2008年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷（文史类）数学试题卷(文史类)共5页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B).如果事件A 、B 相互独立，那么P(A ·B)=P(A)·P(B).如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 P n (K)=k m P k (1-P)n-k一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知｛a n ｝为等差数列，2812a a +=,则5a 等于 (A)4 (B)5(C)6(D)7(2)设x 是实数，则“x ＞0”是“|x |＞0”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(3)曲线C :cos 1.sin 1x y θθ=-⎧⎨=+⎩(θ为参数)的普通方程为(A)()()22111x y -++= (B) ()()22111x y +++=(C)()()22111x y ++-= (D) ()()22111x y -+-=(4)若点P 分有向线段AB所成的比为-13，则点B 分有向线段PA所成的比是(A)-32(B)-12(C)12(D)3(5)某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是(A)简单随机抽样法 (B)抽签法 (C)随机数表法(D)分层抽样法(6)函数()211001xy x -=<≤的反函数是(A)1)10y x =＞(B)y =x ＞110)(C) y =110＜x ≤)1 (D) y =110＜x ≤)1(7)函数f (x )=1x +(A)25(B)12(C)2(D)1(8)若双曲线2221613xy p-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上，则p 的值为(A)2 (B)3 (C)4(9)从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为(A)184(B)121(C)25(D)35(10)若(x +12x)n的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为 (A)6(B)7(C)8(D)9(11)如题（11）图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中，能够完成任务的为(A)模块①，②，⑤ (B)模块①，③，⑤ (C)模块②，④，⑥ (D)模块③，④，⑤（12）函数f (x )=(0≤x ≤2π)的值域是(A)[-11,44] (B)[-11,33] (C)[-11,22] (D)[-22,33] 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填写在答题卡相应位置上.（13）已知集合{}{}{}45A B ⋃＝1，2，3，4，5，=2，3，4，=，，则A ⋂U（C B ）＝.（14）若0,x 则1311142422-（2x +3）(2x -3)-4x＝ .（15）已知圆C ： 22230x y x ay +++-=（a 为实数）上任意一点关于直线l ：x -y +2=0 的对称点都在圆C 上，则a = .（16）某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点A 、B 、C 、A 1、B 1、C 1上各安装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则不同的安装方法共有 种（用数字作答）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c .已知222b c a +=+，求：（Ⅰ）A 的大小;（Ⅱ）2sin cos sin()B C B C --的值.（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问5分.）在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的.若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：（Ⅰ）恰有两道题答对的概率;（Ⅱ）至少答对一道题的概率.（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分.）设函数32()91(0).f x x ax x a=+-- 若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：（Ⅰ）a的值;（Ⅱ）函数f(x)的单调区间.（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分.）如图（20）图，αβ和为平面，,,,l A Bα⋂β=∈α∈βAB=5,A,B在棱l上的射影分别为A′，B′，AA′＝3，BB′＝2.若二面角lα--β的大小为23π，求：（Ⅰ）点B到平面α的距离;（Ⅱ）异面直线l与AB所成的角（用反三角函数表示）.（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）如题（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 2.PM PN -=（Ⅰ）求点P 的轨迹方程;（Ⅱ）设d 为点P 到直线l ：12x =的距离，若22PM PN =,求PM d的值.（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分.（Ⅱ）小问6分）设各项均为正数的数列{a n }满足321122,(N *)n n n a a a a n ++==∈. （Ⅰ）若21,4a =求a 3,a 4,并猜想a 2008的值（不需证明）;（Ⅱ）若124n a a a ≤ 对n ≥2恒成立，求a 2的值.绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题（文史类）答案一、选择题：每小题5分，满分60分.(1)C 【解析】本小题主要考查等差数列的性质。
由285212a a a +==得：56a =，故选C 。
(2)A 【解析】本小题主要考查充要条件的判定。
由0x >||0x ⇒>充分 而||0x >0x ⇒>或0x <，不必要，故选A 。
(3)C 【解析】本小题主要考查圆的参数方程。
移项，平方相加，22cos sin θθ+22(1)11x y =++-=（），故选C 。
(4)A 【解析】本小题主要考查线段定比分点的有关计算。
如下图可知，B 点是有向线段PA 的外分点，||3||2PB BA λ=-=-，故选A 。
(5)D 【解析】本小题主要考查抽样方法。
若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样。
故选D 。
(6)D 【解析】本小题主要考查反函数的求法。
由2110(01)xy x -=<≤得：21lg x y -=，即x =又因为01x <≤时，2110x -<-≤，从而有21110110x -<≤，即原函数值域为1(,1]10。
所以原函数的反函数为1(1)10y x =<≤，故选D 。
(7)B【解析】本小题主要考查均值定理。
11()112f x x ==≤+（当且仅=1x =时取等号。
故选B 。
(8)C 【解析】本小题主要考查双曲线和抛物线的几何性质。
双曲线的左焦点坐标为：(0)，抛物线22y px =的准线方程为2p x =-，所以2p =-，解得：4p =，故选C 。
(9)B 【解析】本小题主要考查组合的基本知识及等可能事件的概率。
35410121C P C==，故选B 。
(10)B 【解析】本小题主要考查二项式定理的基础知识。
因为1()2nx x+的展开式中前三项的系数0n C 、112n C 、214n C 成等差数列，所以02114n n n C C C +=，即2980n n -+=，解得：8n =或1n =（舍）。
88218811()()22r r rr r r r T C x C xx --+==。
令824r -=可得，2r =，所以4x 的系数为2281()72C =，故选B 。
(11)A 【解析】本小题主要考查空间想象能力。
先补齐中间一层，只能用模块⑤或①，且如果补①则后续两块无法补齐，所以只能先用⑤补中间一层，然后再补齐其它两块。
(12)C【解析】本小题主要考查函数值域的求法。
令(13)t t =≤≤，则22216(5)sin 16t x --=，当0x π≤≤时，s i n 4x ==，sin 1()4442x f x t===≤=当且仅当t =2x ππ<≤时，1()2f x ≥-，综上可知()f x 的值域为11[,]22-，故选C 。
二、填空题：每小题4分，满分16分.(13) |2 , 3| 【解析】本小题主要考查集合的简单运算。
{1,2,3}U B =ð，(){2,3}U A B = a(14) -23 【解析】本小题主要考查指数的运算。
131311424222(23)(23)4()x x xx x -+---=11322434423x x --+=-(15) -2 【解析】本小题主要考查圆的一般方程及几何性质，由已知，直线20x y -+=经过了圆心(1,)2a --，所以1202a -++=，从而有2a =-。
(16) 12 【解析】本小题主要考查排列组合的基本知识。
先安排底面三个顶点，共有33A 种不同的安排方法，再安排上底面的三个顶点，共有12C 种不同的安排方法。
由分步记数原理可知，共有313212A C ⋅=种不同的安排方法。
三、解答题：满分74分.(17)（本小题13分）解：(Ⅰ)由余弦定理，2222cos ,a b c bc A =+-222cos 222.6b c aA bc bcA π+-====故所以(Ⅱ) 2sin cos sin()B C B C --2sin cos (sin cos cos sin )sin cos cos sin sin()sin()1sin .2B C B C B C B C B CB C A A π=--=+=+=-==(18)（本小题13分）解：视“选择每道题的答案”为一次试验，则这是4次独立重复试验，且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为14.由独立重复试验的概率计算公式得： (Ⅰ)恰有两道题答对的概率为 4224213(2)C ()()44P =27.128=(Ⅱ)解法一：至少有一道题答对的概率为 0444131(0)1C ()()44P -=-811751.256256=-=解法二：至少有一道题答对的概率为122223344444413131313C ()()C ()()C ()()C ()()44444444+++10854121256256256256175.256=+++=(19)(本小题12分)解：(Ⅰ)因22()91f x x ax x =+-- 所以2()329f x x ax '=+-223()9.33a ax =---即当2()9.33a ax f x '=---时，取得最小值因斜率最小的切线与126x y +=平行，即该切线的斜率为-12，所以22912,9.3aa --=-=即解得3,0, 3.a a a =±<=-由题设所以 (Ⅱ)由(Ⅰ)知323,()391,a f x x x x =-=---因此212()3693(3(1)()0,1, 3.(,1)()0,()(1(1,3)()0,()13()0,()3.()(,13f x x x x x f x x x x f x f x x f x f x f x f x f x '=--=-+'==-='∈-∞->-∞-'∈-<-'∈∞>+∞-∞-+∞令解得：当时，故在，）上为增函数；当时，故在（，）上为减函数；当x (3,+)时，故在（，）上为增函数由此可见，函数的单调递增区间为）和（，）；单调递减区13.-间为（，）（20）（本小题12分）解：（1）如答（20）图，过点B ′C ∥A ′A 且使B ′C=A ′A .过点B 作BD ⊥CB ′，交CB ′的延长线于D .由已知AA ′⊥l ，可得DB ′⊥l ，又已知BB ′⊥l ，故l ⊥平面BB ′D ，得BD ⊥l 又因BD ⊥CB ′，从而BD ⊥平面α,BD 之长即为点B 到平面α的距离.因B ′C ⊥l 且BB ′⊥l ，故∠BB ′C 为二面角α-l-β的平面角.由题意，∠BB ′C = 32π.因此在Rt △BB ′D 中，BB ′=2,∠BB ′D =π-∠BB ′C =3π,BD=BB ′·sinBB ′D.（Ⅱ）连接AC 、BC .因B ′C ∥A ′A ，B ′C=A ′A,AA ′⊥l ,知A ′ACB ′为矩形，故AC ∥l .所以∠BAC 或其补角为异面直线l 与AB 所成的角. 在△BB ′C 中，B ′B =2，B ′C =3，∠BB ′C =32π，则由余弦定理，BC==因BD ⊥平面，且DC ⊥CA ，由三垂线定理知AC ⊥BC.故在△A BC 中，∠BCA=2π，sin BAC=5BC AB=.因此，异面直线l 与AB 所成的角为arcsin（21）（本小题12分）解：（I ）由双曲线的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长2a=2的双曲线.因此半焦距c =2，实半轴a =1，从而虚半轴b ,所以双曲线的方程为x2-23y=1.(II)解法一：由（I ）由双曲线的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长2a=2的双曲线.因此半焦距e=2，实半轴a=1，从而虚半轴.R 所以双曲线的方程为x 2-23y=1.(II)解法一：由（I ）及答（21）图，易知|PN|≥1,因|PM|=2|PN|2, ① 知|PM|>|PN|,故P 为双曲线右支上的点，所以|PM|=|PN|+2. ②将②代入①，得2||PN|2-|PN|-2=0，解得|PN|=11,44±-舍去,所以|PN|=14+.因为双曲线的离心率e=c a=2,直线l:x =12是双曲线的右准线，故||P N d=e=2,所以d=12|PN |,因此 2||2||4||4||1||||PM PM PN PN dPN PN ====+解法：设P （x,y ），因|PN |≥1知 |PM |=2|PN |2≥2|PN|>|PN |,故P 在双曲线右支上，所以x ≥1. 由双曲线方程有y 2=3x 2-3. 因此||PN ===从而由|PM |=2|PN |2得2x+1=2(4x 2-4x +1)，即8x 2-10x+1=0.所以x =58+(舍去x =58+).有|PM|=2x+1=94+d=x-128.故||914P M d +=-=+（22）（本12分）解：（I ）因a 1=2,a 2=2-2,故由此有()()()()0123222212342,2,2,2,....a a a a ----====从而猜想a n 的通项为*)N (21)2(∈=--n a n n ,所以a 2xn =xn2)2(2-.(Ⅱ)令x n =log 2a n .则a 2=2x 2,故只需求x 2的值。