2x1x2
2x1x 3
2x
2 2
4x2x3
x
2 3
化为标准形
解:配方化简
x12
2x1x2
2x1x3
2x
2 2
4x2x3
x
2 3
x12 2x1(x2 x3) (x2 x3)2 (x2 x3)2 2x22 4x2x3 x32
x1 x2 x3 2 x22 2x2x3
x1 x2 x3 2 x2 x3 2 x32
再配方，得
f 2 y1 y3 2 2 y2 2 y3 2 6 y32 .
令
z1 z2
y1 y2
y3 2 y3
z3 y3
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
y3 z3
y
1
1
即
y
2
y 3
0
0
0 1 0
z 1 z 2 z 1
1 ,Y 2 3
实二次型f(x1, x2, , xn )=XT AX (AT A), 由于A为实对称，则存在正交矩阵Q使得
Q 1AQ QT AQ diag(1, 2, , n ),
于是线性替换X=QY(称为正交变换)化f为
标准型1y12
2y
2 2
n
y
2 n
.
定理 对于任意n元实二次型f(x1, x2, , xn ) X T AX (AT A),都存在正交变换X=QY化f为
令
y1
y2
x1
x2 x2
x x3
3
y3 x3
即
x1 x2
y1 y2
y2 y3
x3 y3
1 1 0 C 0 1 1 1 0
00 1
代入可得标准形为
y12
y
2 2
y
2 3
1 0 0
它的矩阵为
B
0
1
0
0 0 1
1 1 1
原二次型矩阵
A 1
2
2
非退化线性替换矩阵为
x1
x1
xxx2222xxx3332222xxx22222x344xx32去324掉4xx2配x2 3x方3 后多出来的项
x1 x2 x3 2 x2 2x3 2.
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
x1 x2
y1 y2 y2 2 y3
y3
y3 x3
x3 y3
定理 对任意对称阵A,存在可逆阵C使得CTAC 为对角阵. 即任何对称矩阵合同于一个对角阵.
上述定理的证明实绩上给出了一种化二次 型为标准型的方法：配方法.
拉格朗日配方法的步骤
1. 若二次型含有 xi 的平方项，则先把含有 xi 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形 .
f 17 x12 14x22 14x32 4x1 x2 4x1 x3 8x2 x3
通过正交变换 x Py,化成标准形.
解 step1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
17 2 2
A 2 14 4
2 4 14 17 2 2
E
A
2 2
14 4
f 经过正交变换X=QY化为
f (x1, x2 , , xn )
1y12
2y
2 2
n
y
2 n
cy12
cy
2 2
cy
2 n
cY TY cX T X .
应用
设实二次型f (x1, x2, , xn ) X T AX的矩阵
A的特征值为1, 2, , n,c max{1, 2, , n },
d min{1, 2, , n }，则求f 在条件
f
(x1, x2,..., xn )
a11
x121
2x1
a12 a11
x2
...
a1n a11
xn
a
x2
22 2
...
2a2n xn2
配方
...... ann xn2
a11 x1
a12 a11
x2
...
a1n a11
xn
2
1
a11
a12x2 a13x3 ... a1n xn
解 由于所给二次型中无平方项，所以
令
x1 x2
y1 y1
y2 y2 ,
x3 y3
即
x x
1 2
1 1
x3 0
1 1 0
0
y
1
yy 10
2
,
X
C1Y
3
代入 f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 ,
得
f 2 y12 2 y22 4 y1 y3 8 y2 y3 .
§2 二次型化为标准型的三种方法
对于二次型f(x1, x2, , xn ) X T AX (AT A), 一个最基本的问题是找一个可逆(非退化)线性
替换X=CY化f为只含平方项的简单形式
g(y1, y2,
,yn )
d1y12
d2y
2 2
dn
y
2 n
,
上式称为f的标准型.
问题：(1)非退化得线性替换X CY 是非存在？
标准型1y12
2y
2 2
n
y
2 n
,
其中i为A的
特征值(i=1,2, ,n).
正交变换的特点是保持向量长度不变：
设X=QY为正交变换，则
X 2 (X, X ) (QY ,QY ) (QY )T (QY )
Y TQTQY Y TY Y 2 .
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 写出二次型的矩阵 A ;
取 1 1,2 2, 3
得正交向量组
3
( 3 ( 2
,2 ,2
) )
2
,
1 (1 2,1,1)T , 2 (2,1,0)T ,
3 (2 5,4 5,1)T .
step4．将正交向量组单位化，得正交矩阵P
令
i
i i
,
i 1,2,3,
得
1
1 3 2 3,
2
2 1
5 5 , 3
a11y12
a2' 2y
2 2
2a2' 3y2y3
...
2a
' 2n
y
2yn
a3' 3y
2 3
...
2a
' 3n
y
3yn
......
对y2,y3,…,yn的二次型.
an' n
y
2 n
当aii'不全为零时,继续上述方法.否则用下述(2) (2)若a ii=0 (i=1,2,…,n),但至少有一个aij≠0,
2 4
45 45 .
2 3
0
5 45
所以
1 3
P 2 3
2
3
2 5 15
0
2 45
4 45 .
5
45
于是所求正交变换为
x1 1 3
x2 2 3
x3
2
3
2 5 15
0
2 45 y1 4 45 y2 , 5 45 y3
且有 f 9 y12 18 y22 18 y32 .
1 2 1
1 1 0
C
0
1
1 且 |C | 1 0
可验证 0 0 1
1 0 0 1 1 1 1 1 0
CT AC
1
1
0
1
2
2
0
1
1
0 1 1 1 2 1 0 0 1
1 1 1 1 1 0 1 0 0
0
1
1
0
0 0 1 0
1 0
1 1
0
0
1 0
0
例 设实二次型f (x1, x2, , xn ) X T AX的矩阵
A的特征值为1, 2, , n,c max{1, 2, , n },
d min{1, 2, , n }.
证明：对任意n维实向量X, 都有
dX T X f (x1, x2, , xn ) cX T X .
证 A为实对称阵，则存在正交矩阵Q使得
2an1,nyn1yn
y12的系数2a12 0, 再用(1)化简.
反复使用(1)与(2),可以在有限步内将二次型 化为标准形. 因为 x=Cy, |C|≠0 y=Dz,|D|≠0
则 x=(CD)z, |CD|=|C||D|≠0 也是非退化线性替换.
以上做法中,每一步都是非退化线性替换.
因此可以找到一个非退化线性替换化为二 次型为标准形.
B
1
2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0 (i j),则先作可逆线性变换
xi xj
yi yi
yj yj
k
1,2,, n且k
i,
j
xk yk
化二次型为含有平方项的二次型，然后再 按 1 中方法配方.
例3 化二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 成 标 准 形, 并 求 所 用 的 变 换 矩 阵.
设a12≠0,则
f (x1, x2,..., xn ) 2a12x1x2 2a13x1x3 ... 2a1nx1xn
2a23x2x3 ... 2a2nx2xn ...... 2an1,n xn1xn
令
x1 y1
x
2 x3
y1 y 2 y3
...
xn y n
它是非退化线性的替换,代入后