第四章 大数定律与中心极限定理4.1 设D(x)为退化分布： D(x)=⎩⎨⎧≤>,0,00,1x x讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？ (1){D(x+n)}; （2）{D(x+n 1)}; (3){D(x-n1)}，其中n=1,2,…。

解：（1）（2）不是；（3）是。

4.2 设分布函数列Fn(x)如下定义：Fn(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-+-≤n x n x n n n x n x,1 ,2,0问F(x)=∞→n lim Fn(x)是分布函数吗？解：不是。

4.3 设分布函数列{ Fn(x)}弱收敛于分布函数F(x)，且F(x)为连续函数，则{Fn(x)}在(∞∞-,)上一致收敛于F(x)。

证：对任意的ε>0,取M 充分大，使有1-F(x)<ε，；M x ≥∀ F(x)<ε, ；M x ≤∀对上述取定的M ，因为F(x)在[-M ，M]上一致连续，故可取它的k 分点：x 1=M<x 2<… <x 1-K <x K =M ，使有<-+)()(1i i x F x F ε,1∞=-∞=<≤=10,,k x x k i 再令,则有<-+)()(1i i x F x F ε，0≤i<k+1 (1)这时存在N ，使得当n>N 时有<-)()(i i n x F x F ε，0≤i ≤k+1 （2）成立，对任意的x ∈(∞∞-,)，必存在某个i （0≤i ≤k ）,使得],(1+∈i i x x x ,由(2)知当n>N 时有+<≤++)()()(11i i n n x F x F x F ε, (3) ->≥)()()(i i n n x F x F x F ε, (4)有(1)，(3)，(4)可得+-<-+)()()()(1x F x F x F x F i n ε)()(1i i x F x F -≤++ε<2ε,)()(x F x F n ->--)()(x F x F i εε2)()(1->--≥+δi i x F x F ,即有<-)()(x F x F n 2ε成立，结论得证。

4.4 设)(x F n 是只取非负整数值的离散型随机变量，又{)(x F n }弱收敛于分布函数F(x)也是只取非负整数值的离散型随机变量的分布函数。

证：只要证明对任意的非负整数k ，若x 1,x ∈2（k,k+1），必有F(x 1)=F(x 2)成立即可。

设121+<<<k x x k ，总能够找到43,x x ，使有14213+<<<<<k x x x x k ，且43,x x 是F(x)的连续点。

这时∞→n lim Fn(x i )=F(x i )（i=3,4）成立，已知)(x F n 仅在非负整数点上有跳跃，所以对任意的n 有)(3x F n =)(4x F n ，从而)(δx F =∞→n lim Fn(x 3)= ∞→n lim Fn(x 4)=)(4x F ，由此知)()(21x F x F =，结论得证。

4.5 设随机变量序列{ξ}同时依概率收敛于随机变量ξ与η，证明这时必有P(ξ=η)=1。

证：对任意的ε>0有(故)],2ε2-[εn ≥-≥⊂≥-ηξδξξηξn P(ε)(0≤≥-≤ηξP )2ε-n ≥ξξP +(0,0)2ε-→→≥n n ηξ即对任意的ε>0有P(ε≥-ηξ)=0成立，于是有∑∞=∞==≥-≤≥-=≠11,0)1()]1([)(k k k P k P P ηξηξηξ从而1)(==ηξP 成立，结论得证。

4.6 设随机变量序列{n ξ}，{n η}分别依概率收敛于随机变量ξ与η，证明：(1)n n ηξ+−→−P ξ+η；(2) n n ηξ⨯−→−Pξ⨯η。

证：（1）因为)]2()2[()(εηηεξξεηξηξ≥-≥-⊂≥--+n n n n ，故∞→→≥-+≥-≤≥--+≤n P P P n n n n ,0)2()2()(0εηηεξξεηξηξ即n n ηξ+−→−Pξ+η成立。

(2)先证明这时必有22ξξ−→−P n 。

对任给的,0,0>>δε取M 足够大δξε<->≤)21()1M P M，使有（成立，对取定的M ，存在N ，当n>N 时有δεξξξξ<≥-≤≥-)()1(MP P n n4.7设随机变量序列a pn →ξ，证明是一个常数，且,00≠≠n a ξ。

apn 11→ξ证：不妨设a >0，对任意的0<ξ<a ，当εξ<-a n 时有,)(22ξξξa a a a a a n n -≥-+=，因而 ⎝⎛≥⎪⎭⎫--⊂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-εεξεξξa a a a a n n n 2。

于是有 0())(。

∞→→≥-+⎪⎪⎭⎫≥ ⎝⎛--≤⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-+⎪⎭⎪⎬⎫<-⎪⎪⎭⎫≥⎪⎩⎪⎨⎧ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫≥- ⎝⎛≤n a P a a aP a P a a a P a P n n n nn n n n ,0112εξεξξεξξεξεξξεξ结论成立。

4．8设随机变量序列｛n ξ｝依概率收敛于随机变量ξ，()())()(04.6mi i i pn f x f x a x m f f ξξ==−−→∑为直线上的连续函数，证明是次多项式函数，由题知有成立结论为真。

现在证明一般情形。

对任意的()()()({)()}()()()()()()()()1120,0,,1,112,,,1,1,,,3,n n nm pm m m m m M P M N n N P P M PM M f x m g x f x g x x M M m g x g g n N n εδξδξξδξξξξξεξξ>>><≥-><>+≤>-><-<∈-++−−→⎡⎤⎣⎦→∞≥ 取充分大使有又选取充分大使当时有于是有对取定的因为是连续函数，可以用多项式函数任意逼近，并且在任意有限区间上还可以是一致的，因而有次多项式，使有对取定的次多项式因为故存在使当2N 时有P ()(()δεξξ<⎪⎭⎫≥-3n m m g g成立，又()()())()()()()()[]{}()()()()()[]{},1121I I M M f f P M M f f P f f P n n n n n +=+≤≤≥-++>>≥-=≥-ξξεξξξξεξξεξξ当n ()()(),31,max 121δξξ<+>+>≤≥M P M P I N N n时，其中的且因为()()()()()()()()(),333⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-⊂≥-εξξεξξεξξεξξnn m nm m mnf g g g g f f f 而()()()()()()()(),013,013=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤⎪⎭⎫⎝⎛≥-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤⎪⎭⎫⎝⎛≥-M M f g P M M g f P n n n m n m ξξεξξξξεξξ所以()()()()()(),3132δεξξξξεξξ<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-≤n m m n n m m g g P M M g g P I 从而有()()()()()成的任，成立，由ξξδεδεξξf f I I f f P pn n −→−<+=≥-4214.9证明随机变量序列()n ξ依概率收敛于随机变量ξ的充要条件为： ∞→→-+-n E n n ,01ξξξξ证：充分性，令()()于是有的单调上升函数，因而是故则,11)0()(,0,0)1(1)(',0,12⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+>-+-⊂>->>>+=>+=εεξξξξεξξn n n x x x f x x x f x x x x f ()∞→→-+-+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+>-+-<>-n E P P n n n n n ,01111ξξξξεεεεξξξξεξξ 对任意的成立，充分性得证。

0>ε必要性，对任给的{}故存在因为令,,:,0ξξεξξωεε−→−>-=>pnn A 充分大的N,使得当于是有时有,)(εε<≥A P N n,2)(111εεξξξξξξξξξξξξεε<+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-+-A P I E I E E n n A n n n n 由结论为真。

的任意性知,,01∞→→-+-n En n ξξξξε 4.10设随机变量n ξ按分布收敛于随机变量 ξ，又数列a a n →，b b n →，证明n n n b a +ξ也按分布收敛于b a +ξ。

证：先证明n a ξ按分布收敛于ξa 。

0=a 时为显然，不妨设0>a （0<a 时显然），若ξa ，ξ，n a ξ，n ξ的分布函数分别记作)(∙ξa F ，)(∙ξF ，)(∙n a F ξ，与)(∙n F ，则=)(x F a ξ)(a xF ξ，当x 是)(∙ξa F 的连续点时，ax是)(∙ξF 的连续点，于是有 ∞→n lim =)(x F n a ξ∞→n lim )(a x F n =∞→n lim )(axF ξ=)(x F a ξ 成立，结论为真。

由 4.12题知n ξ0)(−→−-pn a a ，再由 4.6（1）题知b b a a pn n n −→−+-ξ)(，于是由前述结论及4.11题知+=+n n n n a b a ξξn n n b a a +-ξ)(按分布收敛于b a +ξ，结论得证。

4.11设随机变量序列 n ξ按分布收敛于随机变量ξ，随机变量序列 n η 依概率收敛于常数a ，证明n ξ+n η 按分布收敛于ξ+a 。

证：记n ξξ, 的分布函数分别为()()x F x F n 和，则a +ξ的分布函数为()a F -ξ，设x 是()a x F -的连续点，则对任给的0>ε，存在0>δ，使当0<δε<'时有()()εε<--±-a x F a x F '现选取0<δεε<<21，使得21,εε+-+-a x a x 都是()∙F 的连续点，这时存在11,N n N ≥当时有()()()()εεεεεε<-----<+--+-2211a x F a x F a x F a x F对取定的时有当，存在221,N n N ≥ε ()εεη<≥-1a P n于是当()21,max N N ≥时，由（1），（2），（4）式有()()(){}()(){}()()()εεηεξεηηξεηηξηξ3.......1111+-<≥-++-<≤≥--<-++<--<-+=-<-+a x F a P a x P a a x a P a a x a P a x a P n n n n n n n n n n又因为()()[](){}()(){}22222εηεξεηεηηξεξ≥---<+<--<--+=--<a a x P a x a P a x P n n n n n n n于是由（1），（3），（4）式有()()[](){}()()()εεηεξεηεηηξηξ32222--≥≥----<≥<--<--+≥-<-+a x F a P a x P a x a P a x a P n n n n n n n n由（5），（6）两式可得()()aa x F a x a P n n n n ++<---<-+ξηξεεηξ按分布收敛于的任意性即知由,3,结论得证。