u (t), v (t), w (t)
dz z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
z
uvw
f1 f2 f3
2) 中间变量是多元函数的情形.例如,
t tt
z f (u,v) , u ( x, y), v ( x, y)
z x
z u z v u x v x
f11
f21
z
uv
z z u z v y u y v y
f12
f2 2
x yx y
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又如,z f ( x,v), v ( x, y)
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z x
f x
z
y
f1 f21 f2 2
xv xy
注意: 这里 z 与 f 不同, x x
例4. 设
f 具有二阶连续偏导数,
求 w , 2w . x xz
w , f1 , f2
解: 令u x y z , v x yz , 则
uv
w f (u, v)
w x
f2 yz
x y zx y z
y z f2 ( x y z, x yz)
2w xz
f12 x y
f22 x y
z 表示固定 y 对 x 求导, f 表示固定 v 对 x 求导
x
x
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
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例1. 设z eu sin v , u x y , v x y ,求 z , z .
x y
解: z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
,
0,ห้องสมุดไป่ตู้
u2 v2 0 u2 v2 0
ut, vt
易知:
但复合函数 z f ( t, t ) t 2
d z 1 z du z dv 0 1 0 1 0
d t 2 u dt v dt
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推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z f (u,v, w) ,
r
r r
2
u 2
sin cos r2
u sin2
r r
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2u
x2
同理可得
u
2sin cos r2
u r
sin2 r
2u y2
2u r 2
sin2
2
2u r
sin
cos r
2u 2
cos 2 r2
2u x2
2u y2
2u r 2
u
2sin cos r2
u
)2
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已知 u u cos u sin
u
x r
r
ux
(2)
2u x2
((uu)) rx xx
cos
( u ) x
sin r
( u cos u sin ) cos
r r
r
r
x yx y
注意利用 已有公式
( u cos u sin ) sin
为简便f起11见
y, (引x 入 z记) f号12
f1xy2uzf
,f22f12
y
f22 f , u v
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例5. 设
二阶偏导数连续,求下列表达式在
极坐标系下的形式
解: 已知
,则
(1) u u r x r x
(当 在二、三象限时, arctan y )
x
u
r
第四节
第八章
复合函数的求导法则Chain Rule
一元复合函数
求导法则
微分法则
本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则
二、多元复合函数的全微分
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
z f (u,v)
处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
d z z d u z dv d t u d t v d t
z
uv
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 有增量△u ,△v ,
z z u z v o ( )
u v
tt
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z z u z v o( ) ( (u)2 (v)2 ) t u t v t t
则有u 0, v 0,
z
u du , v dv t dt t dt
x yx y
u cos u sin
r
r
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u u r u y r y y
r y
y, r
y
1
1
x
(
y x
)2
x x2 y2
u r
y r
u
x r2
u sin u cos
r
r
u
r
x yx y
(
u x
)2
(
u y
)2
(
u r
)2
1 r2
(
x
sin
y
u
2 x (1 2 x2 sin2 y)e x2 y2 x4 sin2 y
xyz
u y
f y
f z
z y
2
ye
x2
y2
z
2
2ze
x2
y
2
z
2
x2
cos
y
2 ( y x4 sin y cos y )e x2 y2 x4 sin2 y
xy
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例3. 设 z uv sin t , u et ,v cos t , 求全导数 dz .
u cos2 r r
1 r2
2u 2
1 r2
r
r
(
r
u) r
2u 2
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二、多元复合函数的全微分
设函数
都可微,
则复合函数 z f (( x, y), ( x, y))的全微分为
z
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
uv x yx y
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例2. u f ( x, y, z) e x2 y2z2 , z x2sin y,求 u , u x y
解: u f x x
2
xe
x2
y 2 z 22ze
x2
y2
z
2
2
uv
o( )
tt
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
d z z d u z dv ( 全导数公式 ) d t u d t v d t
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说明: 若定理中
偏导数连续减弱为
偏导数存在, 则定理结论不一定成立.
例如: z f (u, v)
u2v u2 v
2
dt
解: d z z du
z
d t u d t
t
z
vet
cos t
e t (cos t sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
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