赣县第三中学2021-2022学年下学期3月考高二数学（文科）试卷第I 卷（选择题）一、单选题（每题5分，共60分）1．若复数2021i 1i z =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．的虚部为1i 2B ．在复平面内对应的点在第四象限C ．2z =D ．的共轭复数为1i2- 2．已知1r 表示变量X 与Y 之间的线性相关系数，2r 表示变量U 与V 之间的线性相关系数，且10.837r =，20.957r =-，则（ ）A ．变量X 与Y 之间呈正相关关系，且X 与Y 之间的相关性强于U 与V 之间的相关性B ．变量X 与Y 之间呈负相关关系，且X 与Y 之间的相关性强于U 与V 之间的相关性C ．变量U 与V 之间呈负相关关系，且X 与Y 之间的相关性弱于U 与V 之间的相关性D ．变量U 与V 之间呈正相关关系，且X 与Y 之间的相关性弱于U 与V 之间的相关性3．已知命题p ：“23m <<是方程22123x y m m+=--表示椭圆”的充要条件；命题q ：“2b ac=是a ，b ，c 成等比数列”的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∨⌝C ．p q ⌝∨⌝D ．p q ⌝∧⌝4．已知函数()()22323ln f x f x x x '=-+（()f x '是()f x 的导函数），则()1f =（ ） A ．21B ．20C ．16D ．115．设函数()()2234xf x x x e =-+，则() f x 的（ ） A ．极小值点为1，极大值点为32- B ．极小值点为1-，极大值点为32C ．极小值点为32，极大值点为1-D ．极小值点为32-，极大值点为16．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖.甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”.丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位说的是真话，则获奖的人是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．如图是计算111124620+++⋯+的值的一个程序框图，其中在判断框内应填入的条件是（ ）A ．20i <B ．10i ≤C ．20iD ．10i >8．过点()4,6P 且与双曲线2213yx -=有相同渐近线的双曲线方程为（ ）A ．221124x y -=B ．221412y x -=C ．221412x y -=D ．221124y x -= 9．如图所示，将若干个点分别摆成正方形图案，每条边(包括端点)有n (1n >，N n ∈)个点，按照此规律依次摆正方形图案，当摆到10n =时，摆成的所有正方形图案中点的总个数是（ ）A ．180B ．192C ．200D ．22010．函数()(1)e x f x x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC ，2AC BC =2AB =，球心O 到平面ABC 3O 的体积为（ ）A ．323πB ．163π C ．16π D ．32π12．已知F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF垂直于x 轴．若直线AB 的斜率为53-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13B ．12 C ．35D ．23第II 卷（非选择题）二、填空题（每题5分，共20分）13．曲线e 21x y x x +=+在点(0，1)处的切线方程为________．14．某大学餐饮中心对全校一年级新生饮食习惯进行抽样调查，结果为：南方学生喜欢甜品的有60人，不喜欢甜品的有20人；北方学生喜欢甜品的有10人，不喜欢甜品的有10人．问有__%把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 20()P K k >0.10 0.05 0.01 0.005 0k2.7063.8416.6357.87915．已知直线1 : 1l x =-，2:1=+l y x ，P 为抛物线2:4C y x =上一点，则P 到这两条直线距离之和的最小值为___________.16．若z C ∈，且1z =，则34i z --的最小值为___________三、解答题（共70分）17．已知命题p ：“复数()282z x x x i =-+-在复平面上对应的点在第二象限”，命题q ：“()224+30,0x mx m m ->>”（1）若m =1，p q ∧⌝为真，求x 的取值范围.（2）若p ⌝是q 的充分不必要条件，求m 的取值范围.18．已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品的市场占有率为40％，乙厂产品的市场占有率为36％，丙厂产品的市场占有率为24％，甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为45，23，34．(1)现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率； (2)现从市场中随机购买一台该电器，则买到的是合格品的概率为多少？19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB △是边长为2的等边三角形，梯形ABCD 满足1BC CD ==，AB CD ∥，AB BC ⊥，M 为AP 的中点. (1)求证：∥DM 平面PBC ；(2)若2PD =，求点C 到平面P AD 的距离.20．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：吨)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y ()1,2,3,,8i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw()821ii x x =-∑()821ii w w =-∑()()81iii x x yy=--∑()()81iii w w y y =--∑46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中：11w x 8118i i w w ==∑（1）根据散点图判断，y a bx =+与y c x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）根据（2）中的回归方程，求当年宣传费36x =千元时，年销售预报值是多少？附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()81821ii i ii uu v v uu β==--=-∑∑，v u αβ=-.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3F ，右顶点为A ，且23AF =(1)求椭圆C 的标准方程.(2)若不过点A 的直线l 与椭圆C 交于D ，E 两点，且0AD AE ⋅=，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.22．已知函数()2ln f x x x =-. (1)求函数()f x 的单调区间； (2)若()()0,2x f x a x >-恒成立，求实数a 的取值范围.高二3月考文数1．D 2．C 3．C 4．B 5．A 6．B 7．B 8. C 9．A 10．A 11．A 12．D12题解析：由题意得(c,0)F ，(,0)A a ，当x c =时，22221c y a b +=，得422b y a=，由题意可得点B 在第一象限，所以2,b B c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为直线AB 的斜率为53-，所以253bac a -=--，化简得22553a ac b -=，所以222530a ac c -+=，()(23)0a c a c --=， 得a c =（舍去），或32a c =，所以离心率23c e a ==，13．31y x 14．95 15．2 16．4 15题解析：抛物线2:4C y x =的焦点为(1,0)F 直线1 : 1l x =-为抛物线的准线由抛物线的定义，||||PM PF =故||||||||PM PN PN PF +=+，当,,N P F 三点共线时，||||PN PF +取得最小值故最小值为点F 到直线2l 的距离：22|101|211-+=+16题解析：复数z 满足1z =，点z 表示以原点为圆心、1为半径的圆，则34i z --表示z 点对应的复数与点(3,4)之间的距离.原点O 到点(3,4)之间的距离d =5，∴34i z --的最小值为5-1=4.17．（1）23x <≤；（2）823m <<因为命题p ：“复数()282z x x x i =-+-在复平面上对应的点在第二象限”，所以28020x x x -<⎧⎨->⎩，解得0x <或28x <<，因为命题q ：“()224+30,0x mx m m ->>”即()()30x m x m -->，解得x m <或3x m >，（1）当m =1时：命题q ：1x <或3x >，则:13q x ⌝≤≤， 因为p q ∧⌝为真，所以,p q ⌝都为真，所以23x <≤. （2）:02p x ⌝≤≤或8x ≥，因为p ⌝是q 的充分不必要条件，所以p ⌝q ，即238m m >⎧⎨<⎩，解得823m <<.18．(1)1330 (2)3750(1)记随机抽取甲乙丙三家企业的一件产品，产品合格分别为事件1B ，2B ，3B ，则三个事件相互独立，恰有两件产品合格为事件D ， 则123123123D B B B B B B B B B =++()()()()121323123B B P D P B B P B B P B B B =++4214131231353453453430=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． 故从三家企业的产品中各取一件抽检，则这三件产品中恰有两件合格的概率是1330．(2)记事件B 为购买的电器合格，记随机买一件产品，买到的产品为甲乙丙三个品牌分别为事件1A ，2A ，3A ，()125P A =，()2925P A =，()3625P A =，14(|)5P B A ==，22(|)3P B A =，33(|)4P B A =，112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++ 249263375525325450=⨯+⨯+⨯=． 故在市场中随机购买一台电器，买到的是合格品的概率为3750．19．(1)证明见解析 (2)21h (1)取PB 的中点N ，连接MN ，CN .因为M 为AP 的中点，所以MN AB ∥，且12MN AB =，又CD AB ∥，且12CD AB =所以MN CD ∥且MN CD =，所以四边形CDMN 为平行四边形，所以DM CN ∥.∵CN ⊂平面PBC ，DM ⊄平面PBC ∴∥DM 平面PBC .(2)取AB 的中点E ，连接DE ，PE .因为PAB △是边长为2的等边三角形，所以PE AB ⊥，且3PE =因为梯形ABCD 满足1BC CD ==，AB CD ∥，2AB =，所以CD BE =. 所以四边形BCDE 是平行四边形.所以1DE BC ==.∵2PD =∴222DE PE PD +=∴PE DE ⊥ ∵DE AB E =，∴PE ⊥平面ABCD ，∵2PA PD ==，可求得2AD =4423cos 2224APD +-∠==⨯⨯，7sin APD ∠=，∴177222APD S =⨯⨯=△. 设点C 到平面PAD 的距离为h ，由C PAD P ADC V V --=得：1133PAD ADC S h S PE ⋅=⋅△△711132=⨯⨯∴21h =20．（1）由散点图可判断y c x =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型；（2）68100.6y x =；（3）508.6吨．解析：（1）由散点图可以判断：y c x =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型；（2）令w x =y 关于w 的线性回归方程， 由于()()()81821108.8ˆ681.6iii ii w w y y dw w ==--===-∑∑， 56368 6.8100.6ˆcy dw =-=-⨯=， 所以y 关于w 的线性回归方程为68100.6y w =+，所以y 关于x 的回归方程68100.6y x =；（3）由（2）知：当36x =时，年销售量y 的预报值6836100.6508.6y ==故年宣传费36x =千元时，年销售预报值是508.6吨．21．(1)2214x y += (2)过定点，定点为6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)由题意得c a =2a c -= 得2a =，c∴1b =， ∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=.(2)设()11,D x y ，()22,E x y ，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，代入2214x y +=，整理得()222148440k x kmx m +++-=，则()()()2228414440km k m ∆=-+->，122814km x x k +=-+，21224414m x x k -=+. 由题及（1）知()2,0A ， ()()()()()()()()1122121212122,2,2222AD AE x y x y x x y y x x kx m kx m ⋅=-⋅-=--+=--+++()()()()()()()2222212122214428124401414k mkm km kx x km x x mm k k +--⨯-=++-+++=+++=++，化简得22121650k km m ++=，∴65m k =-或2m k =-，∵因为直线不过点A ，∴2m k =-舍去则直线l 的方程为65y kx k =-，即65y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线l 过定点6,05⎛⎫⎪⎝⎭.当直线l 的斜率不存在时，设():22l x t t =-<<，代入2214x y +=，解得y =，由0AD AE ⋅=得AD AE ⊥，∴2t -=65t =或2t =（舍去），此时直线l 过点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭. 综上，直线l 过点6,05⎛⎫⎪⎝⎭.22．(1)在⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减，在⎛ ⎝⎭单调递增 (2)[)1,+∞ 【解析】(1)函数()f x 的定义域为()0,∞+，()21122(0)x f x x x x x-='-=>，令()0f x '>，即2120x ->，解得0x <<()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝⎭，令()0f x '<，即2120x -<，解得x >，则()f x 的单调递减⎫+∞⎪⎪⎝⎭； (2)∵()()0,2x f x a x >≤-恒成立，等价于2ln 2(0)x x a x x--≥>恒成立，设()2ln x x h x x -=，则()221ln x x h x x --'=，设()21ln m x x x =--()212120x m x x x x+=--=-<'，∴()m x 在()0,∞+单调递减，又∵()10m =，∴在()0,1上()0h x '>，在()1,+∞上()0h x '<∴()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，∴()h x 在1x =出取得最大值， ∴()()11h x h ≤=-，∴21a -≥-，∴1a ≥，故a 的取值范围是[)1,+∞.。