函数大题一．解答题（共14 小题）2．（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD 中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．3．（2018•北京）在△ABC 中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC 边上的高．4．（2018•北京）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m 的最小值．5．（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求 a 的值；（2）若f（）= +1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．6．（2018•天津）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求 b 和sin（2A﹣B）的值．7．（2017•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知△ABC 的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC 的周长．8．（2017•新课标Ⅱ）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC 的面积为2，求b．9．（2017•新课标Ⅲ）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2，b=2．（1）求c；（2）设D 为BC 边上一点，且AD⊥AC，求△ABD 的面积．10．（2017•天津）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB= ．（Ⅰ）求 b 和sinA 的值；（Ⅱ）求sin（2A+ ）的值．11．（2017•北京）在△ABC 中，∠A=60°，c=a．（1）求sinC 的值；（2）若a=7，求△ABC 的面积．12．（2017•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x 的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x 的值．13．（2017•浙江）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值．（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．14．（2017•上海）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a=，角B 所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC 的面积．2017-2018 高考三角函数大题参考答案与试题解析一．解答题（共14 小题）1．（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=﹣x+alnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：＜a﹣2．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）=﹣﹣1+ =﹣，设g（x）=x2﹣ax+1，当a≤0 时，g（x）＞0 恒成立，即f′（x）＜0 恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞0 时，判别式△=a2﹣4，①当0＜a≤2 时，△≤0，即g（x）＞0，即f′（x）＜0 恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，②当a＞2 时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：x （0，）（，）（，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）递减递增递减综上当a≤2 时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞2 时，在（0，），和（，+∞）上是减函数，则（，）上是增函数．（2）由（1）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2=1，则f（x1）﹣f（x2）=（x2﹣x1）（1+）+a（lnx1﹣lnx2）=2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），则=﹣2+ ，则问题转为证明＜1 即可，即证明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2，即证2lnx1＞x1﹣在（0，1）上恒成立，设h（x）=2lnx﹣x+，（0＜x＜1），其中h（1）=0，求导得h′（x）=﹣1﹣=﹣=﹣＜0，则h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x+＞0，故2lnx＞x﹣，则＜a﹣2 成立．2．（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD 中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．∴由正弦定理得：=，即=，∴sin∠ADB= =，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB= =．（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB= ，∵DC=2 ，∴BC===5．3．（2018•北京）在△ABC 中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC 边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即 A 是锐角，∵cosB=﹣，∴sinB= ==，由正弦定理得= 得sinA= == ，则A=．（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c﹣15=0，得（c﹣3）（c+5）=0，得c=3 或c=﹣5（舍），则AC 边上的高h=csinA=3×=．4．（2018•北京）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m 的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）=sin2x+ sinxcosx= +sin2x =sin（2x﹣）+，f（x）的最小正周期为T==π；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，可得2x﹣∈[﹣，2m﹣]，即有2m﹣≥，解得m≥，则m 的最小值为．5．（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求 a 的值；（2）若f（）= +1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）= +1，∴asin +2cos2（）=a+1= +1，∴a=，∴f（x）= sin2x+2cos2x= sin2x+cos2x+1=2sin（2x+ ）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+ ）+1=1﹣，∴sin（2x+ ）=﹣，∴2x+ =﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x= 或x=或x=﹣或x=﹣6．（2018•天津）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求 b 和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB= ，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC 中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b= = ，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA= ，∴sin2A=2sinAcosA= ，cos2A=2cos2A﹣1= ，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB= =．7．（2017•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知△ABC 的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC 的周长．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S=acsinB= ，△ABC∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC= ；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC= ，∴cosBcosC﹣sinBsinC==﹣，﹣∴cos（B+C）=﹣，∴cosA= ，∵0＜A＜π，∴A= ，∵===2R= =2 ，∴sinBsinC= •===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．8．（2017•新课标Ⅱ）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC 的面积为2，求b．【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，∴sinB=4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1=0，∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）=0，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，∴cosB= ；（2）由（1）可知sinB=，= ac•sinB=2，∵S△ABC∴ac=，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，∴b=2．9．（2017•新课标Ⅲ）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2，b=2．（1）求c；（2）设D 为BC 边上一点，且AD⊥AC，求△ABD 的面积．【解答】解：（1）∵sinA+cosA=0，∴tanA= ，∵0＜A＜π，∴A= ，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，即28=4+c2﹣2×2c×（﹣），即c2+2c﹣24=0，解得c=﹣6（舍去）或c=4，故c=4．（2）∵c2=b2+a2﹣2abcosC，∴16=28+4﹣2×2 ×2×cosC，∴cosC= ，∴CD= = =∴CD= BC∵S= AB•AC•sin∠BAC= ×4×2×=2 ，△ABC∴S△ABD= S△ABC=10．（2017•天津）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB= ．（Ⅰ）求 b 和sinA 的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，∵a＞b，故由sinB=，可得cosB=．由已知及余弦定理，有=13，∴b= ．由正弦定理，得sinA=．∴b= ，sinA= ；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA=，∴sin2A=2sinAcosA= ，cos2A=1﹣2sin2A=﹣．故sin（2A+）= =．11．（2017•北京）在△ABC 中，∠A=60°，c=a．（1）求sinC 的值；（2）若a=7，求△ABC 的面积．【解答】解：（1）∠A=60°，c=a，由正弦定理可得sinC=sinA= ×=，（2）a=7，则c=3，∴C＜A，由（1）可得cosC=，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC= ×+×=，= acsinB= ×7×3×=6 ．∴S△ABC12．（2017•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x 的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x 的值．【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，∴tanx=﹣，∵x∈[0，π]，∴x= ，（2）f（x）= =3cosx﹣sinx=2 （cosx﹣sinx）=2 cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+ ∈[ ，]，∴﹣1≤cos（x+ ）≤，当x=0 时，f（x）有最大值，最大值3，当x=时，f（x）有最小值，最小值﹣2 ．13．（2017•浙江）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值．（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．【解答】解：∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx=﹣sin2x﹣cos2x=2sin（2x+ ）（Ⅰ）f（）=2sin（2×+）=2sin =2，（Ⅱ）∵ω=2，故T=π，即f（x）的最小正周期为π，由2x+∈[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z 得：x∈[﹣+kπ，﹣+kπ]，k∈Z，故f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，﹣+kπ]或写成[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z．14．（2017•上海）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a=，角B 所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC 的面积．【解答】解：（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+=cos2x+，x∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π≤x≤kπ，k∈Z，k=1 时，π≤x≤π，可得f（x）的增区间为[，π）；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a=，角B 所对边b=5，若f（A）=0，即有cos2A+=0，解得2A=π，即A=π，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2 或3，若c=2，则cosB=＜0，即有B 为钝角，c=2 不成立，则c=3，△ABC 的面积为S= bcsinA= ×5×3×= ．。