化二次型为标准型的方法二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程ax" + 2bxy+ cy' =f .(1)为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度作转轴（反时针方 X = X cos&-y sin&• •y = X sin0+y cos0把方程（1）化成标准方程。
在二次曲而的研究中也有类似的情况。
（1）的左端是一个二次齐次多项式。
从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量 的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。
二次齐次多项式不但在几 何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。
现在就来介绍它的一些最 基本的性质。
向转轴）(2)设P 杲一数感，一个系数在数域P I ：的X|.X2，•…Xn 的二次齐次多项式f(XpXx ・・・,Xn)= a…xf +2apX]X 》+・•・+ 2d]nX]Xn +a"X 分2 +・・・ + 2a*nXjXn +・・・ + annXn2称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。
设X|,X2■…,x…： y^y, y…是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式X| =勺』|+匂汙2+・・・5人X2=C2.yi+c…y,+...c,…y… X3=C3y +。
32『2+…(3"九 (4) 1/"=5』2+%九+…5肌 称为由XpX2 x…到yid?人的一个线性替换八如果 G H0,那么线性替换（4）就 称为非退化的。
在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。
另 那二ivj ・由于XjXj=XjXi ,所以 f(X|,X2，・・・,x…) = a]]X/ + 2di2X|X2+・・・ + 2a]nX|Xn +3,2X2"+... + 2a2…X2Xj, +n n =工工a/iXj i —1它的系数排成一个n*n 矩阵州2…％ 幻2…幻n它就称为二次型的矩阵。
显然它是对称矩阵。
X|X ，于是二次型可写成f(XpX,xJ = XAX 非退化线性替换可以表示成X=CY三、化二次型为标准形的方法之一：配方法 定理：数域P 上任意二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式•即标准形。
证明：下而的证明实际就是一个具体的把二次型化成平方和的方法，也就是“配方法”。
我们对变量的个数做数学归纳法。
对于n=l,而二次型就是f(X|) =如已经是平方和的形式了。
现假ik 对nJ 元二次n n型，世理的结论成立。
再假设f(X"X2…Xn)=为工"ijXjXj(3ij = an) i-l >) 分三种情况来讨论:1) a… (i=h 2,…，n)中是少有一个不为零，例如a,, *0.这时nnn nfg'X?，…,xj = a…x? + 工a|产E + Eazx 严工工i-2i-21-2 j=2nn n=十2工aijXjXj + E 工 a..x.x.j ・2i-2 >2-n n十工工bijX,Xj,1-2 j=2这里n nS 如jXj +ZZ ®jX,Xjj ・2 丿 i-2 j=2nX|+》站hijXjj ・2yV f n •al -n n工讪jXj +ZZ 那XiXj1-2 j=2j ・2nX|+2>i>ijXjj-2丿n nI n工 S bijXjXjda ］； 1-2 j=2是一个X2…r Xn 的二次型Q 令Xn=yn这是一个非退化线性替换，它使f(XpX,，…,x… )fy：+i± b,jX"有归纳法假定，对f f 坷丫:丹有非退化线性替换1-2 j-272=勺2『2+。
23力+・・・勺訝"2厂32+。
心+・心儿能使它变成平方和d2Z ；+d3晴+..%：。
&=5汀2+<；小3+...<；曲于是非退化的线性替换Z| = y.22=^22X2+C ，3y3+...c2…y… * 6=。
32儿+。
33丫3+…。
3"九就使f(XpX,，…,xj 变成f(X 「X2■…,Xn)= d2Z ：+d3Z ；+…gz ：由归纳法，即证。
2)所有aji 都等于0,但至少一 aijMO (j>l),不是一般性，设a 】？工0。
令X, =Z, +Z2 Xj =Z(-Zj"■它是非退化线性替换，且使f(X],X2xj = 2a,2X1X2+...=2a 门(Z| + Z^)(Z|- z J + •・• = 2apZ, — 2QpZ ； +...这时上式右端是Z"Z2Zn 的二次型，且Z ；的系数不为0,属于第一种情况，；^^理成立03)a,, =a|2 =•••»!… = 0 由于对称性，有 a?] =322 =・・・d2n =0这时f(XpX,，…,x… y=ii UjjXjXj 是n-1元二次型。
根摇归纳假设，它能用非退化线性替 >-2 i-2nyi = X|+》＞;hjXjJ-2y2 = x2nX| = yi-》*i%Xjj-2X2=y2lyn=Xn0 2 >-1ITIT一］丿‘1 0 0、‘1 0 0' ‘1 -1 0、0 1 0 0 I 00 1 0 0 0 10 0 10 0 1 \\ / \ / (\ 0 一1/ 10 0)(\ 0 0 )0 <0一2丿一20 <0-3-I 0' 1 0-1-10 <0 0一0 、换变成平方和。
这样就完成了左理得证明。
说明：虽然配方法是基础方法，但在应用化简二次型时比较麻烦。
配方法需要通过观察来配 方，对初学者来讲，具有一世的盲目性。
四、化二次型为标准形方法之二：合同变换法（初等变换法）由上述配方法即得：定理在数域P 匕任意一个对称矩阵都合同于以对角矩阵•即对于任意一个对称矩阵A,都可以找到一个可逆矩阵C 使CTAC 成对角形。
即任意对称矩阵都可用同样类型的初等行变换和初等列变换化成与之合同的对角矩阵。
典型例题：用合同变换法化二次型为标准型，并写出非退化的线性替换。
/(X| 9吃■兀)=xf +— Xy + 2 A , ^2 - 2斗大31 一1、2 00 -1以下为合同变换过程:一1\3+1*0)解，/（心勺/3）的矩阵为A= 1 3+2-l-h1 ，把Q ］单位化，得巾=<2 ,；对于特征值5,求出(5E-A) X=0的一个基础解系:-2，把a?单位化，得弘= <2 .3_2 "325；对于特征值亠求出(-E-A)X=O 的一个基础解系:1 0 0、‘1 -1 2、因此D= 0 1 0»0 1 -1、0 0 -3,.0 0 1.令 X=CY.得 rCs 心%3)= ” +拧-3拧五、化二次型为标准形方法之三；正交变换法(实二次型)利用欧式空间的理论，我们得到这样的结论：对于任意一个n 级是对称矩阵A,都存在一个n 级是正交矩阵T,使T^AT=T"AT 成对角形。
n n定理 任意一个实二次型f(Xi ，X2.・・・,Xn)= Y 》aijXjXj ( aij=ajj1-1 j-i都可经过正交的线性替换变成平方和f(X 「X2Xn)=d2Z ；+d3Z ；+…gZ ： 其中平方项系数dpd?■…,g 就使矩阵A 的特征多形式全部的根。
因此只要求出特征根•二次型标准形也就求出来了。
正交变换更具实用性。
如： 典型例题：作直角变换，把下述二次曲而方程化成标准方程，并指出它是什么二次曲而?x" + 2y" + 3z" -4xy-4yz = 1丄~31 -2 0、2-1 2 0它的矩阵A= -2 2 -2 |/l£-A| = 2 2-2 20 \-2 3,0 2 2-3 解：此方程左端的二项式部分为：/(x,y,z) 下把它正交替换成标准型:=(/1-2 )(2-5)•1•对于特征值2,求出(2E-A) X=0的一个基础解系:=%' + 2y~ + 3v 一 4秽-4yz (2 + 1) A 的全部特征值是2, 5,13丿所以原二次型在新的宜角坐标系中的方程为：2x*-+5y*'-z*-=l 由此看出，这是单叶双曲而。
六、化二次型为标准形方法之四S 雅可比方法(一)相关定义1、双线性函数定义V 是数域P 上一个线性空间，f( a , B )是V 上一个二元函数，即对V 中任意两个向量«、 根据f 都唯一地对应于P 中一个数f(o, P)。
如果f(a, B)有下列性质：c(a, k| 卩严2卩2)=k]fa0))+k2fa02) f (1<0|+匕0 0) =k|f (<Z| p} + kJ (a, P}英中久厲心2，0，久02是V 中任意向島 kpk,是P 中任意数，则称C(J B)为V 上的 一个双线性函数。
例如：欧式空间V 的内积是V 上双线性函数。
2、 对成双线性函数的定义f(a. P)线性空间V 上的一个双线性函数，如果对V 中任总两个向量a, P 都有f(U, P)二f(B ・0),则称f(5 P)为对称双线性函数0 3、 度量矩阵定义设f(jP)是数域P I: n 维线性空间v r ：的一个双线性函数。
是V 的一组203= 2，把勺单位化•23 2 3 3 _2 一3 r 3 23 ,则T 是正交矩阵，且T^AT 二2 <3 2 3*/ •、令 y =T• y44 z \ /则/(X, y,z)=2x*-+5y*--z*- 1) 2) 令卩3务…f(6Gj结论：双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵。
(二)化二次型为标准型的雅可比方法设V 是数域P 上一个n 维线性空间，取;iV 的一组基司，习•…，务，令n n 工X 吾,=》y 点，1=1i=tx=(X]…X")，尸(y 「…•人),那么给定一个F 上的n 元二次型xTAy (其中A 是n 阶对称矩阵九则由A 可以定义一A=在固定的基£"勺…"6下，二次型x^Ax 和对称双线性函数f(0, PAx^Ay 是互相唯 -确定的(都是由A 确企的)。
这种方法的中心问®是：对在V 的基环勺务下游二次型X TA X 确定的对称双 线性函数f(a, P)=x^Ay,满足条件f (弘4)=0,对••…n)我们知逍，设｛〃 .. 〃n ｝是V 的另一组基，而B=(bjj)2n=(f(“4))是f(S B) 关于这个基的矩阵，又设C=(Cjj)E 是由基斫®4到基“I 久的过渡矩阵，即n〃i =，Cjj&i * 1=1, . ,n J-l即一个双线性函数关于V 的两个基的两个矩阵式合同的。