圆锥曲线最值问题及练习中学数学最值问题遍及代数、三角,立体几何及解析几何各科之中,且与生产实际联系密切，最值问题有两个特点:①覆盖多个知识点（如二次曲线标准方程,各元素间关系,对称性，四边形面积,解二元二次方程组，基本不等式等)②求解过程牵涉到的数学思想方法也相当多（诸如配方法,判别式法,参数法,不等式,函数的性质等)计算量大，能力要求高。

１、回到定义例１、已知椭圆221259x y +=,A （4,０）,B （2,２)是椭圆内的两点,P 是椭圆上任一点，求：(1)求5||||4PA PB +的最小值; (2)求|ＰA|+|PB|的最小值和最大值。

略解：(1)A 为椭圆的右焦点。

作PQ ⊥右准线于点Q,则由椭圆的第二定义||4||5PA e PQ ==，∴5||||||||4PA PB PQ PB +=+.问题转化为在椭圆上找一点P ,使其到点B 和右准线的距离之和最小,很明显,点P 应是过B 向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为174。

（2)由椭圆的第一定义,设C 为椭圆的左焦点，则|ＰA|＝2a-|P Ｃ｜ ∴｜P A|+|ＰB|=２a-|PC|+｜ＰＢ|=10+(|PB ｜ -|PC|）根据三角形中，两边之差小于第三边,当P 运动到与B 、C 成一条直线时,便可取得最大和最小值。

即-|BC|≤|ＰB| -|PC|≤｜BC|.当P 到Ｐ"位置时，|PB| －｜PC|=|BC|,｜P A|＋|PB|有最大值,最大值为１0＋|BC|＝10+当P 到P"位置时,|PB| -|PC|=－|B Ｃ|,|P Ａ|＋|PB ｜有最小值，最小值为10-|BC|＝10-回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用。

(2)中的最小值还可以利用椭圆的光学性质来解释:从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点,而光线所经过的路程总是最短的。

２、利用闭区间上二次函数最值的求法例2、在抛物线24x y =上求一点，使它到直线y=4x －5的距离最短。

解:设抛物线上的点)4,(2t t P ，点P 到直线4x-y －5＝0的距离174)21(41754422+-=+-=t t t d当21=t 时,174min =d ，故所求点为)1,21(。

例3、已知一曲线x y 22=，（１)设点Ａ的坐标为)0,32(，求曲线上距点A 最近的点Ｐ的坐标及相应的距离 |P A|；(2）设点A 的坐标为（a,0)a ∈R,求曲线上点到点A 距离最小值d ，并写出ｄ=ｆ(a)的函数表达式。

解：(１)设M(x ，y)是曲线上任意一点，则x y 22= )0(≥x31)31(2)32()32(22222++=+-=+-=x x x y x MA ∵ x ≥094min2=MA∴ 所求P 点的坐标是（0，０），相应的距离是32=AP（2）设M （x,ｙ）是曲线上任意一点，同理有x a x y a x MA 2)()(2222+-=+-=)12()]1([2-+--=a a x 0≥x综上所述，有⎪⎩⎪⎨⎧-=aa d 12)1a ()1a (时当时当<≥３、运用函数的性质例4、在△ＡＢC 中,A ∠，B ∠,C ∠的对边分别为ａ，b,ｃ,且c=１0,34cos cos ==a b B A ,Ｐ为△ABC 内切圆上动点,求点P 到顶点A,B ，Ｃ的距离的平方和最大值与最小值。

解:由B A A B A A ABa b B A 2sin 2sin 0sin cos cos sin sin sin cos cos =⇒=-⇒== ∵134≠=a b ∴ B A 22-=π ∴△AB Ｃ为Rt △由Ｃ＝10,且34=a b 知 a ＝６ b=８ 设△ABC 内切圆半径为r ，如图建立直角坐标系，则Rt △ＡBC 的内切圆M 的方程为:4)2()2(22=-+-y x 设圆M 上动点P （x,y ）(40≤≤x )，则P 点到顶点A ，B,C 的距离的平方和为:222222222)6()8(x y y x y x PC PB PA ++-+++-=++=10012163322+--+=y x y x 764])2()2[(322+--+-=x y x ＝8８-4x∵点P 在内切圆Ｍ上，40≤≤x ,于是88088max =-= 721688min =-=例５、直线m:y ＝kx+1和双曲线x 2-y 2＝1的左支交于A,B 两点,直线L 过点P(－2,0)和线段AB 的中点M,求L 在ｙ轴上的截距b 的取值范围。

略解：设A （x １,y 1），Ｂ(x ２,y 2),M(ｘ０,y ０)，将y=k ｘ+1代入x 2-y 2＝1得(１－k 2）x ２－2ｋx-2=０,由题意，△>０且x １＋x 2<0,x １x 2>0，解之得1k<<且Ｍ221(,)11k k k--，又由P(-２，0)，M,Q(0，b ）共线,得22211122221b k k k k k -==-+++-,即2222b k k =-++ 下面可利用函数f(k)=-2ｋ２＋ｋ+2在上是减函数，可得22b b <->。

例６、已知Ｐ是椭圆2214x y +=在第一象限内的点,A （2,0),B （０，1)，O 为原点,求四边形ＯAPB 的面积的最大值。

略解：设P （2c ｏs θ,sin θ）,(０<θ<л／2)，点P 到直线AB:ｘ+２ｙ=2的距离|)2|5d πθ+--==≤=4、判别式法例7、定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线x y =2上移动,记线段ＡB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标。

解：设点A 、B 的坐标分别为),(11y x ,),(22y x ，那么211y x =，222y x =①由题意，得2122122)()(3y y x x -+-= ②,又A Ｂ的中点Ｍ(ｘ,ｙ)到y 轴的距离为122x x x +=③,将① ③ 代入② 整理得02432)(42221221=--++x x y y y y ④,∵ 21y y 为实数,故 △=0)243(44422≥--⨯-x x 又∵ x>0得45≥x ⑤,当45=x 时，△=０ 由④解得4121-=y y ⑥,2214522122)(212221221=-⨯=-=++=+x y y y y y y ，可得221=+y y ⑦,由 ⑥,⑦可得1y ，2y ,由①即得相应的1x ,2x 。

故ＡＢ的中点M 距y 轴最短距离为450=x ，且相应的中点坐标为)22,45(或)22,45(-。

法二:121x y = 222x y = 212221x x y y -=-∴ yx x y y k 212121=--=∴ 221222122))(41(9)]()2(1[3y y y y y y -+=⇒-+= ∵ 2221212y y x x x +=+= ① 212y y y += ②由①－②２得212242y y y x -=- ③ ①+③得2212)(44y y y x -=- ④④代入①得 4551924419422≥⇒=-≥++=x y y x 当且仅当1441922+=+y y 212=y 22±=y 时等式成立。

∴ 45min =x )22,45(±M 说明：此法即为下面的基本不等式法。

５、利用基本不等式例8、已知椭圆2214x y +=，F 1,F ２为其两焦点，P 为椭圆上任一点。

求:(１)|PF 1||PF 2|的最大值;（2）|ＰF 1｜2+｜PF ２|２的最小值。

略解：设|PF 1|=m ，|PF 2|=n,则m ＋n ＝2a=4,｜PF 1|｜PF 2|＝mn ≤22m n +⎛⎫⎪⎝⎭=4.|PF １|２＋｜PF 2|2＝(|PF １｜+｜P Ｆ２｜)2-2|ＰF 1||PF 2|≥4２－２×4=8 参考练习:1、 过椭圆E:22221x y a b+=（a>b ＞0）上的动点P 向圆Ｏ：ｘ２+ｙ２=b 2引两条切线ＰA ，ＰB ，切点分别为Ａ,B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于Ｍ,N 两点。

求△M ＯＮ的面积的最小值。

（3b a)2、 设椭圆的中心在原点，长轴在x 轴上，离心率为32e =，已知点P(０,3/２）到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆方程,并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标。

（2214x y +=,所求点为1(3,)2±-）3、Ｐ为椭圆2221x y a +=上的一个动点，它与长轴端点不重合,2a ≥，点F １和F ２分别是双曲线2221x y a-=的左右焦点，ф=∠Ｆ１PF 2， (１）求tg ф的表达式;（用a 及描述Ｐ位置的一个变量来表示） (2）当ａ固定时求ф的最小值ф０;（３）当a 在区间[2,3]上变化时，求ф０的取值范围。

（2022021(1)1a y tg a y φ+=--+，20211a arctg a φπ+=--,02[,2]3arctg πφ∈） 4、已知抛物线的方程为212yx m =-+,点A 、Ｂ及P （2,4）均在抛物线上,且直线ＰA 、PB 的倾斜角互补.ﻫ （1)求证:直线ＡB 的斜率为定值;（2)ﻫ (２)当直线AB 在y 轴上的截距为正时，求△PAB 面积的最大值．(最大值为6439,当b=163时取到。

)。