上讲回顾
•用轨道物理学理解晶体中原子近程结构*原子轨道之间相互作用由原子轨道角分布决定
*为适应周围化学环境，与邻近原子成键，原子轨道
可以杂化(重组) 以适应环境
杂化最大方向由价电子数、配位、键上电子转
移等共同决定
*键合分类：离子、共价、金属、分子和氢键
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本讲内容
•在k空间看晶体结构
*倒格子(reciprocal lattice)
倒格子基矢
*正格子(direct lattice)和倒格子之间的关系
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第11讲、倒格子
1.为什么倒空间？
2.晶格的Fourier变换
3.倒格子
4.二维倒格子
5.正、倒格子对应关系
6.重要的例子
7.Brillioun区
8.X射线晶体衍射实验
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1、为什么倒空间(reciprocal space)？•一个物理问题，既可以在正(实，坐标)空间描写，也可以在倒(动量)空间描写
*坐标表象r，动量表象k
•为什么选择不同的表象？
*适当地选取一个表象，可使问题简化容易处理
*比如电子在均匀空间运动，虽然坐标一直变化，但
k守衡，这时在坐标表象当然不如在动量表象简单•正空间的格矢(R
)描写周期性；在动量空间？
l
•这两个空间完全是等价的
*只是一个变换
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看格点的Fourier 变换？
•数学上如何用一个函数来描写格点？•δ函数！()
∑-=l
l R R r r δρ)(•对这个函数进行Fourier 变换
()()∑∑⎰⎰∙-∙-∙-=-==l l
l i i l i e d e
d e R R k R r k r k r R r r r k δρρ)(•格点满足平移周期性，则有K h 满足
m
l h π2=∙R K •那么乘上不变因子()∑∑∙--∙-==l l
h l l i i e e
R R K k R R k k ρ
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•这告诉了我们什么信息，K h 对应什么？•坐标空间里，δ(r-R l )函数表示在R l 的格点，当满足上述条件时，其Fourier 变换也是δ(k-K h )函数，表示的是倒空间里的一个点！
•后面会知道，这些点就是倒格点，K h 即倒格矢*或者说前面K h 与R l 的关系定义了倒格矢，满足上述条件矢量就是倒格矢 格矢
*K h 的量纲为R l 的倒数
•利用Poisson 求和公式，即可得
()()∑∑-==∙--h
l l
h h i e K R R K k k K k δρ•即当矢量K h 与R l 乘积是2π的整数倍时，在坐标空间R l 处的δ函数的Fourier 变换为在动量空间以K h 为中心的δ函数！
http://10.107.0.68/~jgche/倒格子103、倒格子(reciprocal lattice)1
=∙l h i e R K 为整数
m m l h ,2π=∙R K •因此，Bravais 格子也称为正格子(direct lattice )•等价关系：知道K h ，就知道R l ；反过来也一样•它们满足Fourier 变换关系，因此，倒空间也称Fourier 空间
•定义：对Bravais 格子中所有的格矢R l ，有一系列动量空间矢量K h ，满足的全部端点K h 的集合，构成该Bravais 格子的倒格子，这些点称为倒格点，K h 称为倒格矢
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倒格子
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倒格子基矢
•对正格子
3
32211a a a R l l l l ++=•如果选择一组b ，使3
32211b b b K h h h h ++=•那么矢量K 就可由b 组成
ij
j i πδ2=⋅a b m l l l h h h l h π2332211=⋅+⋅+⋅=⋅a K a K a K R K •有•它满足上述关系，因此K h 具有平移对称性
→可用基矢和整数表示的平移周期性
→K h 定义倒空间的Bravais 格子，b i 就是倒格子基矢
•K h 为倒格矢——K h 所有的端点即为倒格点
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倒格子
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等价的周期性
•如果K h 是倒格矢，那么物理量的Fourier 级数在晶体任何平移变换下具有所期待的不变性
∑+∙=+h i l l h h e
F F )
()(R r K K R r )
(r r
K K F e
F h
i h h ==∑∙
)(
)]
ˆˆˆˆ2=+-+++k j i k π
6、重要的例子
•简单立方结构：sc
•面心立方结构：fcc
•体心立方结构：bcc
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7、Brillioun区——倒空间的原胞
•倒空间中的Wigner-Seitz原胞
•为什么引入Brillioun区？
*下一讲会知道，这样定义的Brillioun区，它的边界
面满足Bragg反射条件
*第3章会知道，这样定义的Brillioun区，它的边界面
有特别意义
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倒格子34
体心立方的第一布里渊区
•倒格子呈面心立方•对顶角的倒格点来说，最近邻
的倒格点即12个面心格点，所
以最短的倒格矢显然是指向12
个面心格点的矢量，它们的中
垂面截成正十二面体，正好是
倒空间原胞的体积
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本讲要点
•倒格子的意义
•倒格子
*倒格子基矢
*倒格矢
*Brillioun区(倒空间原胞)
•正格子和倒格子之间的关系
*互为正、倒
*与晶面正交
*几何关系：倒格点←→晶面→
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概念要点
•倒格子
•Brillioun区
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下讲预告：观察晶体结构的理论和实验
•实验观察晶体周期性结构
•晶体衍射理论
•晶体衍射的实验方法
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思考问题
•倒格子是否保持其正格子的宏观对称性？http://10.107.0.68/~jgche/倒格子42
习题
10.试确定二维蜂窝结构的倒格子基矢，并作它
的第一布里渊区。

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