概率论第四章习题解答1（1）在下列句子中随机地取一个单词，以X 表示取到的单词所饮食的字母个数，写出X 的分布律并求数学期望()E X 。

“THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT ”（2）在上述句子的30个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求()E Y（3）一人掷骰子，如得6点则掷第二次，此时得分为6加第二次得到的点数；否则得分为第一次得到的点数，且不能再掷，求得分X 的分布律。

解 （1）在所给的句子中任取一个单词，则其所包含的字母数，即随机变量X 的取值为：2,3,4，9，其分布律为 所以151115()234988884E X =⨯+⨯+⨯+⨯=。

（2）因为Y 的取值为2,3，4，9当2Y =时，包含的字母为“O ”，“N ”，故121{2}3015C P Y ===； 当3Y =时，包含的3个字母的单词共有5个，故 当4Y =时，包含的4个字母的单词只有1个，故 当9Y =时，包含的9个字母的单词只有1个，故112314673()234915215103015E Y =⨯+⨯+⨯+⨯==。

（3）若第一次得到6点，则可以掷第二次，那么他的得分为：X ＝7,8，9,10，11,12；若第一次得到的不是6点，则他的得分为1,2，3,4，5。

由此得X 的取值为：1，2，3，4，5，7，8，9，10，11，12。

2 某产品的次品率为，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如果发现其中的次品多于1，就去调整设备。

以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X 。

（设诸产品是否为次品是相互独立的。

）解 （1）求每次检验时产品出现次品的概率因为每次抽取0件产品进行检验，且产品是否为次品是相互独立的，因而可以看作是进行10次独立的贝努利试验，而该产品的次品率为，设出现次品的件数为Y ，则(10,0.1)Y B ，于是有1010{}(0.1)(0.9)kk k P Y k C -==（2）一次检验中不需要调整设备的概率则需要调整设备的概率 {1}1{}10.73610.2639P Y P Y >=-≤=-= （3）求一天中调整设备的次数X 的分布律由于X 取值为0，1，2，3，4。

0.2369p =，则(4,0.2369)X B于是 0044{0}(0.2639)(0.7361)0.2936P X C ===（4）求数学期望 1.0556=。

3 有3只球4个盒子的编号为1，2，3，4。

将球逐个独立地随机地放入4个盒子中去，以X 表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X ＝3，表示第1号、第2号盒子是空的，第3个盒子至少有一只球。

）试求()E X 。

解 （1）求X 的分布律由于每只球都有4种方法，由乘法定理共有3464= 种放法。

其中3只球都放到第4号盒子中的放法仅有1种，从而 1{4}64P X ==； 又{3}X =“3X =”表示事件：“第1号、第2号盒子是空的，第3号盒子不空”，从而3只球只能放在第3、4号两个盒子中，共有328=种放法，但其中有一种是3只坏都放在第4号盒子中，即3号盒子是空的，这不符合3X =这一要求，需要除去，故有“2X =”表示事件：“第1号是空的，第2号盒子不空”，从而3只球只能放在第2、3、4号三个盒子中，共有3327=种放法，但其中有一种是3只球都放在第3、或4号盒子中，共有328=种放法，即2号盒子是空的，这不符合2X =这一要求，需要除去，故有即（2）求()E X 37197110025()1234 1.5625646464646416E X =⨯+⨯+⨯+⨯===。

4（1）设随机变量X 的分布律为132{(1)}3j j j P X j +=-=，（1,2,3,j =），说明X 的数学期望不存在。

（2）一个盒中装有1只黑球，一只白球，作摸球游戏，规则如下：一次随机地从盒中摸出一只球，若摸到白球，则游戏结束；若摸到黑球，放回再放入一只黑球，然后再从盒中随机地摸取一只球。

试说明要游戏结束的摸球次数X 的数学期望不存在。

解 （1）因为级数111113332(1){(1)}(1)3j j j j j j j j j P j j j ∞∞+++==--=-⋅∑∑11(1)2j j j +∞=-=∑， 这是一个莱布尼茨交错级数，收敛而非绝对收敛。

所以其数学期望不存在。

（2）以k A 记事件“第k 次摸到黑球”，以k A 记事件“第k 次摸到白球”，以k C 表示事件“游戏在k 次摸球时结束”，1,2,3,k =。

按题意，121k k k C A A A A -=，由乘法公式得而 11{1}()2P X P A ===21221112111(|)(|)()43243P A A A P A A P A =⨯⨯=⨯，一般地，若当X k =时，盒中共有1k +只球，其中只有一只白球，故 若()E X 存在，则根据数学期望的定义，就有111111()()11k k k E X kP X k k k k k ∞∞∞======⨯=++∑∑∑，而调和级数111k k ∞=+∑却是发散的，此即表明数学期望()E X 不存在。

5设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间X （以min 计）是一个随机变量，其概率密度为求()E X解 按连续型随机变量的数学期望的定义有 6 设随机变量X 的分布律为求()E X ，2()E X ，2(35)E X + （2）设()Xπλ，求11E X ⎛⎫⎪+⎝⎭解 ()20.400.320.302E X =-⨯+⨯+⨯=-； 或因为所以 2()00.340.7 2.8E X =⨯+⨯=。

（2）因为 !k k e p k λλ-=，0,1,2,k =所以 001111!(1)!k k k k e E e X k k k λλλλ-∞∞-==⎛⎫=⋅= ⎪+++⎝⎭∑∑ （注 在公式0()k k k E X x p ∞==∑中现在的11k x k =+，!k k e p k λλ-=，!kk e k λλ∞==∑）7 （1）设随机变量X 的概率密度为求（ⅰ）2Y X =，（ⅱ）2X Y e -=的数学期望；（2）设随机变量1X ，2X ，…，n X 相互独立，且都服从（0，1）上的均匀分布（ⅰ）求12max{,,,}n U X X X =的数学期望， （ⅱ）求12min{,,,}n V X X X =的数学期望。

解 （1）0()(2)2()2x E Y E X xf x dx xe dx ∞∞--∞===⎰⎰ 33001133x xe dx e ∞--∞==-=⎰。

（2）因为（ⅰ）因为随机变量1X ，2X ，…，n X 相互独立，且都服从（0，1）上的均匀分布，其概率密度为其分布函数为而 12max{,,,}n U X X X =的分布函数为即max 0,0(),011,0n z F z z z z <⎧⎪=≤<⎨⎪>⎩，于是1max ,01()0,n nz z f z -⎧≤<=⎨⎩其它111max 00()()11n n n nE Z zf z dz nz dz z n n ∞+-∞====++⎰⎰。

（ⅱ）12min{,,,}n V X X X =11(1)n n u u du -=--⎰ （令1u z =-） 11100111n n nu u n n +=-=-++。

8 设随机变量(,)X Y 的分布律为（1）求()E X ，()E Y ； （2）设YZ X=，求()E Z ； （3）设2()Z X Y =-，求()E Z 。

解 （1）由已知分布律知其边缘分布为()10.420.230.42E X =⨯+⨯+⨯=； ()10.300.410.30E Y =-⨯+⨯+⨯=。

（2）由已知的分布律有 0.110.20.050.10.05315=--+++=-。

（3） 332211()[()]()i j ij j i E Z E X Y x y p ===-=-∑∑222222030.300.110.120.15+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=。

或 先求出2()X Y -的分布律，再求对应的数学期望2{0}{()0}{1,1}0.1P Z P X Y P X Y ==-=====,即所以 ()00.110.240.390.45E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=。

9（1）随机变量(,)X Y 的概率密度为 求()E X ，()E Y ，()E XY ，22()E X Y +； （2）随机变量(,)X Y 的概率密度为 求()E X ，()E Y ，()E XY解 （1）()(,)E X xf x y dxdy ∞∞-∞-∞=⎰⎰120012xxdx y dy =⎰⎰15566101221221216(4)533033015x x dx x x =+=+=+=⎰。

（2）()0()(,)xy y x E X xf x y dxdy dy e dx y-+∞∞∞∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰0222y ye dy e ∞--∞===⎰。

注：可以利用20(3)2y y e dy ∞-=Γ=⎰ 10 （1）设随机变量(0,1)XN ，(0,1)Y N ，且X 和Y 相互独立。

求()222X EX Y +；（2）一飞机进行空投作业，设目标点为原点(0,0)o ，物资着陆点为(,)X Y ，X 和Y 相互独立，且设2(0,)XN σ，2(0,)YN σ，求原点到点(,)X Y 间的距离的数学期望。

解 （1）根据对称性，222222()()X Y E E X Y X Y =++， 而X 和Y 相互独立且所以 2222()1X E X Y =+，即2221()2X E X Y =+。

或 因为X 和Y 相互独立，2221(,)2xy f x y e π+-=，x -∞<<∞，y -∞<<∞。

211(sin 2)2πθθπ=+12=。

（2）设原点到(,)X Y 的距离为R，则R =(,)X Y 的概率密度为 222221(,)2x y f x y e σπσ+-=，x -∞<<∞，y -∞<<∞。

222222122r r e dr dr σσ--∞∞-∞==⎰⎰＝=。

11 一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为工厂规定：出售的设备若在一年之内损坏可予调换，若工厂售出的一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元。

试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。

解 因为设备的寿命为随机变量X ，则一台设备在一年内调换的概率设工厂售出一台设备的净赢利值为Y ：则Y 的分布律为故有 111444()100200(1)300200E Y e e e ---=--=- 3000.778820033.64=⨯-=（元）12、 某车间生产的圆盘直径在区间(,)a b 内服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。