√
解析
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4.(2016· 课标全国乙)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a ＋b|2＝ |a|2 ＋|b|2， －2 则m＝________. 解析 由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，所以m×1＋1×2＝0，得m＝－2.
解析答案
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5.(2016· 上海)在平面直角坐标系中，已知 A(1,0)，B(0，－1)，P 是曲线 y → → [0,1＋ 2] ＝ 1－x 上一个动点，则BP· BA的取值范围是___________.
解析答案
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高考必会题型
题型一
例 1
平面向量数量积的基本运算
→ → (1)(2015· 四川改编)设四边形 ABCD 为平行四边形，|AB|＝6，|AD|
→ → → → → → 9 ＝4，若点 M，N 满足BM＝3MC，DN＝2NC，则AM· NM＝________.
解析
答案
→ → → 1 → (2)(2015· 福建改编)已知AB⊥AC，|AB|＝ ，|AC|＝t，若点 P 是△ABC 所 t → → → AB 4AC → → 13 在平面内的一点，且AP＝ ＋ ，则PB · PC 的最大值等于________. → → |AB| |AC|
则(c－a)· (c－b)＝(x－2 2，y－2 2)· (x－2 2，y)
2 2 即 ( x － 2 2) ＋ ( y － 2) ＝1， ＝(x－2 2) ＋y(y－2 2)＝－1，
2
所以点 C(x，y)在以 D(2 2， 2)为圆心，1 为半径的圆上，
|c－a|＝ x－2 22＋y－2 22， 最大值为 AD＋1＝ 2＋1.
解析
答案
变式训练 3
π 已知向量 a，b，c 满足|a|＝4，|b|＝2 2，a 与 b 的夹角为4，
2＋1 (c－a)· (c－a)＝－1，则|c－a|的最大值为________.
解析
在平面直角坐标系中，取 B(2 2，0)，A(2 2，2 2)，
→ → → 则OA＝a，OB＝b，设 c＝OC＝(x，y)，
2 2 2 2 2 1 2 －2a· a×－ ＝ 3 a ， 2
∴BD＝ 3a.
3 3 2 → → → → 2 ∴BD· CD＝|BD||CD|cos 30° ＝ 3a × 2 ＝2a .
解析答案
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2 2 2.(2015· 重庆改编)若非零向量 a， b 满足|a|＝ 3 |b|， 且(a－b)⊥(3a＋2b)， π 则 a 与 b 的夹角为________. 4
点评
解析
答案
变式训练 1
→ → → → → 在△ABC 中， AD⊥AB， BC＝2 3 BD， |AD|＝1， 则AC· AD＝
2 3 ________.
解析
答案
题型二
利用平面向量数量积求两向量夹角
例2
(1)设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，
y3 ， y4 均由 2 个a 和2 个b 排列而成 .若 x1· y1 ＋ x2· y2 ＋ x3· y3 ＋ x4· y4 的所有可能 π 3 取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为________.
解析
答案
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3.(2015· 陕西改编 ) 对任意向量 a ， b ，①|a· b|≤|a||b| ；②|a － b|≤||a| － |b|| ；
③(a＋b)2＝|a＋b|2；④(a＋b)· (a－b)＝a2－b2.以上关系式中不恒成立的
是______. 解析 对于①，由|a· b|＝||a||b|cos〈a，b〉|≤|a||b|恒成立； 对于②，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立； 对于③、④容易判断恒成立.
120° 角为________.
解析答案
题型三
例3
利用数量积求向量的模
(1)已知向量 a，b 的夹角为 45° ，且|a|＝1，|2a－b|＝ 10，则|b|＝
3 2 ________.
解析 由|2a－b|＝ 10，则|2a－b|2＝10，
及4a2－4a· b＋b2＝10，又向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，
解析
答案
(2)已知向量a，b满足|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝－2x3＋3|a|x2＋ 2π ， π 6a· bx＋5在R上单调递减，则向量a，b的夹角的取值范围是________. 3
点评
解析
答案
变式训练2
若非零向量 a ，b 满足|a|＝|b|，(2a ＋b)· b ＝0 ，则a 与b 的夹
2
解析 由题意知 y＝ 1－x 表示以原点为圆心，半径为 1 的上半圆. → 设 P(cos α，sin α)，α∈[0，π] ，BA＝(1,1)， → BP＝(cos α，sin α＋1).
2
→ → 所以BP· BA＝cos α＋sin α＋1 π ＝ 2sin(α＋ )＋1∈[0,1＋ 2] 4 → → BP· BA的范围为[0,1＋ 2].
π 2 所以 4×1－4×1×|b|cos 4＋|b| ＝10， 即|b|2－2 2|b|－6＝0，解得|b|＝3 2.
解析答案
(2)已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC＝90° ，AD＝2，BC＝1，点
5 P 是腰 DC 上的动点，则|PA＋3PB|的最小值为________.
Hale Waihona Puke →→点评专题4 三角函数与平面向量
第 20 练
关于平面向量数量积运 算的三类经典题型
题型分析 高考展望
平面向量数量积的运算是平面向量的一种重要运算，应用十分广泛，
对向量本身，通过数量积运算可以解决位置关系的判定、夹角、模等
问题，另外还可以解决平面几何、立体几何中许多有关问题，因此是
高考必考内容，题型有填空题，也在解答题中出现，常与其他知识结
合，进行综合考查.
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→ → 1.(2015· 山东改编)已知菱形 ABCD 的边长为 a，∠ABC＝60° ，则BD· CD 3 2 a 等于________. 2
解析 如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.
BD ＝BC ＋CD －2BC· CD· cos 120° ＝a ＋a