2017-2018年高考数学总复习:极坐标
x cos sin y ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩ 222x y ρ+= 考点一。
直角坐标化极坐标
(1)点M 的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为______. 解：点M 极坐标为：2(2,2),()3
k k Z π
π+
∈. （2）求直线3x-2y+1=0的极坐标方程。
解：极坐标方程为01sin 2cos 3=+-θρθρ。
(3)在极坐标系中，圆心在π）且过极点的圆的极坐标方程为______.
解：圆心:)02(，-,22(2x y +=。
圆的极坐标方
程为ρθ。
考点二。
极坐标化直角坐标
（1）求普通方程)3
R ∈=ρπ
θ（。
解：y=kx,且k=33
tan
=π
,则x 3y =的直线。
（2）将曲线的极坐标方程ρ=４sin θ化 成直角坐标方程。
解：将ρ=2
2y x +，sin θ=
2
2y x y +代入ρ=4sin θ，得x 2+y 2=4y ，即x 2+(y-2)2
=4.
(3)求过圆4cos =ρθ的圆心，且垂直于极轴的直线极坐标方程．
解：由θρcos 4=得θρρcos 42=．所以x y x 42
2=+，22(2)4x y -+=圆心坐标(2,0)
直线方程为2=x ．直线的极坐标方程为2cos =θρ。
(4)将极坐标方程4sin 2
θ=3化为普通方程。
解：由4sin 2
θ=3,得4·2
22y x y +＝3,即y 2=3 x 2
，y=±x 3.
（5）化极坐标方程2
4sin
52
θ
ρ⋅=为普通方程。
解：2
1c o s
4s i n 4
22c o s 52
2
θ
θρρρρθ-⋅=⋅=-=，
即25x =，化简225
54
y x =+
.表示抛物线. (6)求点 (,)π
23
到圆2cos ρθ= 的圆心的距离。
解：)3
,
2(π化为)3,1(，圆θρcos 2=化为0222=-+x y x ，圆心的坐标是)0,1(，故距
离为3。
（7）求点M （4，
）到直线l ：ρ（2cos θ+sin θ）=4的距离．
（8）已知21,C C 极坐标方程分别为θρθρcos 4,3cos ==（2
0,0θρ<≤≥），求曲线1
C 与2C 交点极坐标.
解:21,C C 分别为4)2(,32
2=+-=y x x ,且0≥y ，两曲线交点为（3，3）. 所以，交
点的极坐标为⎪⎭
⎫
⎝
⎛6,
32π。
考点三。
极坐标应用
命题点1.求面积（12121
A B S =sin -2
ραρβρραβ∆∴（，），（，）
（）） （1）在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为⎝
⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，求△AOB 的面积．
解： 由题意得S △AOB ＝12×3×4×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π6＝1
2
×3×4×sin π6＝3.
（2）在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为
），）和（，（6
5-53
4π
π
，求△AOB 的面积．
解： 由题意得5))6
5(3sin(5421S =--⨯⨯⨯=
∆π
π. ）化成为（）
命题点2.求两点距离
(12A B AB ραρβ∴（，），（，）)
(1)在极坐标系中，已知点A （1，
43π）和B )4
,2(π
,求A 、B 两点间的距离． 解:A ），（2222-
,B ），（22，则22
)22
2(2-22-AB -+=）（=5。
命题点3：用极坐标求距离：
（提示：直线l 与两曲线分别交于A ，B 两点，已知：直线极坐标π
θ＝
３
，直线参数方程
θθ⎧
⎨⎩
ｘ＝ｔｃｏｓｙ＝ｔｓｉｎ （t 为参数），则ρρρρ１
２１２ＡＢ＝－；ＯＡ＋ＯＢ＝＋ ） （1）若为参数）：ααα(sin 3y cos 33x C 1⎩
⎨
⎧=+=，为参数）：αα
α
(sin 1y cos x C 2⎩⎨
⎧+==，在极坐标系中，射线1C 20）与（πααθ≤≤=交于O ，M ，与2C 交于O,N ，求ON OM +的最大值。
解：两圆：1)1(,3)3x 2222=-+=+-y x y （，化为极坐标：
θρθρsin 2:,cos 32:21==C C ，
则),sin 2(),,cos 32(ααααN M ，)3
sin(4sin 2cos 32ON OM π
ααα+
=+=+∴，
3733
π
π
απ
≤
+
≤
， 故4ON OM 6
2
3
max =+=
=
+
时，，即当π
απ
π
α。
（2）在极坐标系中，曲线C ：θρcos 2=，O 为极点，A,B 为C 上两点，且3
AOB π
=∠，
求OB OA +最大值。
解
：
3
2)3
s
32s 3c 3)3
c
2c 2OB OA max 11=+=+=-+=+=+π
θθθπ
θθρρ。
(3)若曲线为参数）
：t (tsin y tcos
x C 1⎩⎨
⎧==α
α,
又曲线2223C x 20,:y y C ρθ+-==：，且.AB B C C A C C 3121最大值，求于交，于交
解：αtan ,y C 1==k kx ：，则交点极坐标),cos 32(),,sin 2A ααααB （， 故4max )3
sin(4)()cos 32sin 2AB 22=-
=-+-=π
ααααα（。
（4）为参数）：αα
α
(sin 3y cos 33x C 1⎩⎨
⎧=+=，若M 是1C 上动点，P 在2C 上，且2=，在极坐标系中，射线
3
π
θ=
与1C 和2C 分别交于A ，B 两点，求AB 。
解：
⎪⎩
⎪⎨
⎧=='+=='⎩⎨⎧'='=∴''θθ
sin 321cos 3121
,22),(),,P y y x x y y x x y x M y x 则（3)3x C 12)2(:2
21222=+-=+-∴y y x C （，，分别化为极坐标：
）
，（代入，将：3
2A 3,02cos 2-C 21π
π
θθρρ∴=
=-），（：3
4B ,08cos 4-C 22π
θρρ∴=-， 故2AB =。
(5)已知2212:2,:(1)(2)1C x C x y =--+-=，若直线4
π
θ=
与12,C C 分别交于M ，N ，求
2C MN S ∆。
解
：
将
4
π
θ=
代入极坐标
：
21212:cos 2,:(2cos 4sin )40C C MN ρθρρθθρρ=--++=∴=-=
圆心（1,2）到直线x-y=0距离
112222
S =
==.。