山东省济宁市曲阜市第一中学2015-2016学年高二数学3月月考试题 理说明： 1、本卷答题时间为 120分钟；2、本试卷分为试卷和答题卷，请将答案答在“答题卷”上。

一、选择题（本题共10题，每题5分,共50分） 1. 函数y=(2x ＋1)3在x=0处的导数是 （ ） A.0B.1C.3D.62.若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a R ∈，结论是：20a >，那么这个演绎推理出错在( ) A ．大前提 B ．小前提 C ．推理过程D ．没有出错3.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ）A.假设至少有一个钝角 B ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角C.假设没有一个钝角 D ．假设至少有两个钝角4.直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积是 （ ）A ．20B ．328C ．332D ． 3435若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ） A. 1(,)3+∞ B. 1(,)3-∞ C. 1[,)3+∞ D.1(,]3-∞ 6现有两个推理：①在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；②由“若数列{}n a 为等差数列，则有15515211076a a a a a a +++=+++ 成立”类比“若数列{}nb为等比数列，则有15152151076b b b b b b ⋅⋅=⋅⋅ 成立”，则得出的两个结论( )A ． 都正确B ． 只有②正确C ．只有①正确D ． 都不正确 7.函数x x y ln =的单调递减区间是（ ）A 、（1-e ，+∞）B 、（－∞，1-e ） C 、 （e ，+∞） D 、（0，1-e ）8.设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12nx x x ⋅⋅⋅的值为( )A ． 1n B ． 1n n + C ． 11n +D ． 19．设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下图所示，则导函数y=f(x)可能为（ ）10.设()f x 是R 上的可导函数，且满足()()f x f x >'，对任意的正实数a ，下列不等式恒成立的是( )xyO AxyO BxyO CxyO DxyOA ．()(0)a f a e f <B ． ()(0)af a e f > C ．(0)()a f f a e <D ．(0)()a f f a e >二、填空题（本题共5个题，每题5分，共25分）11.函数sin xy x =的导数为_________________12设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为 _________________ 13设函数f(x)＝kx 3＋3(k －1)x 22k -＋1在区间（0，4）上是减函数，则k 的取值范围是_________________14已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k(k≥2且k 为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n ＝________时等式成立15.已知()f x 为定义在(0，+∞)上的可导函数，且()'()f x x f x >，则不等式21()()0xf f x x-<的解集为___________．三、解答题（本题共6个答题，共75分）16．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．17．证明：(1)如果a ，b>0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.18、已知322()3(1)f x x ax bx a a =+++>在x =-1时有极值0。

（1）求常数 ,a b 的值； （2）求f x ()的单调区间。

（3）方程()f x c =在区间[-4,0]上有三个不同的实根时实数c 的范围。

19. 如图，设铁路AB 长为50，BC ⊥AB ，且BC ＝10，为将货物从A 运往C ，现在AB 上距点B 为x 的点M 处修一公路至C ，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4. （1）将总运费y 表示为x 的函数； （2）如何选点M 才使总运费最小？20. （13分）已知函数1()ln xf x x ax -=+(1）若函数()f x 在[1,+∞)上为增函数，求正实数a 的取值范围； (2）当1a =时，求()f x 在[1,e e]上的最大值和最小值.AB CM21．已知函数)0(2ln )(2≠++=a x xa x a x f 。

（1）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线02=-y x 垂直，求实数a 的值； （2）讨论函数)(x f 的单调性；（3）当)0,(-∞∈a 时，记函数)(x f 的最小值为)(a g ，求证：221)(e a g ≤ ．答案一选择题DADCC ADCDB 二填空题 11.21cos x x - 12. [-1，-12] 13. k ≤1214. k+2 15. (0,1)16抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形面积S ＝⎠⎜⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 3310＝12－13＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标x 3＝0，x 4＝1－k ，所以S 2＝⎠⎜⎛01-k (x －x 2－kx)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 331－k 0＝16(1－k)3.又S ＝16，所以(1－k)3＝12，∴k ＝1－342.17【证明】 (1)当a ，b>0时，有a ＋b 2≥ab ，∴lg a ＋b 2≥lgab ，∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b 2.(2)要证6＋10>23＋2， 只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这是显然成立的，所以，原不等式成立．18、解：（1）f x x ax b '()=++362，由题知： f f a b a b a '()()-=-=⎧⎨⎩⇒-+=<>-+-+=<>⎧⎨⎩1010360113022………………2分联立<1>、<2>有：a b ==⎧⎨⎩13（舍去）或a b ==⎧⎨⎩29 ………………4分（2）当a b ==29，时，()()f x x x x x '()=++=++31293312故方程f x '()=0有根x =-3或x =-1 ……………………6分x()-∞-，3-3()--31，-1()-+∞1，f x '() ＋ 0 － 0 ＋ f x ()↑极大值↓极小值↑由表可见，当x =-1时，f x ()有极小值0，故a b ==⎧⎨⎩29符合题意 ……8分 由上表可知：f x ()的减函数区间为()--31，f x ()的增函数区间为()-∞-，3或()-+∞1， ………………10分（3）因为(4)0,(3)4,(1)1,(0)4f f f f -=-=-=-= ，由数形结合可得04c <<。

……12分19.解：(1)依题，铁路AM 上的运费为2（50－x ），公路MC 上的运费为24100x +，则由A 到C的总运费为22(50)4100(050)y x x x =-++ ≤≤ …………………………… 6分 （2）22(050)100y x x '=-+≤≤+，令0y '=，解得1,3x =23x =-（舍）……9分 当03x ≤<时，0y '<，y；当503x ≥>时，0y '>，y故当3x =时，y 取得最小值.20. 解： 【答案】（1）由已知得'21()(0)ax x a ax -=ƒ> …1分依题意得：210ax ax -≥对一切的x ≥1 都成立即10[1,)ax -≥∈+对一切x ∞恒成立，也就是1[1,)a x≥∈+对一切x ∞ 恒成立,∴max 1()1a x≥=(2）当'2111(),[,]x a f x x e x e-==∈时， 若1[,1)x e∈则'()0,f x <若(1,]x e ∈则'()0f x >故1x =是()f x 在区间1[,]e e上的惟一极小值点，也是最小值点，故min ()(1)0f x f ==；1111()2,()22f e f e e e =-=><，∴ ()f x 在 1[,]e e 上最大值为e-2综上知函数()f x 区间 1[,]e e上最大值是e-2,最小值是021．（1）由已知得，)(x f 的定义域为}0|{>x x ，)0(12)('22>+-=x xa x a x f . 根据题意，有2)1('-=f ，即0322=--a a ， 解得1-=a 或23=a .……………………………………………………4分 （2）)0()2)((212)('222222>+-=-+=+-=x xa x a x x a ax x x a x a x f . （i ）当0>a 时，由0)('>x f 及0>x 得a x >；由0)('<x f 及0>x 得a x <<0. 所以当0>a 时，函数)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在（a ,0）上单调递减.（ii ）当0<a 时，由0)('>x f 及0>x 得a x 2->；由0)('<x f 及0>x 得a x 20-<<. 所以当0<a 时，函数)(x f 在（a 2,0-）上单调递减，在（+∞-,2a ）上单调递增.……8分 （3）证明：由（2）知，当)0,(-∞∈a 时，函数)(x f 的最小值为)2(a f -，故a a a a aaa a a f a g 3)2ln(222)2ln()2()(2--=--+-=-=.2)2ln(322)2ln()('--=---⋅+-=a aa a a g ，令0)('=a g ，得221e a -=.当a 变化时，)('a g ，)(a g 的变化情况如下表：a)21,(2e --∞221e -)0,21(2e -)('a g+－ )(a g↗极大值↘所以221e a -=是)(a g 在)0,(-∞上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是)(a g 的最大值点. 所以当)0,(-∞∈a 时，)(a g 最大值222222222123ln 21)21(3)]21(2ln[21)21(ee e e e e e e g =+-=-⨯--⨯--=-=， 即当)0,(-∞∈a 时，221)(e a g ≤.……………………………………………………14分。