xc = m
∫ xdm
m ∫ ydm
m
,
zc =
m ∑mi zi
i
,
yc = m
,
m
zc = m
∫ zdm
m
质心与重心的区别 质心决定于物体的质量分布； （1） 质心决定于物体的质量分布； 重心与地球引力有关。 （2） 重心与地球引力有关。
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3.1.2 质心运动定理 r
方向：力矩沿着转轴方向，用正、负反映方向。 方向：力矩沿着转轴方向，用正、负反映方向。
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几个力同时作用在刚体 上 ， 并且这几个力均在转动 平面内
r r M = ∑Mi
i
(3.12)
M = ∑Mi
i
对于定轴转动
不在垂直转轴的平面内， （1）如果外力 不在垂直转轴的平面内，可将力 ）如果外力F不在垂直转轴的平面内 F分解为平行转轴和垂直转轴的分力，只有 分解为平行转轴和垂直转轴的分力， 分解为平行转轴和垂直转轴的分力 垂直分力能使刚体转动。 垂直分力能使刚体转动。 的力矩是零的条件是： （2）不为零外力 的力矩是零的条件是：r = 0或 ）不为零外力F的力矩是零的条件是 或 ϕ = 0（力的作用线通过转轴）。 （力的作用线通过转轴）。
∫
∫
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m2>m1。滑轮可看作是质量均匀分布的圆盘，质量为 ，半径为 ， 滑轮可看作是质量均匀分布的圆盘，质量为m，半径为R， 转动惯量为J＝ 转动惯量为 ＝mr2/2，可绕水平轴自由转动。绳与滑轮间无相对滑 ，可绕水平轴自由转动。 物体的加速度和绳的张力。 动。 求：物体的加速度和绳的张力。
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m1 T1 T2
m2
m1 g m2 g T1
T2
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m2>m1。滑轮可看作是质量均匀分布的圆盘，质量为 ，半径为 ， 滑轮可看作是质量均匀分布的圆盘，质量为m，半径为R， 转动惯量为I＝ 转动惯量为 ＝mr2/2，可绕水平轴自由转动。 绳与滑轮间无相对滑 ，可绕水平轴自由转动。 物体的加速度和绳的张力。 动。 求：物体的加速度和绳的张力。
第三章 刚体的定轴转动
研究对象： 研究对象：刚体
刚体的平动 定轴转动
研究内容：刚体定轴转动动力学规律 研究内容： 研究方法：微积分法。与质点类比 研究方法：微积分法。 得出刚体转动的规律。 得出刚体转动的规律。
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本章要求
理解质心、质心运动定理； 理解质心、质心运动定理；掌 握刚体定轴转动定律及转动惯量的 概念； 概念；掌握刚体的角动量定理及角 动量守恒定律； 动量守恒定律；理解刚体定轴转动 中的功和能； 中的功和能；了解刚体的进动和对 称性与守恒定律的关系。 称性与守恒定律的关系。
i i i
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内力总是成对出现，内力矩为零。 内力总是成对出现，内力矩为零。
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O
ϕi
∆ mi
ri
刚体做定轴转动时， 刚体做定轴转动时 ， 设任意质元所受的合外力 r r 为 F 、合内力为 fi ，它们 i 沿圆周切向方向的分力分 别为F 别为 it ，fit，
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应用： 应用：类似牛顿定律 隔离物体，分析受力。 隔离物体，分析受力。 R O 建立坐标，求力矩。 建立坐标，求力矩。 F 列出方程，求解。 列出方程，求解。 [例３-4]已知：R=0.5米J＝mR 2/2 4]已知 R=0.5米 已知： m=4kg,ω =0,F=2t牛顿 m=4kg,ω0=0,F=2t牛顿 dω β= = 2t 求：t=2s, β = ? ω = ? dt 2 ω 解： M = FR = Jβ 2tdt = dω 0 0 FR −2 2 −1 β = = 2t t=2 , β = 4(s ) ω =t = 4( s ) J t=2s
解： 由转动定律 dω M k β= = =− ω dt J J k dω ∴ − dt = J ω ω 0 t k dω 2 同时积分 ∫ − dt = ∫ 0 ω ω 0 J J ⇒ t = ln2 k
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3.2.3 转动惯量 (Rotational Inertia) V ρd J = ∑ ∆m i ri 2 离散分布: 离散分布 i dm= σds 2 连续分布: 连续分布 J = ∫ r dm λdl m
r 质心位置矢量 r 与参考点的选择有关 ， 但 C 与参考点的选择有关， 质心相对于质点系的位置完全由质点系的质量 分布决定。 分布决定 。 即质心是相对于质点系本身的一个 特定位置。 特定位置。 吉林大学 物理教学中心
3
质心的直角坐标
xc =
yc =
∑mi xi
i
m ∑mi yi
i
，
质量连续分布
F + fit = ∆mi ait = ∆mi ri β it
⇒M = Jβ
J = ∑∆m r
i
2 i i
— 转动惯量 (Rotational Inertia) Rotational Inertia
刚体转动惯量是转动惯性大小的量度。 刚体转动惯量是转动惯性大小的量度。 r r 矢量式 M = Jβ (3.14) 刚体定轴转动定律： 刚体定轴转动定律： 刚体在合外力矩M 刚体在合外力矩 作用下所获得的角加速度 的大小与合外力矩大小成正比且方向相同， 的大小与合外力矩大小成正比且方向相同，与转 动惯量成反比。 动惯量成反比。 (1) M 为合外力矩； 为合外力矩； (2) 瞬时性，M、β 同时存在，同时消失； 瞬时性， 、 同时存在，同时消失； (3) 同轴性，M、J和β 都是对同一确定轴而言。 都是对同一确定轴而言。 同轴性，
o
x dm
x
16
(3) 转轴过任一点
J =∫
l +h 2 l −( −h) 2
o
h x dm
x
1 2 x λdx = m + m 2 l h 12
2
平行轴定理(parallel axis theorem) 平行轴定理
J = JC + m d
2
(3.18)
刚体对任一轴的转动惯量I， 刚体对任一轴的转动惯量 ， 等于对过中心 的平行轴的转动惯量与二轴间的垂直距离 d 的平 方和刚体质量的乘积之和。 方和刚体质量的乘积之和。
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3.2.2 转动定律
瞬时 角加速度 瞬时 角速度
Fi
θi
n
τ
r fi
它们的法向力通过转轴，不产生转动力矩。 它们的法向力通过转轴，不产生转动力矩。 方程两边同时乘以r 方程两边同时乘以 i ，然后对所有质元求和
ri F + ∑ri fit =[∑∆mi ri2]β ∑ it
例3.5 一 绳 跨 过 定 滑 轮 ， 两 端 分 别 系 质 量 为 m1 和 m2 的 物 体 ，
解： 根据牛顿定律、转动定律 根据牛顿定律、
m g −T2 = m a 2 2 T − mg = ma 1 1 1 1 T2R−TR = Jβ a = Rβ
(m − m )g 2 1 ⇒a = 1 m +m + m 1 2 2
当m轮 = 0，T1 = T2 0，
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一转动惯量为J 的圆盘，绕一固定轴转动， 例3.6 一转动惯量为 的圆盘，绕一固定轴转动，起初角速度为
ω0 ， 设它所受阻力矩与转动角速度成正比 ， 即 M＝－ ω (k为常 设它所受阻力矩与转动角速度成正比， ＝－k ＝－ 为常 时所需的时间。 数)。求：角速度从ω0变为ω0/2时所需的时间。 。 时所需的时间
l m m× + ×l 2 2 2 xC = = l m 3 m+ 2 细杆与固定轴之间的作用力N （ 2 ） 细杆与固定轴之间的作用力 N 是系统质心 绕固定轴做圆周运动的向心力
解：（1） ：（1
m υ 3m 2l 2 2 N = (m+ ) × = ω × ω =m l 2 xC 2 3
2 C
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dm
2 0
J = ∫ r dm= ∫∫ r σds = ∫ r σ2πrdr
2 2 0 S
m
= 2πσ∫0 r dr 1 m 4 R (σ = 2 ) = πσ πR 2
r dr 质心运动速度 υC = C = i dt m r r 动 量 p = ∑mυi = m C υ i
i
r ∑mi dri dt
=
∑mυ
i
i i
m
(3.6)
物理意义： 物理意义 ： 物体的总动量等于物体的全部质量集 r 中于质心、 运动时的动量。 中于质心、并以质心速度 υC 运动时的动量。 r r ∑mi dυi dt ∑miai r dυC 质心运动加速度 aC = = i = i dt m m r r (3.8) 质心运动定理 F = maC = F C 系统所受的合外力等于系统的质量乘以质心 的加速度。 的加速度。 5
解： (1) 转轴过中心
m dJ = x dm = x λdx = x dx l l m2 2 J = ∫ l x dx = 1 m 2 l − l 2 12
2
o
x
x dm
2
2
(2) 转轴过端点
1 2 2 J = ∫ x λdx = m l 0 3