专题一集合、常用逻辑用语、平面向量、复数、算法、合情推理[高考领航]————————————摸清规律预测考情考点一 集合、常用逻辑用语1．设有限集合A ，card(A )＝n (n ∈N *)，则(1)A 的子集个数是2n ； (2)A 的真子集个数是2n －1； (3)A 的非空子集个数是2n －1； (4)A 的非空真子集个数是2n －2；(5)card(A ∪B )＝card A ＋card B －card(A ∩B )． 2．(1)(∁R A )∩B ＝B ⇔B ⊆∁R A ； (2)A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ； (3)∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )； (4)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )．3．若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则关于充分条件、必要条件又可叙述为：(1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件； (2)若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．类型一 集合的概念及运算[典例1] (2016·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2x －3＞0}，则A ∩B ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 解析：通解：(直接法)解x 2－4x ＋3＜0，即(x －1)(x －3)＜0，得1＜x ＜3，故A ＝{x |1＜x ＜3}；解2x －3＞0，得x ＞32，所以B ＝{x |x ＞32}． 如图，用数轴表示两个集合A ，B .由图可得A ∩B ＝{x |32＜x ＜3}，选D.优解：(排除法)观察选项可知A ，B 两项对应集合中含有负数，C ，D 两项对应集合中的元素均为正数．当x ＝－1时，2x －3＝2×(－1)－3＝－5＜0，故－1∉B ，所以－1∉A ∩B ，故排除A ，B 两项；当x ＝2时，2x －3＝2×2－3＝1＞0，x 2－4x ＋3＝22－4×2＋3＝－1＜0，所以2∈A,2∈B ，所以2∈A ∩B ，故可排除C 项．综上，选D. 答案：D [母题变式]将本题的B 改为B ＝{x |2x －3≥0}，则A ∩(∁R B )，如何选答案？ 解析：选C.∁R B ＝{x |x ＜32}， A ∩∁R B ＝{x |1＜x ＜32}．故选C.1．集合的交、并、补运算多与解不等式问题相结合，解决此类问题的思路主要有两个：一是直接法，即先化简后运算，然后利用数轴表示，从而求得集合运算的结果；二是排除法，对于选择题的考查，可根据选项的差异性选取特殊元素进行验证，排除干扰项从而得到正确选项．2．(1)若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解． (2)若给定的集合是点集，用图象法求解． (3)若给定的集合是抽象集合，常用Venn 图求解． 3．(1)正确理解各个集合的含义，弄清集合元素的属性． (2)注意“∅”的出现． [自我挑战]1．设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( ) A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1)D ．(－∞，1]解析：选A.M ＝{x |x 2＝x }＝{0,1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝{x |0<x ≤1}，M ∪N ＝[0,1]，故选A.2．设全集U ＝{x ∈N *|x ≤4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{2,4}，则∁U (A ∩B )＝( )A ．{1,2,3}B ．{1,2,4}C ．{1,3,4}D ．{2,3,4}解析：通解：选A.本题主要考查集合的基本运算．因为U ＝{1,2,3,4}，A ∩B ＝{4}，所以∁U (A ∩B )＝{1,2,3}，故选A.优解：∵A ∩B ＝{4}．∴4∉∁U (A ∩B )，排除B 、C 、D 只能选A. 类型二 充分、必要条件[典例2] (2016·高考四川卷)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：通解：(画出可行域，数形结合求解)如图作出p，q表示的区域，其中⊙M及其内部为p表示的区域，△ABC及其内部(阴影部分)为q表示的区域，故p是q的必要不充分条件．优解：q：满足条件的三个边界点分别是A(0,1)，B(2,1)，C(1,0)都适合p；而p中的点O(0,0)，不适合q，故p是q的必要不充分条件，选A.答案：A1．充要条件的判断先要明确两个条件之间的关系，明确“甲的一个××条件是乙”与“甲是乙的××条件”两种不同叙述方式的差异性，要将其转化为基本的“甲是乙的××条件”的形式，然后进行判断；充要条件判断的实质就是判断两个简单命题的真假，根据条件的不同可以从集合、命题的等价转化角度进行判断．2．“p⇒q”⇔“﹁p⇐﹁q”；“q⇒p”⇔“﹁p⇒﹁q”；“p⇔q”⇔“﹁p⇔﹁q”．[自我挑战]3．下列判断正确的有()(1)“x≠1”是“x2－3x＋2≠0”的充分不必要条件；(2)“a ＞0，b ＞0”是“b a ＋ab ≥2”的充分不必要条件； (3)“命题p ∨q 为假”是“命题p ∧q 为假”的充要条件； (4)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的必要不充分条件．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：(1)通解：选B.设p ：x ≠1，q ：x 2－3x ＋2≠0.当x ＝2时，满足x ≠1，而x 2－3x ＋2＝0，所以“若p ，则q ”是假命题；由x 2－3x ＋2≠0，解得x ≠1，且x ≠2，所以“若q ，则p ”是真命题．由充要条件的定义可得：p 是q 的必要不充分条件．故(1)错误． 优解：设A ＝{x |x ≠1}，B ＝{x |x 2－3x ＋2≠0}．由x 2－3x ＋2≠0，解得x ≠1，且x ≠2，故B ＝{x |x ≠1，且x ≠2}． 显然B A ，所以“x ≠1”是“x 2－3x ＋2≠0”的必要不充分条件．故(1)错误．(2)记“a ＞0，b ＞0”为p ，“b a ＋ab ≥2”为q .由基本不等式可得q 的充要条件是“ab ＞0”，即“ab ＞0”． 显然p 是“ab ＞0”的充分不必要条件， 所以p 是q 的充分不必要条件．故(2)正确．(3)由真值表可知，“命题p ∨q 为假”的充要条件是“p ，q 都为假”，而“命题p ∧q 为假”的充要条件是“p ，q 中至少有一个为假”．显然“p ，q 都为假”是“p ，q 中至少有一个为假”的充分不必要条件，所以“命题p ∨q 为假”是“命题p ∧q 为假”的充分不必要条件．故(3)错误．(4)当q ＞1且a 1＜0时，数列{a n }不是递增数列；当0＜q ＜1且a 1＜0时，数列{a n }是递增数列，显然此时q ＞1不成立．所以“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．故(4)错误．综上，只有(2)正确，故选B.4．“x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4”是“函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4为单调递增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：通解：选A.若函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4为单调递增函数，则－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z .从而函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )．因此若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，则函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4为单调递增函数； 若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4为单调递增函数⇒/ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4.所以“x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4”是“函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4为单调递增函数”的充分不必要条件．故选A.优解：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4时⇒x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2⇒y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4为增函数，但y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4为增函数――→周期性⇒/ x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2⇒/ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4. 类型三 命题及逻辑联结词[典例3] (1)设命题p ：∃n ∈N ，n 2＞2n ，则﹁p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2＞2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2n C ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n解析：因为“∃x ∈M ，p (x )”的否定是“∀x ∈M ，﹁p (x )”，所以命题“∃n ∈N ，n 2＞2n ”的否定是“∀n ∈N ，n 2≤2n ”．故选C.答案：C(2)已知命题p ：∃x ∈R,2x ＞3x ；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ＞sinx ，则下列是真命题的是( )A ．(﹁p )∧qB ．(﹁p )∨(﹁q )C ．p ∧(﹁q )D ．p ∨(﹁q )解析：通解：先判断命题p 、q 的真假，然后根据选项得出正确结论．当x ＝－1时，2－1＞3－1，所以p 为真命题；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，tan x－sin x＝sin x(1－cos x)cos x＞0，所以q为真命题，所以p∨(﹁q)是真命题，其他选项都不正确，故选D.优解：p为真命题时，p或任何命题都为真，故选D.答案：D1．命题真假的判定方法(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别；(2)四种命题真假的判断：一个命题和它的逆否命题同真假，而其他两个命题的真假无此规律；(3)形如p∨q，p∧q，﹁p命题的真假根据p，q的真假与联结词的含义判定．2．全称命题与特称命题真假的判定(1)全称命题：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；(2)特称命题：要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M 中至少能找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．[自我挑战]5．已知命题p：∃x∈R，log2(3x＋1)≤0，则()A．p是假命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)＞0C．p是真命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)＞0解析：选B.∵3x ＞0，∴3x ＋1＞1，则log 2(3x ＋1)＞0，∴p 是假命题；﹁p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)＞0.故应选B.6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题： p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2；p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2；p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3；p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1；其中的真命题是( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 4C ．p 1，p 2D ．p 1，p 3解析：通解：选C.作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －2y ＝4， 得交点A (2，－1)．目标函数的斜率k ＝－12＞－1，观察直线x ＋y ＝1与直线x ＋2y ＝0的倾斜程度，可知u ＝x ＋2y 过点A 时取得最小值0.⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＝－x 2＋u 2，u 2表示纵截距.结合题意知p 1，p 2正确．优解：在区域D 内取一点M (3,2)．则x ＋2y ＝7，满足p 2，不满足p 3，故选C.1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x ＜1}，B ＝{x |3x ＜1}，则( )A ．A ∩B ＝{x |x ＜0}B ．A ∪B ＝RC ．A ∪B ＝{x |x ＞1}D ．A ∩B ＝∅解析：选A.∵B ＝{x |3x ＜1}，∴B ＝{x |x ＜0}．又A ＝{x |x ＜1}，∴A ∩B ＝{x |x ＜0}，A ∪B ＝{x |x ＜1}．故选A.2．(2017·高考全国卷Ⅰ)设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ；p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2；p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：选B.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )．对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，则b ＝0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题．对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0. 当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题． 对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇒/a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题． 对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B.3．(2017·高考北京卷)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n ＜0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：通解：选A.由题意知|m |≠0，|n |≠0.设m 与n 的夹角为θ.若存在负数λ，使得m ＝λn ，则m 与n 反向共线，θ＝180°，∴m·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |＜0.当90°＜θ＜180°时，m·n ＜0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n ＜0”的充分而不必要条件．故选A.优解：∵m ＝λn ，∴m·n ＝λn ·n ＝λ|n |2.∴当λ＜0，n ≠0时，m·n ＜0.反之，由m·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉＜0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线． 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n ＜0”的充分而不必要条件．故选A.4．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析：选C.由(x ＋1)(x －2)＜0⇒－1＜x ＜2，又x ∈Z ， ∴B ＝{0,1}，∴A ∪B ＝{0,1,2,3}．故选C.5．(2016·高考浙江卷)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( )A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2解析：选 D.先将条件中的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，再否定结论．故选D.6．(2015·高考山东卷)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．解析：若0≤x ≤π4，则0≤tan x ≤1，∵“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，∴m ≥1. ∴实数m 的最小值为1.答案：1限时规范训练一 集合、常用逻辑用语限时40分钟，实际用时 分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．集合A ＝{x ∈N |－1＜x ＜4}的真子集个数为( )A ．7B ．8C ．15D ．16解析：选C.A ＝{0,1,2,3}中有4个元素，则真子集个数为24－1＝15.2．已知集合A ＝{x |2x 2－5x －3≤0}，B ＝{x ∈Z |x ≤2}，则A ∩B 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B.A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12≤x ≤3，∴A ∩B ＝{0,1,2}，A ∩B 中有3个元素，故选B.3．设集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x ＜6}，则下列结论正确的是( )A ．N ⊆MB ．N ∩M ＝∅C ．M ⊆ND ．M ∩N ＝R解析：选C.集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x ＜6}＝{x |－2＜x ＜3}，则M ⊆N ，故选C.4．已知p ：a ＜0，q ：a 2＞a ，则﹁p 是﹁q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选B.因为﹁p ：a ≥0，﹁q ：0≤a ≤1，所以﹁q ⇒﹁p 且﹁p ⇒/﹁q ，所以﹁p 是﹁q 的必要不充分条件．5．下列命题正确的是( )A ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B ．“a ＞0，b ＞0”是“b a ＋a b ≥2”的充要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”D ．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x －1＜0，则﹁p ：∀x ∈R ，x 2＋x －1≥0 解析：选D.若p ∨q 为真命题，则p ，q 中至少有一个为真，那么p ∧q 可能为真，也可能为假，故A 错；若a ＞0，b ＞0，则b a ＋a b ≥2，又当a ＜0，b ＜0时，也有b a ＋a b ≥2，所以“a ＞0，b ＞0”是“b a ＋a b ≥2”的充分不必要条件，故B 错；命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”，故C 错；易知D 正确．6．设集合A ＝{x |x ＞－1}，B ＝{x ||x |≥1}，则“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是( )A ．－1＜x ≤1B ．x ≤1C ．x ＞－1D ．－1＜x ＜1解析：选 D.由题意可知，x ∈A ⇔x ＞－1，x ∉B ⇔－1＜x ＜1，所以“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是－1＜x ＜1.故选D.7．“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．当a＝0时，f(x)＝sin x－1x，f(－x)＝sin(－x)－1－x＝－sin x＋1x＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x－1x＝－f(x)，故f(x)为奇函数；反之，当f(x)＝sin x－1x＋a为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0，又f(－x)＋f(x)＝sin (－x)－1－x＋a＋sin x－1x＋a＝2a，故a＝0，所以“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－1x＋a为奇函数”的充要条件，故选C.8．已知命题p：“∃x∈R，e x－x－1≤0”，则﹁p为()A．∃x∈R，e x－x－1≥0B．∃x∈R，e x－x－1＞0C．∀x∈R，e x－x－1＞0D．∀x∈R，e x－x－1≥0解析：选C.特称命题的否定是全称命题，所以﹁p：∀x∈R，e x －x－1＞0.故选C.9．下列命题中假命题是()A．∃x0∈R，ln x0＜0B．∀x∈(－∞，0)，e x＞x＋1C．∀x＞0,5x＞3xD．∃x0∈(0，＋∞)，x0＜sin x0解析：选D.令f(x)＝sin x－x(x＞0)，则f′(x)＝cos x－1≤0，所以f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以f (x )＜f (0)，即f (x )＜0，即sin x ＜x (x ＞0)，故∀x ∈(0，＋∞)，sin x ＜x ，所以D 为假命题，故选D.10．命题p ：存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x 0＋cos x 0＞2；命题q ：命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1，则四个命题(﹁p )∨(﹁q )、p ∧q 、(﹁p )∧q 、p ∨(﹁q )中，正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，故命题p 为假命题；特称命题的否定为全称命题，易知命题q 为真命题，故(﹁p )∨(﹁q )真，p ∧q 假，(﹁p )∧q 真，p ∨(﹁q )假．11．下列说法中正确的是( )A ．命题“∀x ∈R ，e x ＞0”的否定是“∃x ∈R ，e x ＞0”B ．命题“已知x ，y ∈R ，若x ＋y ≠3，则x ≠2或y ≠1”是真命题C ．“x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立”⇔“对于x ∈[1,2]，有(x 2＋2x )min ≥(ax )max ”D ．命题“若a ＝－1，则函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点”的逆命题为真命题解析：选 B.全称命题“∀x ∈M ，p (x )”的否定是“∃x ∈M ，﹁p (x )”，故命题“∀x ∈R ，e x ＞0”的否定是“∃x ∈R ，e x ≤0”，A 错；命题“已知x ，y ∈R ，若x ＋y ≠3，则x ≠2或y ≠1”的逆否命题为“已知x ，y ∈R ，若x ＝2且y ＝1，则x ＋y ＝3”，是真命题，故原命题是真命题，B正确；“x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”⇔“对于x∈[1,2]，有(x＋2)min≥a”，由此可知C错误；命题“若a＝－1，则函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的逆命题为“若函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则a＝－1”，而函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点⇔a＝0或a＝－1，故D错．故选B.12．“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交”是“0＜b＜1”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.若“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交”，则圆心到直线的距离为d＝|b|2＜1，即|b|＜2，不能得到0＜b＜1；反过来，若0＜b＜1，则圆心到直线的距离为d＝|b|2＜12＜1，所以直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交，故选B.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．若命题“∃x0∈R，x20－2x0＋m≤0”是假命题，则m的取值范围是________．解析：由题意，命题“∀x∈R，x2－2x＋m＞0”是真命题，故Δ＝(－2)2－4m＜0，即m＞1.答案：(1，＋∞)14．若关于x的不等式|x－m|<2成立的充分不必要条件是2≤x≤3，则实数m的取值范围是________．解析：由|x－m|<2得－2<x－m<2，即m－2<x<m＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m －2<x <m ＋2}的真子集，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m －2<2m ＋2>3，由此解得1<m <4，即实数m 的取值范围是(1,4)．答案：(1,4)15．设集合S ，T 满足∅≠S ⊆T ，若S 满足下面的条件：(i)对于∀a ，b ∈S ，都有a －b ∈S 且ab ∈S ；(ⅱ)对于∀r ∈S ，n ∈T ，都有nr ∈S ，则称S 是T 的一个理想，记作S ⊲T .现给出下列集合对：①S ＝{0}，T ＝R ；②S ＝{偶数}，T ＝Z ；③S ＝R ，T ＝C (C 为复数集)，其中满足S ⊲T 的集合对的序号是________．解析：①(ⅰ)0－0＝0,0×0＝0；(ⅱ)0×n ＝0，符合题意． ②(ⅰ)偶数－偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数；(ⅱ)偶数×整数＝偶数，符合题意．③(ⅰ)实数－实数＝实数，实数×实数＝实数；(ⅱ)实数×复数＝实数不一定成立，如2×i ＝2i ，不合题意．答案：①②16．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )＜0，则m 的取值范围是________．解析：当x ＜1时，g (x )＜0；当x ＞1时，g (x )＞0；当x ＝1时，g (x )＝0.m ＝0不符合要求．当m ＞0时，根据函数f (x )和函数g (x )的单调性，一定存在区间[a ，＋∞)使f (x )≥0且g (x )≥0，故m ＞0时不符合第①条的要求．当m ＜0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f (x )的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f (x )至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4.函数f (x )的两个零点是2m ，－(m ＋3)，故m 满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，2m ＜－(m ＋3)，2m ＜－4，－(m ＋3)＜1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－(m ＋3)＜2m ，2m ＜1，－(m ＋3)＜－4，解第一个不等式组得－4＜m ＜－2，第二个不等式组无解，故所求m 的取值范围是(－4，－2)．答案：(－4，－2)考点二 平面向量、复数运算1．“三点”共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP →＝λ1OA →＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1)． 2．三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP →与向量OA →、OB →的关系是OP →＝12(OA →＋OB →)．3．三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA→＋GB →＋GC →＝0⇔G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3. OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA→⇔O 为△ABC 垂心．4．a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)．5．i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.6．z ·z ＝|z |2，(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i＝－i.类型一 平面向量的概念及线性运算[典例1] (1)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13AC → D.AD →＝43AB →－13AC →解析：通解一：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AB →＋43BC →＝AB →＋43(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.故选A.通解二：AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.选A. 优解：如图，建立平面直角坐标系，设B (0,0)，A (0,1)，C (1,0)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，0.∴AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫43，－1，AC →＝(1，－1)，AB→＝(0，－1)． AD →＝43AC →－13AB →.选A. 答案：A(2)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则mn 等于( )A ．－12 B.12 C ．－2D ．2解析：通解：(直接法，利用向量共线定理)∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即m e 1＋2e 2＝λ(n e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，解得m n ＝－2.优解：(用向量坐标表示)将e 1，e 2视为x 轴，y 轴上的单位向量， ∵a ＝(m,2)，b ＝(n ，－1) ∴a ∥b ⇔m n ＝2－1＝－2.故选C.答案：C平面向量线性运算的两种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算；(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b ≠0时，a ∥b ⇔存在唯一实数λ，使得a ＝λb )来判断．[自我挑战]1．在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( )A.12AB →＋12AD →B.34AB →＋12AD →C.34AB →＋14AD →D.12AB →＋34AD →解析：选B.由于M 为BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B.2．已知A 、B 、C 三点不共线，且AD →＝－13AB →＋2AC →，则S △ABD S △ACD＝( )A.23 B.32 C ．6D.16解析：选C.如图，取AM →＝－13AB →，AN →＝2AC →，以AM ，AN 为邻边作平行四边形AMDN ，此时AD →＝－13AB →＋2AC→. 由图可知S △ABD ＝3S △AMD ，S △ACD ＝12S △AND ，而S △AMD ＝S △AND ， ∴S △ABDS △ACD＝6，故选C. 类型二 平面向量数量积及其应用[典例2] (1)(2016·高考全国卷Ⅲ)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：通解：根据向量的夹角公式求解．∵BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，∴|BA →|＝1，|BC →|＝1，BA →·BC →＝12×32＋32×12＝32，∴cos ∠ABC ＝cos 〈BA →，BC →〉＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32. ∵0°≤〈BA →，BC →〉≤180°，∴∠ABC ＝〈BA →，BC →〉＝30°.⎝⎭∴∠ABx ＝60°，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12∠CBx ＝30°，∴∠ABC ＝30°.答案：A(2)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t .若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB→|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19D ．21解析：通解：(借“底”数字化) 由题意，AB →⊥AC →，故分别与AB →，AC →同向共线的单位向量可以作为平面向量的一组基底，设AB →|AB →|＝a ，AC →|AC →|＝b ，则|a |＝|b |＝1，且〈a ，b 〉＝π2，所以a·b ＝0. 所以AB →＝1t a ，AC→＝t b ，AP →＝a ＋4b . 而PB →＝AB →－AP →＝1t a －(a ＋4b )＝⎝⎛⎭⎪⎫1t －1a －4b ，PC→＝AC →－AP →＝t b －(a ＋4b )＝－a ＋(t －4)b ， 故PB →·PC →＝[⎝⎛⎭⎪⎫1t－1a －4b ]·[－a ＋(t －4)b ] ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1a 2－4(t －4)b 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1(t －4)a·b＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1×1－4(t －4)×1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1(t －4)×0＝1－1t －4t ＋16＝17－⎝⎛⎭⎪⎫1t ＋4t .由已知|AB →|＝1t ，所以t ＞0. 由基本不等式可得1t ＋4t ≥21t ×4t ＝4(当且仅当1t ＝4t ，即t ＝12时等号成立)，所以PB →·PC →＝17－⎝⎛⎭⎪⎫1t ＋4t ≤17－4＝13.综上，当t ＝12时，PB →·PC→取得最大值13.故选A.优解：(借“系”坐标化)由题意，AB →⊥AC →，故以点A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．由题意可得，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )．而AB →|AB →|＝(1,0)，AC→|AC →|＝(0,1)， 所以AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|＝(1,4)，故P (1,4)．故PB →＝⎝⎛⎭⎪⎫1t－1，－4，PC →＝(－1，t －4)， 所以PB →·PC →＝⎝⎛⎭⎪⎫1t －1×(－1)＋(－4)×(t －4)＝1－1t －4t ＋16＝17－⎝⎛⎭⎪⎫1t ＋4t . 由已知|AB →|＝1t ，所以t ＞0. 由基本不等式可得1t ＋4t ≥21t ×4t ＝4(当且仅当1t ＝4t ，即t ＝12时等号成立)，∴PB →·PC→＝17－(t ＋4t )≤17－4＝13. 综上，当t ＝12时，PB →·PC →取得最大值13，故选A. 答案：A [母题变式]本例(1)中，已知条件不变，改为求|AC→|的值？ 解：∵AC →＝BC →－BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，1－32 ∴|AC→|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－322＝6－22.1．一般地，用向量方法解决模的问题的途径有三：一是利用公式|a |2＝a 2，将模的平方转化为数量积问题；二是利用模的几何意义；三是坐标法．解决向量的夹角问题主要是利用公式“cos 〈a ，b 〉＝a·b|a |·|b |”将向量的夹角问题转化为数量积及模的问题来解决． 2．求解向量数量积最值问题的两种思路(1)直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值． (2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．[自我挑战]3．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.解析：通解：以AB →、AD →为基底表示AE →和BD →后直接计算数量积． AE →＝AD →＋12AB →，BD →＝AD →－AB →， ∴AE →·BD →＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →·(AD →－AB →)＝|AD →|2－12|AB →|2＝22－12×22＝2.优解：(坐标法)先建立平面直角坐标系，结合向量数量积的坐标运算求解．如图，以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，D (0,2)，E (1,2)，∴AE→＝(1,2)，BD →＝(－2,2)， ∴AE →·BD →＝1×(－2)＋2×2＝2. 答案：24．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b·c ＝0，则t ＝________.解析：通解：∵b ·c ＝0，∴b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，t a·b ＋(1－t )·b 2＝0， 又∵|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°， ∴12t ＋1－t ＝0，t ＝2.优解：由t ＋(1－t )＝1知向量a 、b 、c 的终点A 、B 、C 共线，在平面直角坐标系中设a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32.把a 、b 、c 的坐标代入c ＝t a ＋(1－t )b ，得t ＝2.答案：2类型三 复数的代数运算及几何意义[典例3] (1)(2016·高考全国卷Ⅱ)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：(根据复数几何意义)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋3＞0，m －1＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－3，m ＜1⇒－3＜m ＜1.故选A. 答案：A(2)(2016·高考全国卷Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：(根据复数相等及模计算)∵x ，y ∈R ，(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝ 2.故选B.答案：B(3)(2016·高考全国卷Ⅲ)若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：利用z z ＝|z |2. ∵z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5， ∴4i z z －1＝4i4＝i ，故选C. 答案：C1．复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．2．复数模的运算规律|z 1z 2|＝|z 1|·|z 2|；⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|.[自我挑战]5．设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：通解：选A.由已知1＋z1－z ＝i ，可得z ＝i －1i ＋1＝(i －1)2(i ＋1)(i －1)＝－2i －2＝i ， ∴|z |＝|i|＝1，故选A.优解：∵1＋i1－i＝i ，∴z ＝i ，∴|z |＝1.6．若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：通解：选B.∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ⇒4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4，解得a ＝0. 优解：检验法：将a ＝0代入适合题意，故选B.1．(2017·高考全国卷Ⅱ)3＋i 1＋i ＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选D.3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－3i ＋i ＋12＝2－i.故选D. 2．(2017·高考全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12B.22解析：选C.解法一：由(1＋i)z ＝2i 得z ＝2i1＋i ＝1＋i ，∴|z |＝ 2.故选C. 解法二：∵2i ＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z ＝2i ＝(1＋i)2，得z ＝1＋i ， ∴|z |＝ 2.故选C.3．(2017·高考全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.∵z ＝i(－2＋i)＝－1－2i ，∴复数z ＝－1－2i 所对应的复平面内的点为Z (－1，－2)，位于第三象限．故选C.4．(2017·高考全国卷Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( )A ．a ⊥bB ．|a |＝|b |C ．a ∥bD ．|a |>|b |解析：选A.解法一：∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b . ∴a ·b ＝0.∴a ⊥b .故选A.解法二：利用向量加法的平行四边形法则． 在▱ABCD 中，设AB→＝a ，AD →＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知|AC→|＝|DB →|， 从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b .故选A.5．(2016·高考山东卷)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94D ．－94解析：选B.因为n ⊥(t m ＋n )，所以t m ·n ＋n 2＝0，所以m·n ＝－n2t ，又4|m |＝3|n |，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m |·|n |＝4m·n 3|n |2＝－43t ＝13，所以t ＝－4.故选B.6．(2016·高考全国卷Ⅰ)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________.解析：由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，知a ⊥b ， ∴a·b ＝m ＋2＝0，∴m ＝－2. 答案：－2限时规范训练二 平面向量、复数运算 限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．设i 是虚数单位，如果复数a ＋i2－i 的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A.13 B ．－13 C ．3D ．－3解析：选C.a ＋i 2－i ＝2a －1＋(a ＋2)i5，由题意知2a －1＝a ＋2，解之得a ＝3.2．若复数z 满足(1＋2i)z ＝(1－i)，则|z |＝( ) A.25 B.35 C.105D.10解析：选C.z ＝1－i 1＋2i＝－1－3i 5⇒|z |＝105.3．已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z －z 2的共轭复数是( ) A ．－1＋3i B ．1＋3i C ．1－3iD ．－1－3i解析：选B.2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2＝2(1－i )(1＋i )(1－i )－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数是1＋3i ，故选B.4．若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i ＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1解析：选C.∵z 为纯虚数，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i ＝(2－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－3i 3＝－i. 5．已知复数z ＝11－i ，则z －|z |对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.∵复数z ＝11－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＝12＋12i ，∴z －|z |＝12＋12i －⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1－22＋12i ，对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12所在的象限为第二象限．故选B.6．若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A.2－12B.2－1 C ．1D.2＋12解析：选A.由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i 1－i ＝(2＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2－12＋2＋12i ，z 的实部为2－12，故选A.7．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB→＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B.由MA→＋MB →＋MC →＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为边BC 的中点，则AM →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以AB→＋AC →＝3AM →，故m ＝3，故选B. 8．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是( )A ．24B ．8C.83D.53解析：选B.∵a ∥b ，∴－2x －3(y －1)＝0，即2x ＋3y ＝3， ∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ×13(2x ＋3y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋9y x ＋4x y ＋6≥13⎝⎛⎭⎪⎫12＋29y x ·4x y ＝8，当且仅当2x ＝3y ＝32时，等号成立． ∴3x ＋2y 的最小值是8.故选B.9．在平行四边形ABCD 中，AC ＝5，BD ＝4，则AB →·BC →＝( ) A.414 B ．－414 C.94D ．－94解析：选C.因为BD →2＝(AD →－AB →)2＝AD →2＋AB →2－2AD →·AB →，AC →2＝(AD →＋AB →)2＝AD →2＋AB →2＋2AD →·AB →，所以AC →2－BD →2＝4AD →·AB →，∴AD →·AB →＝AB →·BC →＝94. 10．在△ABC 中，已知向量AB →＝(2,2)，|AC →|＝2，AB →·AC →＝－4，则△ABC 的面积为( )A ．4B ．5C ．2D ．3解析：选C.∵AB→＝(2,2)，∴|AB →|＝22＋22＝2 2. ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝22×2cos A ＝－4， ∴cos A ＝－22，∵0＜A ＜π，∴sin A ＝22，∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝2.故选C.11．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO →＝AB →＋AC →且|OA →|＝|AB→|，则向量BA →在BC →方向上的投影为( ) A.12 B.32 C ．－12D ．－32解析：选A.由2AO →＝AB →＋AC →可知O 是BC 的中点，即BC 为△ABC 外接圆的直径，所以|OA→|＝|OB →|＝|OC →|，由题意知|OA →|＝|AB →|＝1，故△OAB 为等边三角形，所以∠ABC ＝60°.所以向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos ∠ABC ＝1×cos 60°＝12.故选A.12．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN→的最大值为( )A ．3B ．2 3C ．6D ．9解析：选D.由平面向量的数量积的几何意义知，AM →·AN →等于AM →与AN →在AM →方向上的投影之积，所以(AM →·AN →)max＝AM →·AC →＝⎝⎛⎭⎪⎫12AB →＋AD →·(AB →＋AD →)＝12AB 2→＋AD 2→＋32AB →·AD →＝9.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)解析：∵z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i －2－23i ＝3＋i－2(1＋3i )＝(3＋i )(1－3i )－2(1＋3i )(1－3i )＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝⎝⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14.答案：1414．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a ，b 夹角的大小为________．解析：|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立⇒a 2＋2x a ·b ＋x 2b 2≥a 2＋2a·b ＋b 2恒成立⇒x 2＋2a ·b x －1－2a ·b ≥0恒成立，∴Δ＝4(a·b )2－4(－1－2a·b )≤0⇒(a·b ＋1)2≤0，∴a·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，故a 与b 的夹角的大小为2π3.答案：23π15．已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，BC ＝7，其外接圆的圆心为O ，则AO →·BC→＝________.解析：如图，取BC 的中点M ，连OM ，AM ，则AO →＝AM →＋MO →， ∴AO →·BC →＝(AM →＋MO →)·BC→.∵O 为△ABC 的外心，∴OM ⊥BC ，即OM →·BC →＝0，∴AO →·BC →＝AM →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC 2→－AB 2→)＝12(62－42)＝12×20＝10.答案：1016．已知非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |，〈c －a ，c －b 〉＝2π3，则|c ||a |的最大值为________．解析：设OA→＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b . ∵非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |， ∴△OAB 是等边三角形． 设OC→＝c ， 则AC →＝c －a ，BC →＝c －b .∵〈c －a ，c －b 〉＝2π3， ∴点C 在△ABC 的外接圆上，∴当OC 为△ABC 的外接圆的直径时，|c ||a |取得最大值，为1cos 30°＝233.答案：233考点三 算法、框图与推理1．程序框图中有S ＝S ＋1(2i －1)(2i ＋1)，i ＝i ＋1时，表示数列裂项求和．2．程序框图中有S ＝S ＋2n ＋n ，n ＝n ＋1时表示等比数列与等差数列求和．3．三角形数N (n,3)＝12n 2＋12n (第n 个三角形数)四边形数N (n,4)＝n 2(第n 个四边形数)五边形数N (n,5)＝32n 2＋－12n (第n 个五边形数)k 边形数N (n ，k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－1n 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－2n (k ≥3)(第n 个k 边形数) 4．类比推理常见的类比内容平面几何中的点↔空间几何中的线平面几何中的线↔空间几何中的面平面几何中的三角形↔空间几何中的三棱锥平面几何中的圆↔空间几何中的球类型一 求算法与框图的输入或输出值[典例1] (1)(2017·高考全国卷Ⅱ)执行下面的程序框图，如果输入的a ＝－1，则输出的S ＝( )A．2 B．3C．4 D．5解析：当K＝1时，S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝2；当K＝2时，S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，执行K＝K＋1后，K ＝3；当K＝3时，S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，执行K＝K＋1后，K ＝4；当K＝4时，S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，执行K＝K＋1后，K ＝5；当K＝5时，S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，执行K＝K＋1后，K ＝6；当K＝6时，S＝－3＋1×6＝3，执行K＝K＋1后，K＝7>6，输出S＝3.结束循环．故选B.答案：B(2)(2016·高考全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足()A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5x解析：x ＝0，y ＝1，n ＝1，x ＝0，y ＝1，n ＝2；x ＝12，y ＝2，n ＝3；x ＝32，y ＝6，此时x 2＋y 2＞36，输出x ＝32，y ＝6，满足y ＝4x .故选C.答案：C按部就班法：即按照程序框图的流程线指向，逐步进行运算，直至满足输出的条件．这也是解决程序框图的基本方法．[自我挑战]1．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的i 的值为( )A．3 B．4C．5 D．6解析：选B.第一次执行，有i＝1，a＝2；第二次执行，有i＝2，a＝5；第三次执行，有i＝3，a＝16；第四次执行，有i＝4，a＝65.此时满足条件a＞50，跳出循环，输出i＝4.故选B.2．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．如果输入某个正整数n后，输出的S∈(10,20)，那么n的值为()A．3 B．4C．5 D．6解析：通解：选B.依据初始条件，逐步求出S的值，判断n的值．由S＝0，k＝1得S＝1，k＝2，应该为否，即2≤n，⇒S＝1＋2×1＝3，k＝3为否，即3≤n，⇒S＝1＋2×3＝7，k＝4为否，即4≤n，⇒S＝1＋2×7＝15，k＝5为是，即5>n，综上，4≤n<5，∴n＝4.故选B.优解：先读出框图的计算功能，再结合等比数列求和公式求解．框图功能为求和，即S＝1＋21＋22＋…＋2n－1.由于S ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1∈(10,20)， ∴10<2n －1<20，∴11<2n <21，∴n ＝4，即求前4项和．∴判断框内的条件为k >4，即n ＝4.故选B.类型二 补写、完善程序框图[典例2] (1)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( )A ．s ≤34？B ．s ≤56？C ．s ≤1112？D ．s ≤2524？解析：通解：由s ＝0，k ＝0满足条件，则k ＝2，s ＝12，满足条件；k ＝4，s ＝12＋14＝34，满足条件；k ＝6，s ＝34＋16＝1112，满足条件；k ＝8，s ＝1112＋18＝2524，不满足条件，输出k ＝8，所以应填s ≤1112.优解：由题意可知S ＝12＋14＋16＋18＝2524，此时输出8，是不满足条件，故选C.答案：C(2)阅读如下程序框图，如果输出i ＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )A ．S ＝2*i －2B.S ＝2*i －1 C ．S ＝2*i D.S ＝2*i ＋4解析：通解：当i ＝2时，S ＝2×2＋1＝5<10；当i ＝3时，仍然循环，排除D ；当i ＝4时，S ＝2×4＋1＝9<10；当i ＝5时，不满足S <10，即此时S ≥10，输出i .此时A 项求得S ＝2×5－2＝8，B 项求得S ＝2×5－1＝9，C 项求得S ＝2×5＝10，故只有C 项满足条件．故选C.优解：由D ：S ＝2*i ＋4≥10，得i ≥3即可.由B ：S ＝2*i －1≥10，得i ≥5.5与输出i ＝5矛盾.答案：C当型循环结构与直到型循环结构的本质区别是：前者先判断后执行，后者先执行后判断．注意影响循环的次数以及输出结果的两个方面：一是循环结构中判断框内的条件是否含有等号；二是累加(累乘)变量与计数变量所对应的处理框的先后顺序．[自我挑战]3．如图是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，其中在判断框内可填入的条件是( )A．i＜10 B．i＞10C．i＜20 D．i＞20解析：选B.要实现所求算法，框图中最后一次执行循环体时i的值应为10，结合不满足条件时执行循环体知当i＝11＞10时就会终止循环，所以判断框内的条件可为i＞10.故选B.4．如图(1)是某县参加2017年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10(如A2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数)．图(2)是统计图(1)中身高在一定范围内学生人数的一个程序框图．现要统计身高在160～180 cm(含160 cm，不含180 cm)的学生人数，则在流程图中的判断框内应填写()A．i＜6? B．i＜7?C．i＜8? D．i＜9?解析：选C.统计身高在160～180 cm的学生人数，即求A4＋A5＋A6＋A7的值．当4≤i≤7时，符合要求．类型三合情推理、演绎推理[典例3](1)(2016·高考全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：根据丙的说法及乙看了丙的卡片后的说法进行推理．由丙说“我的卡片上的数字之和不是5”，可推知丙的卡片上的数字是1和2或1和3.又根据乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”可知，乙的卡片不含1，所以乙的卡片上的数字为2和3.再根据甲的说法“我与乙的卡片上相同的数字不是2”可知，甲的卡片上的数字是1和3.答案：1和3(2)(2016·高考北京卷)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则() A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析：通解：假设出红球、黑球的个数，依次验证排除．假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，A错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，D错误；同样，假设袋中。