化二次型为标准型的方法二、二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程ax 2 +2bxy+ cy 2 = f .为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度。

，作转轴（反时针方把方程（1）化成标准方程,在二次曲面的研究中也有类似的情况.（1）的左端是一个二次齐次多项式。

从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量 的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。

二次齐次多项式不但在几 何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。

现在就来介绍它的一些最 基本的性质。

设P 是一数域，一个系数在数域P 上的X“X2，...,Xn 的二次齐次多项式 f （X],x^,・・・,Xn ） = a.eX.2 +2a“X]X, +... + 2a.x.x n+... + 2a. x ?x n +... + a n x n 2J xnii Ii i *in i n匕 .n 二 n nil n称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。

设x p x 2,...,x n ； y,,y 2，…,yn 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式x 1=c I1y I +c 12y 2+...c ln y nx 2=c 2iyi +c 22y 2+-c 2nyn X 3=C 3iyi +C 32y2+-C 3ny n（4）/n =C niy2+C n2y2+-C nnyn称为由X|,X2，...,Xn 到力必，…,yn 的一个线性替换，。

如果|cJ #。

，那么线性替换（4）就 称为非退化的。

在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。

另, i<j.由于XjXj=XjXi ,所以f （x p x 2,...,x n ） = a 11x 12 +2a 12X!X 2 +... +2a ln X!X n +a 22x 22 +... + 2a 2n x 2x n +... + a nn x n 2n n= Z»,jXjXjj —1它的系数排成一个n*n 矩阵(1)向转轴） x = x cos 0-y sin 。

• •y = x sinC + y cos 。

(2)a il a !2<>，a inA a 2l a 22*e-a 2n A=. . .<a nl a n2,，，anm>它就称为二次型的矩阵。

显然它是对称矩阵。

令 X=知. . <X n>于是二次型可写成f(x p x 2，…,x n ) = XAX 非退化线性替换可以表示成X=CY三、化二次型为标准形的方法之一：配方法定理：数域P 上任意二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式，即标准形。

证明：下而的证明实际就是一个具体的把二次型化成平方和的方法，也就是“配方法”。

我们对变量的个数做数学归纳法。

对于n=l,而二次型就是f(x,) = a I1xf 已经是平方和的形式了。

现假定对n-l 元二次n n型，定理的结论成立。

再假设f(X],X2，...,Xn )= ££aijXiXj (ajj=ciji ) i-1 j-1 分三种情况来讨论：1) a u (i=l, 2,…，n)中是少有一个不为零，例如a H *0o 这时nn n n f(x…x 2,...,x n ) = a H x^ +S aU x i x j +E a n x .x >+EE a ij x .x j j-2i-2 i-2 j=2n n n =+2Z"|Xj + ZZ %x,Xjj-2 i-2 j=2这里EE bijXjXj=.a 〈+££ a ui-2 j=2V j-27 i-2 j=2是一个X,,...,X 的二次型。

令 X IIy 产 x i +E a nVj x i = yi-X a n a «j x j j-2j-2< y 2 =x 2 即 = y 2=a nX|+Na 〔&jXj -a ；； 2>]jXjj-=311X l +E a H ，a ij X jj ・27I j ・272 n n+EE %x/j,i-2 j=22 n ni-2 j=2.Yn =X n这是一个非退化线性替换,它使f(xg,…,Xn)= aM+文文bg。

i-2 j=2有归纳法假定，对文丈稿出尸)有非退化线性替换i-2 j-2Z2=C22y2+C23y3+-C2nyn«z3=c32y2+c33y3+...c3n y n能使它变成平方和d,z；+d近+...以。

Zn =c n2y2+c n3y3+...c nn y n于是非退化的线性替换Z = *Z2=C22y2+C23y3+"・C2nyn< z3=c32y2+c33y3+...c3n y n.Z n=C n2y2+C n3y3+-C nnyn就使f(x p x2,...,x n)变成f(x,,x2,...,x n) = d2z； +d[Z； +...d n z；由归纳法，即证。

2) 所有舄都等于0,但至少一a^O (j>l),不是一般性，设a12^0o令X] = Zj + z2<2 1 2它是非退化线性替换，且使f(x p x.,...,x n) = 2a12x1x7+...x n = z n n n=2a p(Z| +Z「)(Z]- z「)+ ・・・=—2a”zS +...这时上式右端是Z|,Z”..,Zn的二次型，且Z《的系数不为0,属于第一种情况，定理成立。

3) a u =a l2 = ...a ln = 0 由于对称性,有a21 =a22 = ...a2n =0这时f(x p x2,...,x n)=旋心是n-1元二次型。

根据归纳假设，它能用非退化线性替‘1 0 O'r l -1 2、因此D=0 1 0,c=0 1 -1<0 0 -3;<0 0 1 >令X=CY,得/W, Xj,也)=对 + y22 - 3片五、化二次型为标准形方法之三：正交变换法（实二次型）利用欧式空间的理论，我们得到这样的结论：对于任意一个n级是对称矩阵A,都存在一个n级是正交矩阵T,使T T AT=T*AT成对角形。

n n定理任意一个实二次型f(x“X2,…,Xn)= ££aijXjXj ( a’a”) j-1都可经过正交的线性替换变成平方和f（x p x2,....x n） = d2zUd3zj+...d n z；其中平方项系数d「d,,...,dn就使矩阵A的特征多形式全部的根。

因此只要求出特征根，二次型标准形也就求出来了。

正交变换更具实用性。

如：典型例题：作直角变换，把下述二次曲面方程化成标准方程，并指出它是什么二次曲而?x1 +2y2 +3z2一= 1下把它正交替换成标准型:解：此方程左端的二项式部分为：/（x,y,z）=x2+2y2 +3z2-4xy-4yz'1 -2它的矩阵A= -2 20 -2 \ （2 + 1） ,A的全部特征值是2, 5,2-1-2 |2E-A|= 232 02-2 2 =(A-2)(2-5)2 2-3・1 .对于特征值2,求出（2E-A） X=0的一个基础解系:~3£32J >；对于特征值5,求出（5E.A） X=0的一个基础解系:‘1、a2 = -2把。

2单位化，得％ =<2 >3_22<3 >；对于特征值・1,求出（・E.A） X=0的一个基础解系:所以原二次型在新的直角坐标系中的方程为：2x^+5产一广=1 由此看出，这是单叶双曲而。

六、化二次型为标准形方法之四：雅可比方法(一) 相关定义 1、双线性函数定义V 是数域P 上一个线性空间，f( a , B )是V 上一个二元函数，即对V 中任意两个向量Q 、 8,根据f 都唯一地对应于P 中一个数f(a,B)°如果f(a,B)有下列性质： 1)f(a , k"i + k2A )=k 1f(a,/71) + k 2f (6Z,/72) 2) f (k,^ +k 2a 2/?) =k 1f(a, /?)4-k 2f (a 2 fl)其中a,/,%,昆4用是V 中任意向量，k,,k 2是P 中任意数，则称f(«, 的一个双线性函数。

例如：欧式空间V 的内积是V 上双线性函数。

2、 对成双线性函数的定义f(a, 6)线性空间V 上的一个双线性函数，如果对V 中任意两个向量a, 6都有f (。

， B) =f(6, a),则称f(a, B)为对称双线性函数。

3、 度量矩阵定义设f (。

，B )是数域P 上n 维线性空间V 上的一个双线性函数。

上，％…是V 的一组%= 2，把。

3单位化， 得％ =32 3 1 J;3 3 (2o o--二，则T 是正交矩阵，且T"AT= 0 3 3 石 2 15 -1 ° 0,则 ra ，y,z)=2x"+5y"-zP'f—点)... f(£|,%)基，则矩阵入= : : 叫做f(a, 6)在习,^下的度量矩阵。

、f(%,勺…f(£n，%,结论：双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵。

(二)化二次型为标准型的雅可比方法设V是数域P上一个n维线性空间，取定V的一组基切,先,令n na== 遍"i=l i=lx=(X],,y=(Yp--My n),那么给定一个F上的n元二次型x r Ay (其中A是n阶对称矩阵)，则由A可以定义一'f(弓，勺... f(gn)'A= J •・. : 个V上对称双线性函数f(a, p )= x T Ay,其中勺…反之亦然。

在固足的基£"2,…，上下，二次型X】、Ax和对称双线性函数f( a, p)=x T Ay是互相唯一确定的(都是由A确定的)。

这种方法的中心问题是：对在V的基玲虬，…,％下游二次型x『Ax确定的对称双线性函数f(a,B)=x『Ay,满足条件f(7/,〃j)=0,对i#j(i,j=l,2，…n)我们知道，设｝是V的另一组基，而B=(bij)nxn =(f(〃i.〃j))是6) 关于这个基的矩阵，又设C=(%)n“是由基习，勺，…，与到基如…，〃n的过渡矩阵，即n〃1 = £%勺，i=l,…,n j・i那么B=C'「AC, (1)即一个双线性函数关于V的两个基的两个矩阵式合同的。

由于任一对称矩阵必能合同于对角矩阵。