2020-2021南京市第二十九中学3月月考高二数学注意事项：本试卷共6面，试卷满分150分，考试用时120分钟。

一、单选题（共8题，每题5分，共40分）1．设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，且a α⊥，b β⊥，则“αβ⊥”是“a b ⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设函数2()ln f x a x bx =+，若函数()f x 的图象在点(1，(1)f )处的切线方程为y =x ，则函数()y f x =的增区间为A ．(0，1)B ．(0，2) C ．(2，1) D ． (2，+∞) 3．抛物线C ：2y ax =在点()1,a 处的切线方程为210x y --=，则C 的焦点坐标为A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭4．已知曲线1C ：()xf x xe =在0x =处的切线与曲线2C ：()()ln a xg x a x=∈R 在1x =处的切线平行，令()()()h x f x g x =，则()h x 在()0,∞+上 A ．有唯一零点B ．有两个零点C ．没有零点D ．不确定5．已知函数244()ln -⎫⎛=++ ⎪⎝⎭x f x k x k x ，[1,)∈+∞k ，曲线()y f x =上总存在两点()11,M x y ，()22,N x y 使曲线()y f x =在M ､N 两点处的切线互相平行，则12+x x 的取值范围为A ．(4,)+∞B ． [4,)+∞C ．16,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．16,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭6．十九世纪下半叶集合论的创立，莫定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于89，则需要操作的次数n 的最小值为 参考数据：（lg 20.3010,lg30.4771==） A ．4B ．5C ．6D ．77．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左､右焦点分别为1F ､2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形.若18PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，若125e =，则2e 等于 A ．52 B ．2C ．3D ．538．已知三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，6AB =，8AC =，D 是线段AB 上一点，且2AD DB =.过点D 作球O 的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为25π，则球O 的表面积为 A ．128πB ．132πC ．144πD ．156π二、多选题（共4题，每题5分，共20分：漏选得2分，错选或不选得0分） 9．已知0a >，0b >，231a b +=，下列结论正确的是 A ．22a b +的最小值为112B ．2424log log a b +的最大值为1-C ．11a b+的最小值为 D ．48a b +的最小值为10．已知函数sin ()e =-xxf x x，则 A ．()f x 是奇函数B ．1C ．()f x 在(1,0)-单调递增D ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在一个极值点11．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4， 乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A =“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B =“抽取的两个小球标号之积大于8”，则 A ．事件A 与事件B 是互斥事件 B ．事件A 与事件B 不是对立事件 C ．事件AB 发生的概率为1120 D ．事件AB 发生的概率为2512．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为6，焦点为1F 、2F ，长轴的端点为1A 、2A ，点M是椭圆上异于长轴端点的一点，椭圆C 的离心率为e ，则下列说法正确的是 A ．若12MF F △的周长为16，则椭圆的方程为2212516x y +=B ．若12MF F △的面积最大时，12120F MF ∠=，则2e =C ．若椭圆C 上存在点M 使120MF MF ⋅=，则0,2e ⎛∈ ⎝⎦D ．以1MF 为直径的圆与以12A A 为直径的圆内切 三、填空题（共4题，每题5分，共20分） 13．设直线l 与曲线1:xC y e =与21:x C y e=-均相切，切点分别为()()1122,,,A x y B x y 则12y y = __________.14．数列{}n a 满足113a =，且()1123n n n n a a n a a ++-=+，则数列{}n a 的前10项和为__________. 15．已知5260126(1)(1)mx x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅+.若25a =，则m =___________；135a a a ++=___________.16．正方体1111ABCD A B C D -棱长为点1，点E 在边BC 上，且满足2BE EC =，动点P 在正方体表面上运动，满足1PE BD ⊥，则动点P 的轨迹的周长为__________． 四、解答题（共6题，共70分）17．（10分）在ABC 中，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且23B π=，b =. （Ⅰ）若2cos cos 3A C =，求ABC 的面积； （Ⅰ）试问111a c+=能否成立？若能成立，求此时ABC 的周长；若不能成立，请说明理由.18．（12分）已知数列{a n }是递增的等比数列，前3项和为13，且a 1＋3，3a 2，a 3＋5成等差数列.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列{b n }的首项b 1＝1，其前n 项和为S n ，且 ，若数列{c n }满足c n ＝a n b n ，{c n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值.在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题. ①3S n ＋b n ＝4；②b n ＝b n －1＋2(n ≥2)；③5b n ＝－b n －1(n ≥2).19．（12分）已知函数()()()2220xf x ax x ea =++>，其中e 是自然对数的底数.（1）若()f x 在[]22-,上是单调增函数，求a 的取值范围； （2）证明：当1a =时，方程()5f x x =+有且只有两个零点.20．（12分）如图，四边形BEDC 为正方形，AE BE ⊥，AE BE =，ADE 为锐角三角形，M ，N 分别是边DE ，BE 的中点，直线DE 与平面ABE 所成的角为3π. （1）求证：DN ⊥平面ACM ；（2）若ADE 为锐角三角形，求二面角M AC B --的余弦值.21．（12分）已知函数()()2e 2xf x x =-+．（1）求函数()f x 的极值；（2）若关于x 的不等式()()2240f x n x x ++≥在[)0,+∞上恒成立，其中0n ≥，求实数n 的取值范围．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过原点的直线()11:0l y k x k =>交抛物线2:2C y x =于点P （异于原点O ），抛物线C 上点P 处的切线交y 轴于点M ，设线段OP 的中点为N ，连结线段MN 交C 于点T . （1）求||||TM MN 的值；（2）过点P 作圆22:(1)1O x y '-+=的切线交C 于另一点Q ，设直线OQ 的斜率为2k ，证明：12k k -为定值．参考答案1．C 2．D 3．B 4．A 5．A 6．C 7．B 8．B 9．BD 10．CD 11．BCD 12．ABD 13．2e - 14．17526415．1- 01617．（Ⅰ）3；（Ⅰ）（Ⅱ）不成立。

假设111a c +=能成立，Ⅱa c ac +=.由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，Ⅱ226a c ac =++.Ⅱ2()6a c ac +-=，Ⅱ2()60ac ac --=，Ⅱ3ac =或-2（舍），此时3a c ac +==.不满足a c +≥Ⅱ111a c+=不成立. 18．（1）a n ＝3n -1；（2）（2）选择① 因为3S n ＋b n ＝4，所以3S n -1＋b n -1＝4(n ≥2)，两式相减得3(S n －S n -1)＋(b n －b n -1)＝0，即4b n －b n -1＝0(n ≥2)， 所以114n n b b -=(n ≥2)，所以数列{b n }是以b 1＝1为首项，14为公比的等比数列，故()114n n b -=，因此()134n n n n c a b -==，因为0n c >恒成立，即c 1>0，c 2>0，c 3>0，…， 所以(T n )min ＝T 1＝c 1＝1. 选择②由b n ＝b n -1＋2(n ≥2)知{b n }是以b 1＝1为首项，2为公差的等差数列， 所以b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， 所以12)(13n n n n c a b n --⋅==，因为c n ＝(2n －1)·3n －1>0，即c 1>0，c 2>0，c 3>0，…， 所以(T n )min ＝T 1＝c 1＝1. 选择③由5b n ＝－b n -1(n ≥2)知{b n }是以b 1＝1为首项，15-为公比的等比数列， 所以()115n n b -=-，所以()()11113355n n n n n n c a b ---==⨯-=-，所以()()31553138515nnn T --⎡⎤==--⎢⎥⎣⎦+， 当n 为奇数时，由于()305n-<，故58nT >； 当n 为偶数时，由于()305n->，故58n T <， 由()53185nn T ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦在n 为偶数时单调递增，所以当n ＝2时，()min 51628255n T =⨯=，综上所述：T n 的最小值为25. 19．（1）(]0,1；（2）（2）因为1a =，设()()2225xh x x x e x =++--，则()()()()2222221441xxxh x x e x x e x x e =++'++-=++-.令()()2441xx x x e ϕ=++-，则()()()()()()2224446842xxxxx x e x x e x x e x x e ϕ=+++'+=++=++，由()()()420xx x x e ϕ'=++=，得4x =-或2x =-.所以()()44410x e ϕϕ-=-=-<极大值，()()210x ϕϕ=-=-<极小值因为()1110eϕ-=-<，()030ϕ=>，所以存在()01,0x ∈-，使()00x ϕ=， 当()0,x x ∈-∞时，()0x ϕ<，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ>，()0h x '>， 所以()h x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增. 又因为()51750h e -=>，()410410h e-=-<，()030h =-<，()1560h e =->， 故根据零点存在定理，可知()0h x =的根()15,4x ∈--，()20,1x ∈， 所以方程()5f x x =+有且只有两个零点. 20．（1）1）证明：ⅡBE AE ⊥，BE DE ⊥，AE DE E =，ⅡBE ⊥平面ADE .Ⅱ平面ABE ⊥平面ADE ，因为ADE 为锐角三角形， Ⅱ点D 在平面ABE 的射影在线段AE 上，ⅡAED ∠为直线DE 与平面ABE 所成的角，即3AED π∠=.又ⅡAE DE =，ⅡADE 为等边三角形. Ⅱ点M 为DE 的中点，ⅡAM DE ⊥. 又BE AM ⊥，BE DE E ⋂=，ⅡAM ⊥平面BCDE .ⅡDN ⊂平面BCDE ，ⅡAM DN ⊥.ⅡCD DE =，DM EN =，2CDE DEN π∠=∠=，ⅡCDM DEN ≅△△，ⅡEND DMC ∠=∠，Ⅱ2DMC EDN π∠+∠=，ⅡDN CM ⊥.ⅡCM AM M ⋂=，CM AM ⊂，平面ACM ， ⅡDN ⊥平面ACM . ；（221．（1）函数()f x 有极小值()12e f =-，无极大值；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．22．（1）||1||2TM MN =；（2）设直线PQ 的方程为()()1122,,,,x my t P x y Q x y =+ 222222,220y xy my t y my t x my t⎧=⇒=+--=⎨=+⎩，2212t t m =⇒-=()()()12121212121212t y y y y y y k k x x my t my t my t my t --=-=-=++++()()()12121222222121222t y y t y y y y m y y mt y y t m t m t t t---===+++-++2==为定值．。