2019年内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．1．（5分）设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x2≥1}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|l≤x＜2}D．{x|0＜x＜2} 2．（5分）若复数（2a+i）（1+i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a为（）A．﹣2B．2C．D．3．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，以AB中点O为圆心，1为半径画圆，从正方形ABCD中任取一点P，则点P落在该圆中的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）函数f（x）＝x cos x﹣x3的大致图象为（）A．B．C．D．5．（5分）在等比数列{a n}中，a2﹣a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，则a4为（）A．9B．27C．54D．816．（5分）政府为了调查市民对A、B两服务部门的服务满意度情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的满意度越高）绘制的茎叶图如图：则下列说法正确的是（）A．这50位市民对A、B两部门评分的方差，A部门的评分方差大B．估计市民对A、B两部门的评分高于90的概率相同C．这50位市民对A部门的评分其众数大于中位数D．该市的市民对B部门评分中位数的估计值是677．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）＝sin（ωx+）的图象，只需将f（x）的图象上所有点（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度8．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为（）A．7B．4C．5D．119．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半径为1的半球组成一个几何体．该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为（）A．6π+4B．5π+2C．5π+4D．20π+1610．（5分）设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时（）A．乙是丙的充分而不必要条件B．乙是丙的必要而不充分条件C．乙是丙的充分且必要条件D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件11．（5分）已知函数f（x）＝2x﹣1+2x+3与g（x）＝x﹣x﹣1的零点分别为x1，x2，h（x）＝（）x且h（x3）＝，则x1，x2，x3的大小关系为（）A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x2＜x3＜x1D．x3＜x1＜x2 12．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的上、下焦点分别为F2，F1，过F1且倾斜角为锐角的直线1与圆x2+y2＝a2相切，与双曲线的上支交于点M．若线段MF1的垂直平分线过点F2，则该双曲线的渐近线的方程为（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）13．（5分）已知||＝2，是单位向量，且与夹角为60°，则•（﹣）等于．14．（5分）在（2x﹣）5的展开式中，x2的系数为．15．（5分）设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为L，P为抛物线上一点，P A⊥L，A为垂足．如果直线AF的斜率为﹣，那么以PF为直径的圆的标准方程为．16．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．令b n＝（﹣1）n﹣1，则数列{b n}的前100的项和为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC＝DC．（Ⅰ）若∠BAD＝60°，求∠ADC的大小；（Ⅱ）若BD＝2DC，且AB＝，求AD的长．18．（12分）如图，平面四边形ABCD，AB⊥BD，AB＝BC＝CD＝2，BD＝2，将△ABD 沿BD翻折到与面BCD垂直的位置．（Ⅰ）证明：CD⊥面ABC；（Ⅱ）若E为AD中点，求二面角E﹣BC＝A的大小．19．（12分）某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（Ⅰ）求六月份这种饮料一天的需求量X（单位：瓶）的分布列，并求出期望EX；（Ⅱ）设六月份一天销售这种饮料的利润为Y（单位：元），且六月份这种饮料一天的进货量为n（单位：瓶），请判断Y的数学期望是否在n＝EX时取得最大值？20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点P（2，1），其左右焦点分别为F1，F2，三角形PF1F2的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知A，B是椭圆C上的两个动点且不与坐标原点O共线，若∠APB的角平分线总垂直于x轴，求证：直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2x+mlnx+2，m∈R．（Ⅰ）当m＜1时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证1﹣≤＜1．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，不与坐标轴重合的直线l的极坐标方程为θ＝θ0（ρ∈R），设l与曲线C1，C2异于极点的交点分别为A，B．（Ⅰ）当θ0＝时，求|AB|；（Ⅱ）求AB中点轨迹的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣3|．（Ⅰ）在给出的直角坐标系中画出函数f（x）的图象；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥|x﹣m|的解集包含[4，5]，求m的取值范围．2019年内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．1．（5分）设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x2≥1}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|l≤x＜2}D．{x|0＜x＜2}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】根据补集、交集的定义即可求出．【解答】解：∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x2≥1}＝{x|x≥1或x≤﹣1}，∴∁R B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∩（∁R B）＝{x|0＜x＜1}．故选：B．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．（5分）若复数（2a+i）（1+i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a为（）A．﹣2B．2C．D．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数的运算．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a值．【解答】解：∵（2a+i）（1+i）＝（2a﹣1）+（2a+1）i在复平面内所对应的点在虚轴上，∴2a﹣1＝0，即a＝．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，以AB中点O为圆心，1为半径画圆，从正方形ABCD中任取一点P，则点P落在该圆中的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】由几何概型中的面积型及圆、正方形的面积公式得：P（A）＝＝＝，得解．【解答】解：设“从正方形ABCD中任取一点P，则点P落在该圆中“为事件A，由几何概型中的面积型可得：P（A）＝＝＝，故选：B．【点评】本题考查了几何概型中的面积型及圆、正方形的面积公式，属中档题．4．（5分）函数f（x）＝x cos x﹣x3的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值进行排除即可．【解答】解：函数f（﹣x）＝﹣x cos（﹣x）﹣（﹣x）3＝﹣x cos x+x3＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，f（）＝cos﹣（）3＝﹣（）3＜0，排除B，故选：A．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及特殊值，结合排除法是解决本题的关键．5．（5分）在等比数列{a n}中，a2﹣a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，则a4为（）A．9B．27C．54D．81【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由2a2为3a1和a3的等差中项，可得2×2a2＝3a1+a3，利用等比数列的通项公式代入化简为q2﹣4q+3＝0，解得q，又a2﹣a1＝2，即a1（q﹣1）＝2，q≠1，分析可得a1、q的值，解可得数列{a n}的通项公式，将n ＝4代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若2a2为3a1和a3的等差中项，则有2×2a2＝3a1+a3，变形可得4a1q＝3a1+a1q2，即q2﹣4q+3＝0，解得q＝1或3；又a2﹣a1＝2，即a1（q﹣1）＝2，则q＝3，a1＝1，则a n＝3n﹣1，则有a4＝33＝27；故选：B．【点评】本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．6．（5分）政府为了调查市民对A、B两服务部门的服务满意度情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的满意度越高）绘制的茎叶图如图：则下列说法正确的是（）A．这50位市民对A、B两部门评分的方差，A部门的评分方差大B．估计市民对A、B两部门的评分高于90的概率相同C．这50位市民对A部门的评分其众数大于中位数D．该市的市民对B部门评分中位数的估计值是67【考点】BA：茎叶图．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5I：概率与统计．【分析】根据茎叶图的知识以及样本来估计总体，进行合理的评价，恰当的描述即可．【解答】解：由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大，由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为＝0.1，＝0.16，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，故A，B，C错误；由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是＝67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67，故D正确；故选：D．【点评】本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．7．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）＝sin（ωx+）的图象，只需将f（x）的图象上所有点（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）得解析式，再利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象，可得A＝1，•＝﹣，∴ω＝2．再利用五点法作图可得2•+φ＝π，求得φ＝，∴f（x）＝sin（2x+）．为了得到g（x）＝sin（ωx+）＝sin（2x+）的图象，只需将f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，即可，故选：A．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为（）A．7B．4C．5D．11【考点】EF：程序框图．【专题】34：方程思想；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出m值时对应a的值．【解答】解：由程序框图可得：m＝2a﹣3，当i的值为1时，m＝2（2a﹣3）﹣3＝4a﹣9，当i的值为2时，m＝2（4a﹣9）﹣3＝8a﹣21，当i的值为3时，m＝2（8a﹣21）﹣3＝16a﹣45，当i的值为4时，m＝2（16a﹣45）﹣3＝32a﹣93，此时不满足循环条件，输出m＝32a﹣93＝67，解得：a＝5．故选：C．【点评】本题考查了模拟实验法解程序框图的应用问题，是基础题．9．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半径为1的半球组成一个几何体．该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为（）A．6π+4B．5π+2C．5π+4D．20π+16【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，利用三视图的数据求解几何体的表面积，然后推出结果．【解答】解：该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，视图表示的是几何体水平放置时的情形，其表面积S＝2π×12+π×12+π×2+2×2＝4+5π．故选：C．【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，考查空间想象能力以及计算能力．10．（5分）设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时（）A．乙是丙的充分而不必要条件B．乙是丙的必要而不充分条件C．乙是丙的充分且必要条件D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】14：证明题；16：压轴题．【分析】判断乙是丙的什么条件，即看乙⇒丙、丙⇒乙是否成立．当乙成立时，直线l、m中至少有一条与平面β相交，则平面α与平面β至少有一个公共点，故相交相交．反之丙成立时，若l、m中至少有一条与平面β相交，则l∥m，由已知矛盾，故乙成立．【解答】解：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立故选：C．【点评】本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．11．（5分）已知函数f（x）＝2x﹣1+2x+3与g（x）＝x﹣x﹣1的零点分别为x1，x2，h（x）＝（）x且h（x3）＝，则x1，x2，x3的大小关系为（）A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x2＜x3＜x1D．x3＜x1＜x2【考点】52：函数零点的判定定理．【专题】31：数形结合；35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】利用函数与方程的关系，分别转化为y＝2x与y＝﹣4x﹣6的图象，y＝x﹣1和y ＝x的图象，h（x）＝（）x和y＝的图象，利用数形结合研究x1，x2，x3的范围即可得到结论．【解答】解：由f（x）＝2x﹣1+2x+3＝0得2x﹣1＝﹣2x﹣3，即2x＝﹣4x﹣6，作出函数y＝2x与y＝﹣4x﹣6的图象如图，（黑色图象），由图象知两个图象交点的横坐标x1满足﹣2＜x1＜﹣1，由g（x）＝x﹣x﹣1＝0得x﹣1＝x，作出y＝x﹣1和y＝x的图象如图（红色图象）由图象知两个图象交点的横坐标x2满足2＜x2＜3，作出h（x）＝（）x和y＝，的图象如图（蓝色图象）由图象知两个图象交点的横坐标x3满足1＜x2＜2，综上x1，x2，x3的大小关系为x1＜x3＜x2，故选：B．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为两个函数图象交点问题，利用数形结合求出对应究x1，x2，x3的范围是解决本题的关键．12．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的上、下焦点分别为F2，F1，过F1且倾斜角为锐角的直线1与圆x2+y2＝a2相切，与双曲线的上支交于点M．若线段MF1的垂直平分线过点F2，则该双曲线的渐近线的方程为（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝【考点】KC：双曲线的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先设MF1与圆相切于点E，利用|MF2|＝|F1F2|，及直线MF1与圆x2+y2＝a2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的渐近线方程．【解答】解：设MF1与圆相切于点E，因为|MF2|＝|F1F2|＝2c，所以△MF1F2为等腰三角形，N为MF1的中点，所以|F1E|＝|MF1|，又因为在直角△F1EO中，|F1E|2＝|F1O|2﹣a2＝c2﹣a2，所以|F1E|＝b＝|MF1|①又|MF1|＝|MF2|+2a＝2c+2a②，c2＝a2+b2③由①②③可得c2﹣a2＝（）2，即为4（c﹣a）＝c+a，即3c＝5a，b＝＝＝a，则双曲线的渐近线方程为y＝±x，即为y＝±x．故选：B．【点评】本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）13．（5分）已知||＝2，是单位向量，且与夹角为60°，则•（﹣）等于3．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】依题意，利用平面向量的数量积即可求得•（﹣）的值．【解答】解：∵||＝2，是单位向量，且与夹角为60°，∴•（﹣）＝﹣•＝4﹣2×1×＝3，故答案为：3．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，掌握平面向量的数量积的运算性质及定义是解决问题的关键，属于中档题．14．（5分）在（2x﹣）5的展开式中，x2的系数为80．【考点】DA：二项式定理．【专题】34：方程思想；4R：转化法；5P：二项式定理．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：（2x﹣）5的展开式中，通项公式T r+1＝（2x）5﹣r＝（﹣1）r25﹣r，令5﹣r＝2，解得r＝2．∴x2的系数＝23＝80．故答案为：80．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5分）设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为L，P为抛物线上一点，P A⊥L，A为垂足．如果直线AF的斜率为﹣，那么以PF为直径的圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣）2＝4．【考点】J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质．【专题】35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用抛物线的定义，|PF|＝|P A|，设F在l上的射影为F′，依题意，可求得|FF′|，|AF′|，从而可求得点P的纵坐标，代入抛物线方程可求得点P的横坐标，从而可求得|P A|．【解答】解：∵抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，∴|PF|＝|P A|，F（1，0），准线l的方程为：x＝﹣1；设F在l上的射影为F′，又P A⊥l，依题意，∠AFF′＝60°，|FF′|＝2，∴|AF′|＝2，P A∥x轴，∴点P的纵坐标为2，设点P的横坐标为x0，（2）2＝4x0，∴x0＝3，∴|PF|＝|P A|＝x0﹣（﹣1）＝3﹣（﹣1）＝4．故以PF为直径的圆的圆心为（2，），半径为2．以PF为直径的圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣）2＝4故答案为：（x﹣2）2+（y﹣）2＝4．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，考查解三角形的能力，属于中档题．16．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．令b n＝（﹣1）n﹣1，则数列{b n}的前100的项和为．【考点】8E：数列的求和．【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．则：，解得：a1＝1，所以：a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，所以：b n＝（﹣1）n﹣1＝，所以：，＝＝，故答案为：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC＝DC．（Ⅰ）若∠BAD＝60°，求∠ADC的大小；（Ⅱ）若BD＝2DC，且AB＝，求AD的长．【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形．【分析】（Ⅰ）由已知可求∠DAC＝30°，在△ADC中，由正弦定理可得sin∠ADC＝，即可解得∠ADC＝120°．（Ⅱ）由已知在△ABC中，由勾股定理可得DC＝1，BD＝2，AC＝，令∠ADB＝θ，由余弦定理，即可解得AD的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵∠BAD＝60°，∠BAC＝90°，∴∠DAC＝30°，…1分在△ADC中，由正弦定理可得：，…2分∴sin∠ADC＝sin∠DAC＝，…3分∴∠ADC＝120°，或60°，…4分又∠BAD＝60°，∴∠ADC＝120°…6分（Ⅱ）∵BD＝2DC，∴BC＝3DC，在△ABC中，由勾股定理可得：BC2＝AB2+AC2，可得：9DC2＝6+3DC2，∴DC＝1，BD＝2，AC＝，…8分令∠ADB＝θ，由余弦定理：在△ADB中，AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cosθ，…9分在△ADC中，AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cos（π﹣θ），…10分可得：，∴解得：AD2＝2，可得：AD＝…12分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）如图，平面四边形ABCD，AB⊥BD，AB＝BC＝CD＝2，BD＝2，将△ABD 沿BD翻折到与面BCD垂直的位置．（Ⅰ）证明：CD⊥面ABC；（Ⅱ）若E为AD中点，求二面角E﹣BC＝A的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）推导出AB⊥面BCD，从而AB⊥CD，再求出AB⊥BC，AB⊥BD，AC⊥CD，由此能证明CD⊥平面ABC．（2）以B为原点，在平面BCD中，过B作BD的垂线为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣BC＝A的大小．【解答】证明：（1）∵平面四边形ABCD，AB⊥BD，AB＝BC＝CD＝2，BD＝2，面ABD⊥面BCD，AB⊥BD，面ABD∩平面BCD＝BD，∴AB⊥面BCD，∴AB⊥CD，又AC2＝AB2+BC2＝8，AD2＝AB2+BD2＝12，AD2＝AC2+CD2＝12，∴AB⊥BC，AB⊥BD，AC⊥CD，∵AC∩AB＝A，∴CD⊥平面ABC．解：（2）AB⊥面BCD，如图以B为原点，在平面BCD中，过B作BD的垂线为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（0，0，2），C（，0），D（0，2，0），∵E是AD的中点，∴E（0，，1），∴＝（，0），＝（0，，1），令平面BCE的一个法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，），∵CD⊥面ABC，∴平面ABC的一个法向量为＝（﹣，0），∴cos＜，＞＝＝，∴二面角E﹣BC＝A的大小为45°．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．19．（12分）某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（Ⅰ）求六月份这种饮料一天的需求量X（单位：瓶）的分布列，并求出期望EX；（Ⅱ）设六月份一天销售这种饮料的利润为Y（单位：元），且六月份这种饮料一天的进货量为n（单位：瓶），请判断Y的数学期望是否在n＝EX时取得最大值？【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；32：分类讨论；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）由题意知X的可能取值为100，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．（Ⅱ）六月份这种饮料的进货量n满足100≤n≤500，当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝5n﹣3n＝2n，若最高气温位于[20，25），则Y＝5×300+2（n﹣300）﹣3n＝900﹣n，若最高气温低于20，则Y＝5×100+2（n﹣100）﹣3n＝300﹣n，求出E（Y）＝420+0.2n，当n＝500时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元；当100≤n≤300时，若最高气温不低于25，则Y＝5n﹣3n＝2n，若最高气温位于[20，25），则Y＝5n﹣3n ＝2n，若最高气温低于20，则Y＝5×100﹣（n﹣100）﹣300＝300﹣n，E（Y）＝60+1.4n，n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元．由此能求出n＝500时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【解答】解：（Ⅰ）由题意知X的可能取值为100，300，500，P（X＝100）＝＝0.2，P（X＝300）＝，P（X＝500）＝，∴X的分布列为：X100300500P0.20.40.4E（X）＝100×0.2+300×0.4+500×0.4＝340．（Ⅱ）由题意知六月份这种饮料的进货量n满足100≤n≤500，当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝5n﹣3n＝2n，若最高气温位于[20，25），则Y＝5×300+2（n﹣300）﹣3n＝900﹣n，若最高气温低于20，则Y＝5×100+2（n﹣100）﹣3n＝300﹣n，∴E（Y）＝2n×0.4+（900﹣n）×0.4+（300﹣n）×0.2＝420+0.2n，此时，n＝500时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元，当100≤n≤300时，若最高气温不低于25，则Y＝5n﹣3n＝2n，若最高气温位于[20，25），则Y＝5n﹣3n＝2n，若最高气温低于20，则Y＝5×100﹣（n﹣100）﹣300＝300﹣n，∴E（Y）＝2n×（0.4+0.4）+（300﹣n）×0.2＝60+1.4n，此时，n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元，∴n＝340时，Y的数学期望值为：420+0.2×340＝488不是最大值，n＝500时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点P（2，1），其左右焦点分别为F1，F2，三角形PF1F2的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知A，B是椭圆C上的两个动点且不与坐标原点O共线，若∠APB的角平分线总垂直于x轴，求证：直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由题意可得，解得a2＝6，b2＝3，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设直线P A的方程为y+1＝k（x﹣2），联立直线方程和椭圆方程，求得A的横坐标，同理求得B的横坐标，进一步求得A、B的纵坐标的差，代入斜率公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，解得a2＝6，b2＝3，故椭圆C的方程为+＝1，证明（Ⅱ）：设直线AP的斜率为k，则直线BP的斜率为﹣k，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线P A的方程为y+1＝k（x﹣2），即y＝kx+1﹣2k联立，得（1+2k2）x2+4（k﹣2k2）x+8k2﹣8k﹣4＝0．∴2x1＝，即x1＝设直线PB的方程为y+1＝﹣k（x﹣2），同理求得x2＝∴x2﹣x1＝﹣∴y1﹣y2＝k（x1+x2）+2﹣4k＝，∴直线AB的斜率k AB＝＝1，易知l与在两坐标轴的截距绝对值相等且都不为0，∴直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2x+mlnx+2，m∈R．（Ⅰ）当m＜1时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证1﹣≤＜1．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】11：计算题；32：分类讨论；4G：演绎法；53：导数的综合应用．【分析】（1）首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的单调性即可；（2）首先确定x1，x2的范围，然后结合题意证明题中的不等式即可．【解答】解：（1）∵，∴，令g（x）＝x2﹣2x+m，∵m＜1，∴△＝4﹣4m＞0，令f’（x）＝0则，当，即m≤0时，令f’（x）＜0则；令f’（x）＞0则．此时函数在上单调递减；在上单调递增．当，即0＜m＜1时，令f’（x）＜0，则；令f’（x）＞0则，此时函数在上单调递减；在和上单调递增．（2）由（1）知，若f（x）有两个极值点，则0＜m＜1且，又x1，x2是x2﹣2x+m＝0的两个根，则，∴，令，则，令h’（t）＜0，则，令h’（t）＞0，则，所以h（t）在上单调递减；在上单调递增．∴，∵，∴h（t）＜1，得证．【点评】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的极值，利用导数证明不等式的方法等知识，属于中等题．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，不与坐标轴重合的直线l的极坐标方程为θ＝θ0（ρ∈R），设l与曲线C1，C2异于极点的交点分别为A，B．（Ⅰ）当θ0＝时，求|AB|；（Ⅱ）求AB中点轨迹的直角坐标方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】11：计算题；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）用直线l的极坐标方程分别代入C1，C2的极坐标方程，再根据极径的几何意义可得；（Ⅱ）先求出AB的中点的轨迹的极坐标方程，再化成直角坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）当θ0＝时，联立得A（﹣2，）；同理得B（2，），由极径的几何意义有|AB|＝2﹣（﹣2）＝2+2．（Ⅱ）由已知令P（ρ，θ），A（ρ1，θ），B（ρ2，θ），∵ρ1＝4cosθ，ρ2＝4sinθ，P为AB的中点，∴ρ＝＝2cosθ+2sinθ，即ρ2＝2ρcosθ+2sinθ，所以P点的轨迹的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y＝0，因为直线l不与坐标轴重合，所以需去掉（1，0），（0，）．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣3|．（Ⅰ）在给出的直角坐标系中画出函数f（x）的图象；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥|x﹣m|的解集包含[4，5]，求m的取值范围．。