指数函数[核心必知]1．指数函数的定义函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)叫作指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 2．指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1，x ∈R )的图像和性质 (1)指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图像和性质，如下表所示．y ＝a x a ＞1 0＜a ＜1图像性质定义域 R 值域(0，＋∞)定点 恒过(0,1)点，即x ＝0时，y ＝1函数值 的变化 x ＞0时，y ＞1；x ＜0时，0＜y ＜1 x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y ＞1； 单调性是R 上的增函数是R 上的减函数(2)函数y ＝a x与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax (a ＞0且a≠1)图像关于y 轴对称．[问题思考]1．对于指数函数y ＝a x，为什么要规定底数a ＞0且a ≠1?提示：如果a ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧当x ＞0，a x恒等于0；当x ≤0时，a x 无意义.如果a ＜0，如y ＝(－4)x，当x ＝14、12等时，在实数范围内函数值不存在．如果a ＝1，y ＝1x ＝1，是一个常量，对它就没有研究的必要．为了避免上述各种情况，所以规定a ＞0且a ≠1.2．在同一直角坐标系中画出y ＝3x，y＝2x，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图像，指出它们的相对位置与底数大小有何关系？提示：借助图像可得如下结论：(1)在y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小．(2)在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．(3)无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．3．函数y ＝3x的图像关于y 轴对称图像对应的函数是什么？与偶函数图像对称有什么区别？提示：是y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ；这是两个函数图像关于y 轴对称，而偶函数是一个函数的图像的两部分关于y 轴对称．讲一讲1．画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图像，并根据图像写出函数的值域及单调区间．[尝试解答] ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥0，2x ，x ＜0，∴在平面直角坐标系内画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (x ≥0)及y ＝2x (x ＜0)的图像．这两段图像合起来就是所求函数的图像，如图．由图像可知所求函数的值域是(0,1]，递增区间是(－∞，0]，递减区间是[0，＋∞)．与指数函数有关的指数型函数的图像，一般是根据其解析式的结构特征，利用函数图像的平移、对称或翻折变换得其图像，然后利用图像直观地研究其性质．练一练1．已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x ＋1|.(1)试利用指数函数的图像作出该函数的图像；(2)由图像指出该函数的单调区间；(3)由图像指出当x 取何值时，函数有最值．解：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x ＋1|＝ ⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋1，x ≥－1，3x ＋1，x ＜－1.其图像由两部分组成：①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x (x ≥0)――→向左平移1个单位y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋1(x ≥－1)； ②y ＝3x(x ＜0)――→向左平移1个单位y ＝3x ＋1(x ＜－1)．图像如图：(2)由图像知函数在(－∞，－1]上是增函数，在(－1，＋∞)上是减函数．(3)由图像知当x ＝－1时，函数有最大值1，无最小值．讲一讲2．试比较下列各组数的大小： (1)1.12.5与；(2)－与－； (3)与(a ＞0且a ≠1)；(4)－与－. [尝试解答] (1)考查指数函数y ＝，由于底数＞1，所以函数y ＝在R 上是增函数．∵＜3，∴1.12.5＜.(2)考查函数y ＝，由于底数＜1， 所以函数y ＝在R 上是减函数． ∵－＞－，∴－＜－.(3)当a ＞1时，函数y ＝a x在R 上是增函数．∵＜，∴＜.当0＜a ＜1时，函数y ＝a x在R 上是减函数，∴＞.(4)∵ －＞＝1,－＜＝1， ∴－＞－.对于指数幂的大小比较，一般规律为： (1)同底数指数幂大小的比较：构造指数函数，利用单调性比较大小．(2)同指数不同底数的指数幂：在同一坐标中作出不同底数的函数的图像，利用图像比较大小．(3)既不同底数，又不同指数指数幂：利用中间量法，常借助中间量0或1进行比较，如本讲(4)．练一练2．比较下列各组数的大小．(1)与⎝ ⎛⎭⎪⎫54－；(2),，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－；(3)－2与⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23；(4)0.30.4与解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫54－＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝，∵函数y ＝在定义域R 上是减函数，又∵>， ∴， 即－. (2)∵＝,＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－＝， ∵y ＝2x在定义域R 上为增函数，∴>>，即>⎝ ⎛⎭⎪⎫12－>.(3)∵－2>＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23<⎝ ⎛⎭⎪⎫430＝1，∴－2>⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23.(4)当指数相同且大于0时，底数越大图像越高，∴0.30.3<， 又∵0.30.4<，∴讲一讲3．(1)求函数y ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的定义域和值域；(2)求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x 的值域；(3)求函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋5的值域；(4)讨论函数f (x )＝a x －1a x ＋1(a ＞0且a ≠1)的奇偶性和单调性．[尝试解答] (1)x 应满足1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130，即x ≥0， ∴定义域为{x |x ≥0，x ∈R }．∵x ≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≤1.又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＞0，∴0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≤1.∴0≤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＜1，∴0≤y ＜1，∴此函数值域为[0,1)．(2)设u ＝－x 2＋2x .∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u ，u ＝－x 2＋2x 的定义域都是R ，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x 的定义域为R ，∵u ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12u ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121， ∴函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞； (3)∵y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＋4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋5＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －22＋9≤9，∴y ∈(－∞，9]；(4)易得f (x )的定义域为{x |x ∈R }．∵f (－x )＝a －x －1a －x ＋1＝1－a x1＋a x＝－f (x )，且定义域为R ，∴f (x )是奇函数．f (x )＝a x ＋1－2a x＋1＝1－2a x ＋1， ①当a ＞1时，∵a x＋1为增函数，且a x＋1＞0，∴2a x＋1为减函数， ∴f (x )＝1－2a x ＋1＝a x －1a x ＋1为增函数．②当0＜a ＜1时，同理可得f (x )＝a x －1a x＋1为减函数．(1)指数型函数y ＝af (x )的有关性质：①定义域：与y ＝f (x )的定义域相同． ②值域：先求f (x )的值域，再根据单调性确定y ＝af (x )的值域．(2)对于y ＝m (a x )2＋na x＋c (m ≠0)的值域，利用换元法转化为二次函数，和用二次函数求值域的方法求解．(3)与指数函数有关的函数的单调性、奇偶性用定义解决．练一练 3．若函数y ＝a ·2x－1－a2x－1为奇函数．(1)确定a 的值； (2)求函数的定义域； (3)求函数的值域； (4)讨论函数的单调性． 解：先将函数y ＝a ·2x －1－a2x－1化简为y ＝a －12x－1. (1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0，即a －12－x－1＋a －12x －1＝0， ∴2a ＋1－2x1－2x＝0.∴a ＝－12. (2)∵y ＝－12－12x －1，∴2x－1≠0.∴函数y ＝－12－12x －1的定义域为{x |x≠0}．(3)∵x ≠0，∴2x－1＞－1.又∵2x －1≠0，∴0＞2x －1＞－1或2x－1＞0.∴－12－12x －1＞12或－12－12x －1＜－12，即函数的值域为.(4)当x ＞0时，设0＜x 1＜x 2，则y 1－y 2＝∵0＜x 1＜x 2，∴y 1－y 2＜0.因此y ＝－12－12x －1在(0，＋∞)上是增加的．由于y ＝f (x )是奇函数，从而y ＝－12－12x－1在(－∞，0)上也是增加的．关于x 的方程||a x －1＋1－2a ＝0有两个相等的实数根．则a 的取值范围是________．[巧思] 将问题转化为直线y ＝2a 与函数y ＝||a x－1＋1(a ＞0且a ≠1)的图像有两个交点，利用数形结合法求解．[妙解] 当a＞1时，函数y＝||a x－1＋1通过平移变换和翻折变换可得如图所示的图像(实线)，由图可知1＜2a＜2，即12＜a＜1，与a＞1矛盾．当0＜a＜1时，同样函数y＝||a x－1＋1通过平移变换和翻折变换得到如图所示的图像(虚线)，由图可知1＜2a＜2，即12＜a＜1.∴当直线y＝2a与函数y＝||a x－1＋1的图像有两个交点时a的取值范围是.[答案]1．已知以x 为自变量的函数，其中属于指数函数的是( ) A ．y ＝(a ＋1)x(其中a ＞－1，且a ≠0) B ．y ＝(－3)x C ．y ＝－(－3)x D ．y ＝3x ＋1解析：选A 在指数函数y ＝a x的定义中，要求①a ＞0且a ≠1，②a x，x 的系数均为1，符合以上两点的是选项A.2．(四川高考)函数y ＝a x－a (a >0，且a ≠1)的图像可能是 ( )解析：选C 法一(图像变换法)当0<a <1时，函数y ＝a x－a 是减函数，且其图像可视为是由函数y ＝a x的图像向下平移a 个单位长度所得到的，结合各选项知，选C.法二(特殊点法)由题意可知函数y ＝a x－a (a >0且a ≠1)必过点(1,0)，故只有C 项符合．3．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫1πa ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1πb，则a 、b 的大小关系是( )A ．1＞a ＞b ＞0B ．a ＜bC ．a ＞bD ．1＞b ＞a ＞0解析：选B 考查指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx，∵底数1π＜1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx在R 上是减函数．∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1πa ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1πb，∴a ＜b . 4．函数y ＝a x在[0,1]上的最大值与最小值之和为3，则a ＝________. 解析：∵指数函数是单调函数，∴函数y ＝a x在区间[0,1]端点上取得最值． ∴a 0＋a ＝3，得a ＝2. 答案：25．若a ＜0，则函数y ＝(1－a )x－1的图像必过点________．解析：a ＜0，－a ＞0,1－a ＞1， ∴y ＝(1－a )x为指数函数，过点(0,1)， 将y ＝(1－a )x 的图像向下平移1个单位， 得到函数y ＝(1－a )x－1的图像，过定点(0,0)． 答案：(0,0)6．设a ＞0，f (x )＝e x a ＋ae x 在R 上满足f (－x )＝f (x )，(1)求a 的值；(2)证明：f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 解：(1)依题意，对一切x ∈R 有f (x )＝f (－x )，即exa ＋a e x ＝1a ex ＋a e x. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝0对一切x ∈R 成立．由此可得a －1a＝0，即a 2＝1.又因为a ＞0，所以a ＝1.(2)证明：设0＜x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝＝＝由x 1＞0，x 2＞0，x 2－x 1＞0，得x 1＋x 2＞0，，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．一、选择题1．(山东高考)函数f (x )＝ 1－2x＋1x ＋3的定义域为 ( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]解析：选A 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，所以－3<x ≤0.2．指数函数y ＝b ·a x在[b,2]上的最大值与最小值的和为6，则a ＝( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3解析：选A ∵y ＝b ·a x 为指数函数，∴b ＝1，则[b,2]＝[1,2]．由于y ＝a x为单调函数，∴函数在区间[1,2]的端点处取得最值，∴a ＋a 2＝6，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)．3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －2)，x ≥0，2x，x ＜0，则f (8)等于( )A ．4B ．0 D ．2解析：选C f (8)＝f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝f (－2)＝2－2＝14.4．定义运算a ×b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )，b (a ＞b )，则函数f (x )＝1×2x的图像是( )解析：选A 当x ＜0时，2x ＜1，f (x )＝2x ；当x ≥0时，2x≥1，f (x )＝1. 二、填空题5．函数y ＝8－2x的定义域是 ________．解析：∵8－2x≥0，即2x≤23，又y ＝2x在R 上为增函数．∴x ≤3的定义域为(－∞，3]． 答案：(－∞，3]6．已知a ＝0.30.2，b ＝，c ＝，d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－，则a ，b ，c ，d 由小到大排列的顺序是________．解析：∵0.30.2＜＝1，同理：，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－＞1，考查幂函数y ＝，可知该函数在(0，＋∞)上是增函数．∴0.30.2＞；考查指数函数y ＝，可知该函数在R 上是减函数，∴，综上，－，即c ＜b ＜a ＜d .答案：c ＜b ＜a ＜d7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3－3a ，x ＜0，a x，x ≥0(a ＞0，a ≠1)是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是________．解析：当x ＜0时，函数f (x )＝－x ＋3－3a 是减函数；当x ≥0时，函数f (x )＝a x 是减函数，则0＜a ＜1；且满足0＋3－3a ≥a 0，解得a ≤23，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 8．若0＜a ＜1，b ＜－1，则函数f (x )＝a x＋b 的图像一定不经过第________象限． 解析：函数f (x )＝a x ＋b 的图像可由函数y ＝a x的图像向上(b ＞0时)或向下(b ＜0)时，平移|b |个单位得到，∵0＜a ＜1，b ＜－1，结合图像可知，f (x )＝a x＋b 的图像一定不经过第一象限．答案：一 三、解答题9．已知函数y ＝a 2x＋2a x－1(0＜a ＜1)在区间[－1,1]上的最大值是14，试求a 的值． 解：由y ＝a 2x＋2a x－1(0＜a ＜1)， 令t ＝a x，∵x ∈[－1,1]∴a ≤t ≤1a，∴y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2. 对称轴为t ＝－1.∵0＜a ＜1∴1a ＞1，∴当t ＝1a，即x ＝－1时，y 取最大值．y max ＝1a 2＋2a －1＝14，解得a ＝13，a ＝－15.∵0＜a ＜1，∴a ＝13.10．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫12x －1＋12·x 3.(1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的奇偶性； (3)证明f (x )＞0.解：(1)由题意，2x－1≠0，即x ≠0， ∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f (－x )＝⎝⎛⎭⎪⎫12－x －1＋12(－x )3 ＝2－x ＋12(2－x －1)·(－x )3 ＝1＋2x 2(1－2x )·(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12·x 3＝f (x )， ∴f (x )为定义域上的偶函数． (3)当x ＞0时，2x ＞1，∴2x －1＞0.又∵x 3＞0，∴f (x )＞0.由偶函数的图像关于y 轴对称，知x ＜0时，f (x )＞0也成立．故对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f (x )＞0.。