牛顿第二定律：任何质量 m的动量变化率等于作用 于其上的力。
d dv p(t ) (m ) dt dt
v
d 2v p(t ) m 2 mv dt
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第二章 结构动力学的基本概念
达朗贝尔原理要点：
（1）质量所产生的惯性力与它的加速度成正比，但方向相反。 （2）将运动方程表示为动力平衡方程，p(t)包含很多种作用 在质量上的力（弹性约束力、抵抗速度的阻尼力、独立说明的外 荷载），引入惯性力，上式为作用于质量上的全部力的平衡表达 式。
d 2v p(t ) m 2 mv dt
0 p(t ) mv
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实例：单自由度k-c-m系统运动方程的建立（板书）
第二章 结构动力学的基本概念
实例：简单系统运动方程的建立（板书）
x2 k2 c2
x1 k1 c1 m1
p(t )
m2
x
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第二章 结构动力学的基本概念
Ui
dv Vm uT u
v
——系统弹性应变能；
——系统惯性力势能（作功负值）；
dv ——系统粘滞阻尼力势能（作功负值） ； Vc uT cu v
) ——系统库伦摩擦力势能（作功负值） ； VF uT Fsign(u
Vp uT p(t )
——系统干扰力势能（作功负值） ；
d 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2
1
2
1 c1 ( x 1 x 2 ) k1 ( x1 x2 ) p (t )]x1 [m1 x 2 c1 ( x 1 x 2 ) c2 x 2 k1 ( x1 x2 ) k 2 x 2 ]x2 0 [ m2 x
注意：这里是先有方程组，再写成矩阵形式，
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第四章
多自由度体系振动
“对号入座” 法则：
1 ) 2 ) d k1(x 1 x 2 )( x 1 x 2 ) k2x 2 x 2 (m 1x x 1 ( m 2x x2 1 x 2 )( x 1 x 2 )] [c2x 2 x 2 ] p(t ) [c1(x x 1 x 2c1x 1 x 1c1x 2 x 2c1x 2 x 2c2x 2 x 1c1x 1 x 2 m 2x 2 x 1m 1x x 1 p(t ) 0
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第二章 结构动力学的基本概念
•动力问题的基本特征

荷载与响应（或系统特征）随时间变化（要求解时程响应）

动力问题是某时刻的平衡问题（暂不关心动力稳定问题）

存在惯性力作用（-ma）
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第二章 结构动力学的基本概念
2.2 动荷载的类型
简谐荷载 周期 非简谐荷载 确定 冲击荷载 非周期 突加荷载 动荷载 其他确定规律的动荷载 风荷载 地震荷载 不确定 其他无法确定变化规律的荷载
m
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第二章 结构动力学的基本概念 •广义坐标法
假设结构的变形曲线形状可以用一系列规定的位移曲 线之和表示，即用数学式表达如下：
y ( x) ai i ( x)
i 1 n

a i ---广义坐标
y ( x) ai i ( x)
i 1
i ( x) ---形状函数
Pc ( t )
q( z, t )
EI n
v( z, t )
j
v j (t )
z
ln
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第四章 多自由度体系振动
③单元弹性变形能及变分 单元弹性变形能： 单元刚度矩阵
ln ln EIv d (v) Md EI dz 0 2 2 dz 2 ln
Un EI 2
Vg u T Q
——系统重力势能
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第二章 结构动力学的基本概念 •弹性系统动力学总势能不变值原理
实例：单自由度k-c-m系统运动方程的建立（板书）
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•多刚体系统
系统的两个自由度为：
、
x1 , x2
惯性力势能： 阻尼力势能： 弹性应变能： 外力势能：
1 ) x1 (m2 2 ) x2 Vm (m1 x x
•达朗贝尔原理+虚位移原理（1717年贝努利提出）
虚位移原理：如果体系在一组力作用下平衡，则当体系产生一个约束允许 的虚位移时，这组力所作的总虚功为零。
v 0 p(t )v mv
)v 0 ( p(t ) mv
0 p(t ) mv
说明：上式为质点系虚位移原理，对于变形体还总虚功应包含内力所作虚功。
1
x 1k1x 1 x 2k1x 1 x 1k1x 2 x 2k1x 2 x 2k 2x 2
j xi mx
m加到M矩阵i行j列
j xicx
c加到C矩阵i行j列
xi kxj
k加到K矩阵i行j列
xi p(t )
p加到P列阵i行
1 c1 1 k1 x c1 x k1 x1 p(t ) m1 0 0 m c1 c2 x2 k1 k1 k2 x2 0 2 x2 c1
k2 c2
m2
x
确定体系在空间中的 位置（位形）所需的独立 参数的数目，称作体系的 静力自由度数。
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第二章 结构动力学的基本概念 •自由度的定义
问题：静力自由度与动力自由度的区别与联系？实际结构动 力分析中如何选择自由度？计算效率与计算精度如何考虑？
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第二章 结构动力学的基本概念
K y P y C y M
Pc ( t )
c q( z, t )
1
l1
Ps ( t )
2
l2
3
k
i
n
ln
j
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第四章
②单元位移模型
多自由度体系振动
v i qe 1 v i qe 2 {qe } 单元节点位移： v j qe 3 v q e4 j
单元内部位移：
v( z) [ N ]{qe}
z z N1 1 3( ) 2 2( )3 ln ln z z N3 3( )2 2( )3 ln ln z2 z3 N2 z 2 2 2 ln ln z 2 z3 N4 2 ln ln
vi ( t ) i
c
振动方程：
1 c1 ( x 1 x 2 ) k1 ( x1 x2 ) p(t ) m1 x 2 c1 ( x 1 x 2 ) c2 x 2 k1 ( x1 x2 ) k 2 x2 0 x m2
1 c1 1 k1 x c1 x k1 x1 p(t ) m1 0 0 m x c c c x k k k x 0 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
多自由度系振动
d U i Vm Vc Vp
)x (m )x k ( x x )(x x ) k x x (m x x x )(x x )] [c x x ] p (t )x [ c ( x
第三类问题：荷载识别
?输入
（动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
?控制系统
（装置、能量）
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第二章 结构动力学的基本概念
2.4 结构离散化的方法
•自由度的定义
x2 x1 k1 c1 m1
p (t )
确定体系中所有质量 位置所需的独立坐标数， 称作体系的动力自由度数。
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第二章 结构动力学的基本概念
补充：阻尼力的概念
阻尼：消耗振动能量并使振动衰减的因素。 阻尼力：来源于结构与支承之间的摩擦，材料之间的内摩擦，周 围介质的阻力。 阻尼力表述方式：
cv
cv
2
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第二章 结构动力学的基本概念
2.5 系统运动方程的建立
•基于达朗贝尔原理（1743年提出）的直接平衡法
0 ln

0
(v) 2 dz

0
( N qe ) 2 dz
变形能的位移变分：
U n = =
ln EI 2 ( N qe )( N qe ) dz 0 2
ln EI qe1 + N qe1 + N 2 (N1 qe2 + N qe3 + N qe4 )(N1 q + N q + N q ) dz 2 3 4 2 e2 3 e3 4 e4 0 2
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第二章 结构动力学的基本概念
2.3 结构动力学的研究内容和任务
第一类问题：反应分析（结构动力计算） 输入 （动力荷载） 结构 （系统）
?输出
（动力反应）
第二类问题：参数（或称系统）识别
输入 （动力荷载）
?结构
（系统）
输出 （动力反应）
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第二章 结构动力学的基本概念
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第四章
多自由度体系振动
•平面梁（变形体系统）
①分析思路：