第四章 随机变量的数字特征I 教学基本要求1、理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望；2、掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望与方差；3、了解切比雪夫不等式及应用；4、掌握协方差、相关系数的概念与性质，了解矩和协方差矩阵的概念；5、了解伯努利大数定理、切比雪夫大数定律、辛钦大数定理；6、了解林德伯格－列维中心极限定理、棣莫弗―拉普拉斯中心极限定理，掌握它们在实际问题中的应用.II 习题解答A 组1、离散型随机变量X 的概率分布为求()E X 、(35)E X +、2()E X ？解：()(2)0.4000.3020.300.2E X =-⨯+⨯+⨯=-；(35)3()5 4.4E X E X +=+=；2222()(2)0.4000.3020.30 1.8E X =-⨯+⨯+⨯=.2、某产品表面瑕疵点数服从参数0.8λ=的泊松分布，规定若瑕疵点数不超过1个为一等品，每个价值10元，多于4个为废品，不值钱，其它情况为二等品，每个价值8元.求产品的平均价值？解：设X 为产品价格，则0X =、8、10.通过查泊松分布表可知其相应概率分布为则()80.1898100.80889.61E X =⨯+⨯≈(元).3、设随机变量X 的分布函数为00()/40414x F x x x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩.求()E X ？解：由分布函数知X 的密度函数为1/404()0x f x <≤⎧=⎨⎩其它 则4()()24xE X xf x dx dx +∞-∞===⎰⎰. 4、设随机变量X 服从几何分布，即1()(1)k p X k p p -==-(1,2,)k =L ，其中01p <<是常数.求()E X ？解：1111()(1)(1)k k k k E X kp p p k p +∞+∞--===-=-∑∑由级数2121123(1)k x x kx x -=+++++-L L (||1)x <，知 211()[1(1)]E X p p p=⨯=--.5、若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，即()!kp X k e k λλ-==(0,1,2,)k =L求()E X 、2()E X ？解：100()!(1)!kk k k E X k eee e k k λλλλλλλλλ-+∞+∞---======-∑∑；122010(1)()[]!(1)!!kk k k k k k k E X kee e k k k λλλλλλλλ-+∞+∞+∞---===+===-∑∑∑121[]()(1)!!k kk k e e e e k k λλλλλλλλλλλλ-+∞+∞--===+=+=+-∑∑.6、某工程队完成某项工程的时间X (单位:月)服从下述分布(1) 求该工程队完成此项工程的平均时间；(2) 设该工程队获利50(13)Y X =-(万元).求平均利润？ 解：(1) ()100.4110.3120.2130.111E X =⨯+⨯+⨯+⨯=(月)；(2) ()[50(13)]65050()100E Y E X E X =-=-⨯=(万元). 7、若随机变量X 服从区间[,]a b 上的均匀分布，即1()a x bf x b a⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它求()E X 、2()E X ？解：()()2bax a bE X xf x dx dx b a +∞-∞+===-⎰⎰； 22222()()3bax a ab b E X x f x dx dx b a +∞-∞++===-⎰⎰. 8、若随机变量X 服从参数为λ的指数分布，即()0xe xf x x λλ-⎧>=⎨≤⎩０求()E X 、2()E X ？解：0()()xx E X xf x dx x edx xde λλλ+∞+∞+∞---∞===-⎰⎰⎰1xx xe e dx λλλ+∞+∞--=-+=⎰；222222()()2xx x E X x f x dx x edx x exe dx λλλλλ+∞+∞+∞+∞----∞===-+=⎰⎰⎰.9、离散型随机变量X 的概率分布为求()E X 、[ln(2)]E X +？解：34519()0261212126E X =⨯+⨯+⨯=； 34513[ln(2)]ln(02)ln(22)ln(62)ln 21212126E X +=+⨯++⨯++⨯=.10、设2~(,)X N μσ，求(||)E X μ-？解：22()2(||)||x E X x edx μσμμ--+∞-∞-=-令x t μσ-=，由偶函数性质有2220(||)()2t t E X e d μ+∞--==.11、设某商品需求量(10,30)X U :，销售商进货量n 在(10，30)之间，是一个整数.每销售一件商品获利500(元)，若供小于求，每件产品亏损100(元).若供大于求，则从外地调运，每件商品可获利300(元).为使利润期望值不少于9280(元)，进货量最少应为多少?解：按题意利润Y 与X 、n 的关系为500300()1030500100()1030n X n n X Y X n X X n +-≤<≤⎧=⎨--≤<≤⎩ 则利润平均值为10101()[[500100()][500300()]20nn E Y X n X dx n X n dx =--++-⎰⎰27.53505250n n =-++由题意知27.535052509280n n -++≥解得62263n ≤≤，则最少进货量为21. 12、某保险公司规定，如果一年内顾客投保事件A 发生，则赔偿顾客a 元.以往资料表明事件A 发生的概率为p .为使公司收益期望值为0.1a ，则应向顾客收取都少保费?解：设应向顾客收取x 元保费，公司的收益为Y 元.则按题意()(1)()0.1E Y x p x a p a =-+-= 解得0.1x ap a =+.13、设随机变量X 的密度函数为1cos0()22x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.对X 进行独立重复观测4次，Y 表示观测值大于/3π的次数，求2Y 的数学期望？解：显然~(4,)Y b p ，其中p 是(/3)X π>的概率，故31()cos 0.5322xp p X dx πππ=>==⎰ 所以44()0.50.5kk k p Y k C -==⨯ (0,1,2,3,4)k =则有422440()0.50.55k k k k E Y k C -==⨯=∑.14、设随机变量X 、Y 相互独立，且都服从标准正态分布.求Z =的数学期望？解：由题意知X 、Y 的联合密度函数为2221(,)2x y f x y eπ+-= 于是2221()(,)2xy E Z x y dxdy dxdy π++∞+∞--∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰令cos x r θ=、sin y r θ=得222222201()2r r E Z r e drd r e dr πθπ+∞+∞--===⎰⎰⎰15、已知(,)X Y 的分布如下，令max{,}Z X Y =，求()E Z ？解：由题设可得Z 的分布为()00.0250.25100.52150.219.6E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=.16、设(,)X Y 的联合密度函数为21201(,)0y y x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其它求()E X 、()E Y 、()E XY 、22()E X Y +？解：1204()(,)125xE X xf x y dxdy dx xy dy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰； 13003()(,)125x E Y yf x y dxdy dx y dy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰； 13001()(,)122x E XY xyf x y dxdy dx xy dy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰；12222222016()()(,)()15xE X Y x y f x y dxdy dx x y y dy +∞+∞-∞-∞+=+=+=⎰⎰⎰⎰. 17、设随机变量(,)X Y 的密度函数为1()02,02(,)8x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 求()E X ？解：227()(,)()88x E X xf x y dxdy x y dxdy +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰. 18、甲乙二人相约在12:00~13:00之间会面，设X 、Y 分别表示甲乙到达时间，且相互独立.已知X 、Y 的密度函数为2301()0x x f x ⎧<<=⎨⎩其它、201()0y y f y <<⎧=⎨⎩其它 求先到达者需要等待时间的数学期望？解：等待时间可以表示为||X Y -，由于X 、Y 的联合密度函数为2601,01(,)0x y x y f x y ⎧<<<<=⎨⎩其它11200(||)||6E X Y x y x ydxdy ⇒-=-⎰⎰112200001()6()|64xyx y x ydydx y x x ydxdy =-+-=⎰⎰⎰⎰.19、设二维随机变量(,)X Y 在曲线2y x =、2y x =+所围区域G 内服从均匀分布，求数学期望()E X 、()E Y ？解：设(,)X Y 的联合密度函数为(,)(,)0(,)c x y Gf x y x y G∈⎧=⎨∉⎩，由密度函数性质解出9/2c =.下面分别求出边沿密度函数当12x -≤≤时，有22222()(2)99x X x f x dy x x +==+-⎰，故此 22(2)12()90X x x x f x ⎧+--≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 当01y ≤≤时，有()Y f y =当14y <≤时，有222()(2)99Y y f y dx y -==+，所以012()(2)1490Y y f y y y ⎧≤≤⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪⎪⎪⎩其它从而22121()()(2)92X E X xf x dx x x x dx +∞-∞-==+-=⎰⎰；1401428()()(2)995Y E Y yf y dy y y dy +∞-∞==+=⎰⎰⎰.20、离散型随机变量X 的概率分布为求()D X ？解：由题意易知()0.2E X =-、2() 1.8E X =，所以22()()[()] 1.80.04 1.76D X E X E X =-=-=.21、设随机变量X 的分布函数为00()/40414x F x x x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩.求()D X ？解：由题意易知X 的密度函数为1/404()0x f x <≤⎧=⎨⎩其它，且()2E X =，则242(2)4()(())()43x D X x E X f x dx dx +∞-∞-=-==⎰⎰. 22、若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，求()D X ？ 解：由题意易知()E X λ=、22()E X λλ=+，故22()()[()]D X E X E X λ=-=.23、设随机变量(,)X Y 的密度函数为1()02,02(,)8x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 求()D X ？解：由题意易知7()8E X =，故 2222001711()[()](,)()()8636D X xE X f x y dxdy x x y dxdy +∞+∞-∞-∞=-=-+=⎰⎰⎰⎰. 24、设二维随机变量(,)X Y 在曲线2y x =、2y x =+所围区域G 内服从均匀分布，求方差()D X 、()D Y ？解：由题意易知22(2)12()90X x x x f x ⎧+--≤≤⎪=⎨⎪⎩其它、012()(2)1490Y y f y y y ⎧≤≤⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪⎪⎪⎩其它1()2E X =、8()5E Y = 22222127()()(2)910X E X x f x dx x x x dx +∞-∞-==+-=⎰⎰14222014247()()(2)9914Y E Y y f y dy y y y dy +∞-∞==+=⎰⎰⎰ 229()()[()]20D X E X E X =-=； 22279()()[()]350D Y E Y E Y =-=.25、设10只同种元件中由2只是坏的，装配仪器时，从中任取1只，如果是不合格品，则扔掉后重取1只，求取出合格品前取出次品数的方差？解：设X 表示取出合格品前已取出次品的数目，则故2()9E X =、24()15E X = 所以2288()()[()]405D XE X E X =-=. 26、设随机变量X 的密度函数为||1()2x f x e -=.求()E X 、()D X ？ 解：||1()()02x E X xf x dx x e dx +∞+∞--∞-∞===⎰⎰； 222||2011()(())()222x x D X E X E X x f x dx x e dx x e dx +∞+∞+∞---∞-∞=-====⎰⎰⎰.27、设X 为随机变量，证明:对任意常数C ，有2()()D X E X C ≤-，当()C E X =时等号成立.证明：22222()(2)()2()E X C E X CX C E X CE X C -=-+=-+22222()[()]{[()]2())}()[()]E X E X E X CE X C D X E X C =-+-+=+-由于2[()]E X C -非负，从而有2()()D XE X C ≤-，且当()C E X =时2()()D X E X C =-.28、设U 服从(-2，2)上的均匀分布，定义X 、Y 如下1111U X U -<-⎧=⎨>-⎩、1111U Y U -<⎧=⎨>⎩求()D X Y +？解：先求X Y +的分布(2)(1,1)(1,1)(1)1/4p X Y p X Y p U U p U +=-==-=-=<-<=<-= (2)(1,1)(1,1)(1)1/4p X Y p X Y p U U p U +=====≥-≥=≥= (0)1(2)(2)1/2p X Y p X Y p X Y +==-+=-+=-=所以()0E X Y +=，从而2()()2D X Y E X Y +=+=.29、已知()750E X =、2()15D X =.请估计概率(700800)p X <<？ 解：由切比雪夫不等式有2215(700800)(|750|50)10.9150p X p X <<=-<≥-≈.30、设()2E X =-、()1D X =、()2E Y =、()4D Y =、0.5XY ρ=-，利用由切比雪夫不等式估计概率(||6)p X Y +≥的上限？解：因为()0E X Y +=、()()()2(,)3D X Y D X D Y Cov X Y +=++=，所以2()1(||6)(|()()|6)612D X Y p X Y p X YE X Y ++≥=+-+≥≤=. 31、设()4D X =、()9D Y =、0.5XY ρ=，求(23)D X Y -？解：(,)3XY Cov X Y =(23)4()9()2(2,3)16813661D X Y D X D Y Cov X Y -=++-=+-=.32、设(,)X Y 的联合密度函数为21201(,)0y y x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其它求(,)Cov X Y ？解：由题意易知4()5E X =、3()5E Y =、1()2E XY =，故 1431(,)()()()25550Cov X Y E XY E X E Y ⨯=-=-=⨯. 33、设二维随机变量(,)X Y 在曲线2y x =、2y x =+所围区域G 内服从均匀分布，求协方差(,)Cov X Y 与相关系数XY ρ？解：由题意易知1()2E X =、8()5E Y =、9()20D X =、279()350D Y = 2221225()994x x GE XY xy dxdy xdx ydy +-===⎰⎰⎰⎰所以9(,)()()()20Cov X Y E XY E X E Y =-=； 0.751XY ρ=≈.34、设二维随机变量(,)X Y 的联合分布为求22(,)Cov X Y ？解：先求2X 、2Y 、22X Y 的分布2(0)0.4p X ==、2(1)0.6p X == 2(0)0.5p Y ==、2(1)0.5p Y == 22(0)0.72p X Y ==、22(1)0.28p X Y ==所以2()0.6E X =、2()0.5E Y =、22()0.28E X Y =，由此得222222(,)()()()0.02Cov X Y E X Y E X E Y =-=-.35、随机变量(,)X Y 的密度函数为201,11(,)0x x y f x y ≤≤-≤≤⎧=⎨⎩其它 求()D X Y +？解：当01x <<时，有11()22X xf x dy x -==⎰；当01y <<时，有11()22Y yf y dx y -==⎰，故2()()3E X E Y ==、1()()18D X D Y == 由于(,)()()X Y f x y f x f y ≠，即X 与Y 不独立.所以11015()212xE XY xydxdy -==⎰⎰541(,)()()()12936Cov X Y E XY E X E Y =-=-=- 1()()()2ov(,)18D X Y D X D Y C X Y +=++=.36、将1枚硬币抛n 次，以X 、Y 分别表示正面向上与反面向上的次数，求(,)Cov X Y 、XY ρ？解：由于X Y n +=，即Y n X =-，于是1XY ρ=-；又因~(,0.5)X b n 、~(,,0.5)Y b n ，所以()()/4D X D Y n ==，故(,)(,)(,)()/4Cov X Y Cov X n X Cov X X D X n =-=-==.37、设X 与Y 独立，且都服从参数为λ的泊松分布，令2U X Y =+、2V X Y =-求U 与V 的相关系数？解：由于()(2)4()()5D U D X Y D X D Y λ=+=+= ()(2)4()()5D V D X Y D X D Y λ=-=+=所以(,)(2,2)Cov U V Cov X Y X Y =+-4()(,2)(2,)()3D X Cov Y X Cov X Y D Y λ=+--=由此得35XY ρ==.38、设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为1||0,01(,)0y x f x y <<<⎧=⎨⎩其它 判断X 与Y 之间的相关性与独立性.解：由于102()3xx E X xdydx -==⎰⎰、10()0x x E Y ydydx -==⎰⎰、10()0x x E XY xydydx -==⎰⎰，则(,)()()()0Cov X Y E X E Y E XY =-=故X 与Y 之间不相关； 又因当01x <<时，有()2xX xf x dy x -==⎰，即201()0X x x f x <<⎧=⎨⎩其它 同理可以求出110()1010X y y f x y y +-<<⎧⎪=-<<⎨⎪⎩其它由于(,)()()X Y f x y f x f y ≠，故X 与Y 之间不独立.39、设a 为区间(0,1)上一定点，随机变量(0,1)X U :，Y 是X 到a 的距离.问a 为何值时X 与Y 是不相关？解：由题设知()0.5E X =、||Y X a =-，所以112001()||()()2a a E Y x a dx a x dx x a dx a a =-=-+-=-+⎰⎰⎰311()()()323aa a a E XY x a x dx x x a dx =-+-=-+⎰⎰31(,)3212a a Cov X Y =-+令31(,)03212a a Cov X Y =-+=，可得方程 2(21)(221)0a a a ---=在(0,1)内解得0.5a =，即0.5a =时，X 与Y 不相关.40、设计算器进行加法计算时，所有舍入误差相互独立且在(0.5,0.5)-上服从均匀分布. (1) 将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少；(2) 最多可以有几个数相加，其误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90? 解：设第i 个数的舍入误差为i X (1,,)i n =L ，故()0i E X =、()1/12i D X = (1,,)i n =L记1nii X X==∑(1) 由林德伯格－列维中心极限定理有150015000(||15)(||i x p X p -⨯>=>∑1[21]0.1802≈-Φ-=；(2) 由林德伯格－列维中心极限定理有0.90(||10)(|21ni x n p X p -⨯≤<=≤≈Φ-∑即0.95Φ≥，由于(1.645)0.95Φ=1.645≥因此443.45n ≤，再由n 为整数得满足题意的个数为443.41、一批木材中有80%的长度不小于3m ，从中任取100根，求其中至少有30根长度短于3m 的概率？解：以X 表示100根木材中长度短于3m 的数目，则~(100,0.2)X b ，于是()20E X =，()16D X =.由于100n =较大，则由中心极限定理，近似有2~(20,4)X N ，由此有20302010(30)1(30)1()1()0.0062444X p X p X p --≥=-<=-<≈-Φ-=. 42、某商店出售价格分别为1(元)、1.2(元)、1.5(元)的3种蛋糕，每种蛋糕被购买的概率分别为0.3、0.2、0.5.若某天售出300只蛋糕，(1) 求这天收入为400(元)的概率；(2) 求这天售出价格为1.2(元)蛋糕多于60只的概率？解：(1) 设第i 只蛋糕价格为i X (1,,300)i =L .则i X 的分布为于是可得() 1.29i E X =、2() 1.713i EX =、()0.0489i D X =令3001ii X X==∑表示总收入，则由林德伯格－列维中心极限定理有(400)1(3.39)0.0003p X p ≥=>≈-Φ=；(2) 记Y 为300只蛋糕中售价为1.2(元)的蛋糕数目，则~(300,0.2)Y b ，于是()60E Y =、()48D Y =，由中心极限定理，近似有~(60,48)X N ，由此有(60)11(0)0.5p Y p ≥=-<≈-Φ=. 43、进行独立重复试验，每次试验中事件A 发生的概率为0.25.问能以95%的把握保证1000次试验中事件A 发生的频率与概率相差多少?此时A 发生的次数在什么范围内?解：设X 为1000次试验中事件A 发生的次数，则~(1000,0.25)X b ，由二项分布的性质知()250E X =、()187.5D X =，而事件A 发生的频率为/1000X .根据题意，可得如下不等式(|0.25|)0.951000Xp ε-≤≥ 即(|250|1000)0.95p X ε-≤≥，由棣莫弗―拉普拉斯定理有(|210.95p ≤≈Φ-≥即0.975(1.96)Φ≥=Φ 解得0.026ε≥，这表明1000次试验中事件A 发生的频率与概率相差不超过0.026，相应的有1000次试验中事件A 发生的次数在224到276之间.44、某车间有同型号车床150台，在1小时内每台车床约有60%的时间在工作.假定各车床工作相互独立，工作时每台车床要消耗电能15kw.问至少要多少电能，才可以有99.5%的可能性保证此车间正常工作？解：以X 表示同时工作的车床数，则~(150,0.6)X b ，于是()90E X =、()36D X =，由题意知x 应使得下式成立(0)0.995p X x ≤≤≥由中心极限定理，近似有~(90,36)X N ，故有090909090(0)()()(15)0.9956666X x x p X x p ----≤≤=<<≈Φ-Φ-≥ 查标准正态分布表得902.586x -≥，即105.28x ≥，取整得106x =.故要保证车间有99.5%的可能性正常工作，需供电能151061590⨯=()kw .B 组1、将n 只球(1n :号)随机的装入n 只盒子(1n :号)，一只盒子装一只球.若一只球装入的盒子与球同号，称为一个配对.记X 为配对数，求()D X ？解：引入随机变量i X (1,)i n =L ，1i X =表示第i 号配对，0i X =表示第i 号不配对，则1n X X X =++L ，且1(1)i p X n ==(1,)i n =L 即1()i E X n = (1,)i n =L于是1()()1n E X E X X =++=L因为i X 之间不独立，所以11111()()2(,)n n n i i i i j i i i j D X D X Cov X X -=====+∑∑∑∑下面考虑i j X X 的分布，由于i j X X 的取值只能是0、1，且1(1)(1,1)(1)i j i j p X X p X X n n =====-所以1()(1)i j E X X n n =-，因此21()()()()(1)i j i j i j Cov X X E X X E X E X n n =-=-2211()21(1)n n D X C n n n -⇒=+=-. 2、设随机变量X 的分布函数为()F x ，其数学期望存在，证明()[1()]()E X F x dx F x dx +∞-∞=--⎰⎰.证明：0()()()()E X xf x dx xf x dx xf x dx +∞+∞-∞-∞==-⎰⎰⎰由于00()()()xxf x dx xdy f x dx +∞-∞=-⎰⎰⎰改变积分次序有00()(())()yxf x dx f x dx dy F y dy +∞-∞-∞-∞=-=-⎰⎰⎰⎰同理有()[1()]xf x dx F y dy +∞+∞=-⎰⎰()[1()]()E X F x dx F x dx +∞-∞⇒=--⎰⎰.3、设随机变量X 的分布函数为0111()arcsin 11211x F x x x x π⎧<-⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎩求()E X ？解：由上一题结论有()[1()]()E X F x dx F x dx +∞-∞=--⎰⎰10011111[1arcsin ](arcsin )022x dx x dx ππ-=---+=⎰⎰. 4、设连续随机变量X 的密度函数为()f x .若对任意常数c 有()()f c x f c x +=- (0)x >且()E X 存在.证明()E X c =.证明：令x t c =-则有()()()()()()E X xf x dx c t f c t dt cf c t dt tf c t dt +∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞==++=+++⎰⎰⎰⎰由密度函数性质有()()cf c t dt c f c t dt c +∞+∞-∞-∞+=+=⎰⎰令u t =-，有()()()()tf c t dt tf c t dt uf c u du uf c u du +∞+∞-∞-∞+=-=+=-+⎰⎰⎰⎰故()0tf c t dt +∞-∞+=⎰所以()E X c =.5、证明事件A 在一次试验中发生次数的方差不超过0.25.证明：设X 表示事件A 在一次试验中发生的次数，则(1,)X b p :，其中p 是事件A 发生的概率，则()(1)0D X p p =-≥由均值不等式得，当0.5p =时，()D X 有最大值0.25. 6、设随机变量X 服从几何分布，即1()(1)k p X k p p -==-(1,2,)k =L ，其中01p <<是常数.求()D X ？解：1111()(1)(1)k k k k E X kp p p k p +∞+∞--===-=-∑∑由级数2121123(1)k x x kx x -=+++++-L L (||1)x <，知 211()[1(1)]E X p p p=⨯=--又111[(1)](1)()(1)(1)k k k E X X k k p X k p k k p +∞+∞-==+=+==+-∑∑将21(1)x -的展开式两端求导得1321223(1)(1)k x k kx x -=⋅+⋅++-+-L L 3222[(1)][1(1)]E X X pp p⇒+==-- 222()()[()][(1)][()]D X E X E X E X X X E X ⇒=-=+--221[(1)]()[()]pE X X E X E X p-=+--=. 7、一只昆虫所生虫卵X 服从参数为λ的泊松分布，而每个虫卵发育成幼虫的概率为p ，且每个虫卵是否发育成幼虫相互独立，求一只昆虫所生幼虫数Y 的期望与方差？解：由题意知()!np X n e n λλ-==(0,1,2,)λ=L ，而n 个虫卵发育成k ()k n ≤个幼虫的概率为(|)(1)k kn k n p Y k X n C p p -===- (0,1,,)k n =L由全概率公式，对任意0,1,,k n =L 有()()(|)(1)!nk kn k n n kn kp Y k p X n p Y k X n e C p p n λλ+∞+∞--========-∑∑(1)()[(1)]()()!()!!!k n k k k p pn kp p p p e e e e k n k k k λλλλλλλλ-+∞----=-===-∑即Y 服从参数为p λ的泊松分布 所以()()E Y D Y p λ==.8、设随机变量X 的密度函数()f x 是偶函数，且2(||)E X <+∞，证明X 与2X 不相关，但不独立.证明：因()f x 是偶函数，所以()xf x 、3()x f x 是奇函数，故此3()()0E X E X ==222(,)()()()0Cov X X E X X E X E X ⇒=⋅-=因而，X 与2X 不相关；选取0a >使得()1p X a ≤<，考察如下特定事件概率22(,)()()()p X a X a p a X a p X a p a X a ≤≤=-≤≤>≤-≤≤ 22()()p X a p X a =≤≤即2222(,)()()p X a X a p X a p X a ≤≤≠≤≤ 故X 与2X 不独立.9、设1X 、…、n X 中任意两个的相关系数都是ρ，试证:11n ρ≥--. 证明：因为111110()()2(,)n n n i i i i j i i i j D X D X Cov X X -====≤=+∑∑∑∑1111()2n n i i i i j D X ρ-====+∑11111()[()()]()[1(1)]n n i ni i j i i i j i D X D X D X D X n ρρ-====≤++=+-∑∑∑∑11n ρ⇒≥--.。