证明: (1)当n 1时, 有a1 1, 命题成立.
(2)假设当n k时, 命题成立.即若k个正数的乘积a1a2 ak 1, 则 a1 a2 ak k
当n k 1时,已知k 1个正数a1 , a2 ,, ak , ak 1满足条件 a1a2 ak 1 1.
若这k 1个正数a1 , a2 ,, ak , ak 1都相等, 则它们都是1, 其和为 k 1, 命题得证
若这k 1个正数a1 , a2 ,, ak , ak 1不全相等, 则其中必有大于1的数 也有小于1的数(否则与a1a2 ak 1 1矛盾).不妨设a1 1, a2 1.
什么是数学归纳法 ? 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有 正整数n都成立时,可以用以下两个步骤: (1)证明当n=n0时命题成立; (2)假设当n=k (k N , 且k n0 ) 时命题成立,证明n=k+1 时命题也成立. 在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的 所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.
1.进一步理解和运用数学归纳法解题 2.贝努利不等式:
如果x是实数, 且x 1, x 0, n为大于1的自然数, 那么有 (1 x) 1 nx
n
n 2 : 1,4,9,16,25,36,49,64,81, ;
由数列的前几项猜想, 从第5项起, an bn , 即n 2 2n (n N , n 5)
证明 : (1)当n 5时有52 25 , 命题成立
(2)假设当n k (k 5)时命题成立,即有k 2 2 k . 当n k 1时, 有 2 k 1 2 k 2 k k 2 k 2 k 2 2k 1 (k 1) 2
把贝努利不等式中的正整数n改为实数时, 仍有 类似不等式成立. 当是实数, 并且满足 1或者 0时, 有 (1 x) 1 x( x 1) 当是实数, 并且满足0 1时, 有 (1 x) 1 x( x 1)
例4.证明 : 如果n(n为正整数)个正数a1 , a2 ,, an的 乘积a1a2 an 1, 那么它们的和a1 a2 an n.
a1 1, a2 1, (a1 1)( a2 1) 0 a1 a2 ak ak 1 k 1 0,即 a1 a2 ak ak 1 k 1当n k 1时命题成立
由(1)( 2)可知, 对一切正整数n, 如果n个正数a1 , a2 ,, an的 乘积a1a2 an 1, 那么它们的和a1 a2 an n成立.
在第二步中,n=k命题成立,可以作为条件加以运用,而 n=k+1时的情况则有待利用命题的已知条件,公理,定理, 定义加以证明.
完成一,二步后,最后对命题做一个总的结论.
例1观察下面两个数列, 从第几项起an始终小于bn ?
a b
证明你的结论.
n n
n
2 : 2,4,8,16,32,64,128,256,512, .
1 x kx kx 1 (k 1) x
当n k 1时不等式成立. 由(1)( 2)可知,贝努利不等式成立.
当x是实数, 且x 1, x 0时,由贝努利不等式可得 x n nx (1 ) 1 , 对一切不小于2的正整数n成立 1 x 1 x
即当n k 1时命题成立. 由(1)( 2)可知, n 2 (n N , n 5)
2 n
例2.证明不等式 sin n n sin (n N )
证明 : (1)当n 1时, 上式左边 sin 右边, 不等式成立.
(2)假设当n k (k 1)时, 命题成立,即有 sin k k sin . 当n k 1时, 有 sin( k 1) sin k cos cos k sin sin k cos cos k sin sin k sin k sin sin (k 1) sin
即当n k 1时不等式成立. 由(1)( 2)可知, 不等式对一切正整数n均成立.
例3.证明贝努利不等式 : 如果x是实数, 且x 1, x 0, n为大于1的自然数, 那么有 (1 x) 1 nx
n
分析:贝努利不等式中涉及两个字母,X表示大于-1且 不等于0的任意实数,N上大于1的自然数,我们利用数 学归纳法只能对N进行归纳.
用数学归纳法证明时,要分两个步骤,两者缺一不可.
(1)证明了第一步,就获得了递推的基础,但仅靠这一步还 不能说明结论的正确性.(在这一步中,只需验证命题结论 成立的最小的正整数就可以了,没有必要验证命题对几个 正整数成立.)
(2)证明了第二步,就获得了推理的依据.仅有第二步 而没有第一步,则失去了递推的基础;而只有第一步 而没有第二步,就可能得出不正确的结论,因为单靠 第一步,我们无法递推下去,所以我们无法判断命题 对n0+1,n0+2,…,是否正确.
证明 : (1)当n 2时,由x 0得(1 x) 1 2 x x 1 2 x,
2 2
不等式成立.
(2)假设当n k (k 2)时不等式成立,即有 (1 x) k 1 kx. (1 x)
k 1 2
当n k 1时,
k
(1 x)(1 x) (1 x)(1 ka2看作一个数, 这样就得到k个正数 a1a2 , a3 ,, ak , ak 1的乘积是1,由归纳假设可以得到 a1a2 a3 ak ak 1 k
a3 a4 ak ak 1 k a1a2
a1 a2 ak ak 1 (k 1) a1 a2 k a1a2 k 1 a1 a2 a1a2 1 (a1 1)( a2 1)