2021-2022学年上海市控江中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知ab ＜0，bc ＞0，则直线ax ＋by ＋c ＝0通过（ ）象限 A ．第一、二、三 B ．第一、二、四 C ．第一、三、四 D ．第二、三、四【答案】C【解析】将方程整理为斜截式，即可根据斜率以及y 轴上的截距的正负判断直线经过的象限.【详解】0ax by c 等价于a cy x b b=--，根据题意0,ab <∴0ab->，故直线必经过第一、三象限； 又因为0,bc >∴0cb-<，故直线必经过第三、四象限，故直线必经过第一、三、四象限. 故选：C.【点睛】本题考查由直线方程的系数，确定直线经过的象限，属基础题.关键是转化为斜截式，然后根据斜率和截距的正负进行判定.2．下列条件中，一定使空间四点P ､A ､B ､C 共面的是（ ） A ．OA OB OC OP ++=- B ．OA OB OC OP ++= C ．2OA OB OC OP ++= D ．3OA OB OC OP ++=【答案】D【分析】要使空间中的P 、A 、B 、C 四点共面，只需满足OP xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=即可.【详解】对于A 选项，OP OA OB OC =---，()()(1)1131-+-+-=-≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；对于B 选项，OP OA OB OC =++，11131++=≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面； 对于C 选项，111222OP OA OB OC =++，111312222++=≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；对于D 选项，111333OP OA OB OC =++，1111333++=,所以点P 与A 、B 、C 三点共面.故选：D.3．若直线:3(1)l y k x -=-与曲线:C y 恰有两个不同公共点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．43,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得出结论，利用数形结合作出图像进行研究即可【详解】直线:3(1)l y k x -=-过定点(1,3) ，曲线2:1C y x =-为以(0,0) 为圆心，1为半径，且位于y 轴上半部分的半圆，如图所示当直线l 过点(1,0)- 时，直线l 与曲线有两个不同的交点，此时03k k =-+- ，解得32k . 当直线l 和曲线C 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心(0,0) 到直线:3(1)l y k x -=-的距离2311k d k -==+ ，解得43k =结合图像可知，当4332k <≤ 时，直线l 和曲线C 恰有两个交点故选：B4．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点(,)P x y ，定义[]||||OP x y =+.对于下列两个命题：①设点P 是直线1()y kx k =+∈R 上任意一点，则“使得[]OP 最小的点P 有无数个”的充要条件是“1k =±”；②设点P 是椭圆2214x y +=上任意一点，则max []5OP =则下列判断正确的是（ ） A ．①真②真 B ．①真②假C ．①假②真D ．①假②假【答案】A【分析】对于①，根据x y x y +≥±，把1y kx =+代入得到当[]OP 最小时的点P 有无数个时，1k =±；而1k =±时，推导出[]OP 最小的点P 有无数个，即可证明；对于②，P 的坐标用参数形式表示，然后利用三角函数的辅助角公式化简可求得[]OP 的最大值.【详解】对于①，先证充分性：由[]()111OP x y x y x kx k x =+≥+=++=++，当1k =-时，11x y +≥=，满足题意； 又[]()(1)11OP x y x y x kx k x =+≥-=-+=--，当1k =时，11x y +≥-=，满足题意. 再证必要性：不难得到，当1k =±时，直线1y x =±+上使得[]OP 最小的点P 有无数个； 所以“使得[]OP 最小的点P 有无数个”的充要条件是“1k =±”，即①是真命题；对于②，因为点P 是椭圆2214x y +=上任意一点，则可设2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，所以[]()2cos sin OP x y θθθϕ=+=++（0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，tan 2ϕ=且0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭），则当2πθϕ+=时，[]max OP ②是真命题；故选：A.二、填空题5．设a ∈R ，若直线l 经过点(,2)A a ､(1,3)B a +，则直线l 的斜率是___________. 【答案】1【分析】利用直线的斜率公式求解.【详解】解：因为直线l 经过点(,2)A a ､(1,3)B a +， 所以直线l 的斜率是3211k a a-==+-，故答案为：16．直线1:260l x y ++=与2:10l x y -+=夹角的余弦值是___________.【分析】分别设12,l l 的倾斜角为,αβ，再根据斜率与倾斜角的关系，结合两角差的正切公式与正切和余弦的关系求解即可【详解】设12,l l 的倾斜角为,αβ，12,l l 的夹角为θ ，则tan 2α，tan 1β=，故()()21tan tan 3121θαβ--=-==+-⨯ ，故12,l l 夹角的余弦值cos θ===7．若直线l 经过点(1,3)，且与圆2210x y +=相切，则直线l 的方程是___________. 【答案】3100x y +-=【分析】分析可得点(1,3)在圆2210x y +=上，故直接根据过圆心与切点的直线与直线l垂直即可求得直线l 的斜率，进而求得方程【详解】因为221310+=，故点(1,3)在圆2210x y +=上，又圆心()0,0到()1,3的斜率为30310-=-， 故直线l 的斜率13k =-，故直线l 的方程是()1313y x -=--，化简可得3100x y +-=故答案为：3100x y +-=8．直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则a 的值为_________. 【答案】1-【解析】根据两直线平行得出实数a 满足的等式与不等式，解出即可.【详解】由于直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则()()23262a a a a ⎧-=⎪⎨≠-⎪⎩，解得1a =-. 故答案为：1-.【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，考查运算求解能力，属于基础题. 9．已知方程2212x y t t +=-表示双曲线，则实数t 的取值范围是___________.【答案】(0,2)【分析】根据题意得()20t t -<，即可求解.【详解】根据题意得，要使2212x y t t +=-表示双曲线，只需要()20t t -<即可， 解得02t <<，所以实数t 的取值范围是(0,2). 故答案为：(0,2).10．如图，在四面体ABCD 中，E 是BC 的中点，设1AB e =，2AC e =，3AD e =，请用1e ､2e ､3e 的线性组合表示DE =___________.【答案】1231122e e e +-【分析】先求出()12AE AB AC =+，再由DE DA AE =+求解即可.【详解】在ABC 中，因为E 是BC 的中点，所以()()121122AE AB AC e e +=+=， 所以1231122DE DA AE e e e =+=+-.故答案为：1231122e e e +-.11．设1F ､2F 分别是椭圆22:12516x y C +=的左､右焦点，点P 在椭圆C 上，且满足120PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅=___________.【答案】32【分析】根据椭圆的定义得到1210PF PF +=，由120PF PF ⋅=，得到221236PF PF +=，结合()2221212122PF PF PF PF PFPF +=+-，即可求解.【详解】由题意，椭圆22:12516x y C +=，可得5,4a b ==，则3c =，根据椭圆的定义，可得1210PF PF +=，又由120PF PF ⋅=，可得12PF PF ⊥，所以22212436PF PF c +==， 因为()2221212121221002PF PF PF PF PFPF PF PF +=+-=-，即12100236PF PF -=，解得1232PF PF =. 故答案为：32.12．已知圆222450x y x y ++--=与22210x y x ++-=相交于A B ､两点，则公共弦AB 的长是___________. 【答案】2【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，利用垂径定理即可得解.【详解】解：由题意AB 所在的直线方程为：()()2222245210x y x y x y x ++---++-=，即1y =-，因为圆22210x y x ++-=的圆心()1,0O -，半径为r = 所以，圆心()1,0O -到直线1y =-的距离为1，所以2AB ==. 故答案为：213．已知向量1(1,0,0)u =，1(0,0,1)v =，它们分别在平面xOy 和yOz 上绕坐标原点旋转α得到向量2u ､2v ，其中(0,2)απ∈，若220u v ⋅=，则α=___________.【答案】π【分析】依题意可得()1cos0,sin 0,0u =，10,cos ,sin 22v ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据三角函数的定义及诱导公式得到2u ､2v ，最后根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】解：因为()1(1,0,0)cos0,sin 0,0u ==，()10,0,10,cos ,sin 22v ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭将()1cos0,sin 0,0u =在平面xOy 上绕坐标原点旋转()()0,παα∈得到()2cos ,sin ,0u αα=，同理可得()20,cos ,sin 0,sin ,cos 22v ππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以222sin 0u v ⋅=-α=，所以sin 0α=，又(0,2)απ∈，所以απ=； 故答案为：π14．设m ∈R ，已知直线1:(1)20l m x my m +++-=，过点(1,2)作直线2l ，且1l //2l ，则直线1l 与2l 之间距离的最大值是___________.【分析】由直线()()121(2:1)00l m x my m m x y x +-+++-++⇒==，可得1l 过定点()2,1-，又知2l 过定点(1,2)，且12//l l ，则两直线之间距离的最大值等于两定点之间的距离.【详解】由直线1:(1)20l m x my m +++-=，得()()120m x y x +-++=；令1020x y x ++=⎧⎨+=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩，则直线1l 过定点()2,1-；又12//l l ，且2l 过点()1,2，则直线1l 与2l 之间距离的最大值d.15．已知()2,0A ､()8,0B ､()4,2C ，且动点P 满足12PA PB =，则2PC PB +取得最小值时，点P 的坐标是___________.【答案】)1【分析】设(),P x y ，由214PA PB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭得P 点轨迹为2216x y +=；由()22PC PB PC PA +=+可知当,,A P C 三点共线且P 在线段AC 上时取得最小值，联立圆的方程和直线AC 方程即可求得结果.【详解】设(),P x y ，则()()222222148PA x y PB x y ⎛⎫-+== ⎪ ⎪-+⎝⎭，整理可得：2216x y +=；()2222PC PB PC PA PC PA +=+=+，∴当,,A P C 三点共线且P 在线段AC 上时，2PC PB +取得最小值，又直线AC 方程为：240224y x --=--，即2y x =-， 由22162x y y x ⎧+=⎨=-⎩得：7171x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或1717x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩又P 在线段AC 上，)771P ∴.故答案为：)771+.16．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M ､N 是椭圆22142x y +=上的两个动点，动点P 满足：2OP OM ON =-，直线OM 与直线ON 斜率之积为12-，若点(0,1)A ，则||PA 的最大值是___________. 22【分析】设11(,)M x y 、22(,)N x y ，根据直线OM 与直线ON 斜率之积为12-，得到121220x x y y +=，根据2OP OM ON =-得到1212(2,2)P x x y y --，根据两点间的距离公式以及2211142x y +=，2222142x y +=，121220x x y y +=，得到||PA =()2122122y y --++据二次函数知识可得结果.【详解】设11(,)M x y 、22(,)N x y ，则2211142x y +=，2222142x y +=， 因为直线OM 与直线ON 斜率之积为12-，所以121212y y x x ⋅=-，即121220x x y y +=，因为2OP OM ON =-1212(2,2)x x y y =--，所以1212(2,2)P x x y y --， 所以221212||(2)(21)PA x x y y =-+--222212121212124441442x x x x y y y y y y =+-+++--+222212*********(42)424(2)41442y y y y y y y y y y =-+---+++--+22121212444221y y y y y y =--+-++21212(2)2(2)21y y y y =----+ ()2122122y y =--++，因为122y -≤≤，所以122222y -≤≤， 因为222y -≤≤，所以222y -≤-≤， 所以1232232y y -≤-≤，所以当1221y y -=-时，||PA 取得最大值22. 故答案为：22. 三、解答题17．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11A A =.(1)求直线1BC 与平面11CC D 所成的角的大小； (2)求直线1BC 到平面1ACD 的距离.【答案】(1)π4(2)23【分析】（1）说明BC ⊥ 平面11CC D ，则1BC C ∠ 即为直线1BC 与平面11CC D 所成的角，解直角三角形，可得答案;（2）证明1BC ∥平面1ACD ，即说明点B 到平面1ACD 的距离即为直线1BC 到平面1ACD 的距离，根据等体积法求得答案.【详解】(1)在长方体1111ABCD A B C D -中，BC ⊥ 平面11CC D D , 即BC ⊥ 平面11CC D ，则1BC C ∠ 即为直线1BC 与平面11CC D 所成的角， 由于1BC AD ==，111CC A A ==，故1π4BC C ∠=， 即直线1BC 与平面11CC D 所成的角为π4；(2)在长方体1111ABCD A B C D -中，由于1111,AB D C AB D C =∥ ,故四边形11ABC D 是平行四边形， 故11BC AD ∥，而1AD ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ，故1BC ∥平面1ACD ，则点B 到平面1ACD 的距离即为直线1BC 到平面1ACD 的距离.； 而11415,2,5AC AD CD +===, 故1212325()222ACD S=-= , 设点B 到平面1ACD 的距离为h ，则11B ACD D ACB V V --=,即13112113232h ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ,则23h =， 即直线1BC 到平面1ACD 的距离为23.18．在平面直角坐标系内，已知点P 及线段l ，Q 是线段l 上的任意一点，线段PQ 长度的最小值称为“点P 到线段l 的距离”，记为(,)d P l .(1)设点(2,0)P ，线段:(02)l y x x =≤≤，求(,)d P l ；(2)设(0,0)A ､(1,1)B ､(2,1)C ，线段1l AB =，线段2l AC =，若点(,)P x y 是2l 上的动点，请将1(),d P l 表示成x 的函数. 【答案】(2)()140,3,4,23x d P l x ⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【分析】（1）根据“点P 到线段l 的距离”的定义结合两点的距离公式即可得出答案； （2）分别求出线段AB 所在直线和线段AC 所在直线的方程，然后求出过点B 且垂直于线段AB 的直线方程，与线段AC 所在直线的方程联立，求出交点坐标，再由交点横坐标分情况讨论，从而可得出答案. 【详解】(1)解：可设(),,02Q a a a ≤≤， 则PQ =当1a =时，min PQ所以(,)d P l =(2)解：线段AB 所在直线的方程为0x y -=， 线段AC 所在直线的方程为20x y -=，过点B 且垂直于线段AB 的直线方程为()11y x -=--，即20x y +-=，联立2020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得4323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为点(,)P x y 是2l 上的动点，所以12y x =， 当40,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，点(,)P x y 到线段AB 的最短距离即为点P 到线段AB 所在直线的距离，此时1(,)d P l =当4,23x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，点(,)P x y 到线段AB 的最短距离即为点B 到线段AC 上的点的最短距离，此时1(,)d P l =综上所述，1224,0,43(,)5432,,243x x d P l x x x ⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎤⎪-+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩.19．我国计划发射火星探测器天问一号，该探测器的运行轨道是以火星（其半径34R =百公里）的中心F 为一个焦点的椭圆.如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点），A 到火星表面的距离为8百公里，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B 到火星表面的距离为800百公里.(1)请求出天问一号运行轨道的椭圆标准方程；(2)假定该探测器由近火星点A 第一次逆时针运行到与轨道中心O ab 时进行变轨，其中a ､b 分别为椭圆的长半轴､短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到1百公里）. 【答案】(1)22119184435028x y += (2)187百公里【分析】（1）设椭圆方程为：22221x y a b+=，由80034,834+=+-=+a c a c 求解；（2）设变轨时，探测器位置为()00,P x y ，由220x yab +=和2200119184435028x y +=求解.【详解】(1)解：设椭圆方程为：22221x y a b+=，由题意得80034,834+=+-=+a c a c ， 解得438,396==a c ，则22235028b a c =-=， 所以椭圆方程为：22119184435028x y +=； (2)设变轨时，探测器位置为()00,P x y ， 则220081975.1x y ab +==，又2200119184435028x y +=，解得00239.7,156.7x y ==， 所以()2200187xc y R -+-≈.20．如图，已知四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA =，M ､N 是线段PB ､DC 上的点，满足BM DNMP NC==λ.(1)若1λ=，求证：直线MN //平面PDA ；(2)是否存在实数λ，使直线MN 同时垂直于直线PB ，直线DC ？如果有请求出λ的值，否则请说明理由；(3)若1λ=，求直线MN 与直线PD 所成角的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2)不存在，理由见解析； (3)最大值为22arccos3. 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据线面垂直的判定定理和性质，结合线线的位置关系进行判断即可； （3）根据异面直线所成的角的定义，结合余弦定理、换元法、配方法进行求解即可. 【详解】(1)取AP 的中点Q ，连接,QM QD ， 因为1λ=，所以M 是线段PB 上的中点，因此有1//,2QM AB MQ AB =， 因为ABCD 是矩形，N 是线段DC 上的中点， 所以1//,2DN AB DN AB =， 因此有//,DN MQ DN QM =，所以四边形DNMQ 是平行四边形，所以有//NM QD ，而NM ⊄平面PDA ，QD ⊂平面PDA ，所以直线MN //平面PDA ； (2)假设存在实数λ，使直线MN 同时垂直于直线PB ，直线DC ， 因为四边形ABCD 是矩形，所以//CD AB ， 即,MN PB MN AB ⊥⊥，而=,,PB AB B PB AB ⊂平面ABP ，所以MN ⊥平面ABP ，因为ABCD 是矩形，所以AB AD ⊥， 因为PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PA AD ⊥，而=,,PA AB A PA AB ⊂平面ABP ，所以AD ⊥平面ABP ，因此//MN AD ，显然不可能，所以假设不成立， 因此不存在实数λ，使直线MN 同时垂直于直线PB ，直线DC ； (3)当1λ=时，由（2）可知：//MN DQ ，所以PDQ ∠是直线MN 与直线PD 所成角，设(0)AD a a =>， 由（2）可知PA AD ⊥，所以PD DQ = 在PDQ 中，由余弦定理可知：222222cos 2PD DQ PQ PDQ PD DQ +-∠==⋅ 令22(2)a t t +=>，所以1102t <<，于是有cos PDQ ∠==当114t =时，cos PDQ ∠， 所以PDQ ∠有最大值，最大值为21．定义：若两个椭圆的离心率相等，则称这两个椭圆相似.如图，椭圆1C 、2C 是两个相似的椭圆，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的长半轴长是4，短半轴长是2，且1C 的左､右焦点1F 、2F 都在椭圆22222:1(0)m n x y C m n +=>>上.(1)求1C 、2C 的方程；(2)在1C 上是否存在点P 满足，线段1PF 的中点在2C 上，如有请求出P 的坐标，否则请说明理由；(3)如图，若Q 是2C 上异于1F 、2F 的任意一点，直线1QF 与1C 交于A ､B 两点，直线2QF 与1C 交于D ､E 两点，求证：||||AB DE +为定值. 【答案】(1)221:1164x y C +=，222:1123x y C += (2)存在，5369P ⎛ ⎝⎭ (3)证明见解析【分析】（1）根据椭圆的基本量求解即可；（2）设()11,P x y，进而得到12y Q ⎫⎪⎪⎝⎭，再分别代入对应的方程，联立求解即可； （3）先证明1214F Q F Q k k ⋅=-，再设AB的方程为x ty =-1C 的方程，根据弦长公式可得AB 关于t 的表达式，同理可得DE 的表达式，再化简求得定值即可【详解】(1)由题，4,2a b ==，故221:1164x y C +=，又22212m a b =-=，且1C 、2C 相似，故2222a m b n=，故23n =，故222:1123x y C +=(2)由题，()1F -，设()11,P x y ，1PF中点12y Q ⎫⎪⎪⎝⎭，故2211221116421123x y y ⎧+=⎪⎪⎪⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪+=⎪⎩即(2211221111643164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，故(221132x x --=，解得1x =1y =，故P ⎛ ⎝⎭ (3)设()00,Q x y，则12202012F Q F Qy k k x ⋅==-，又22001123x y +=，故2200412x y +=，故122020144F Q F Qy k k y ⋅==--. 显然直线AB 斜率不为0，设AB的方程为x ty =-，()()1122,,,A x y B x y ，联立221164x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()22440t y +--=，故1212244y y y y t -+==+，又()2122814t AB y t +=-=+，又1214F Q F Qk k ⋅=-，故 12114F Q F Qk k ⋅=-，故有()2222481216444t t DE t t ⎡⎤-⎛⎫+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦==+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故()()2222228121610401044||||4t t t t t t AB DE ++++==++++=，即||||AB DE +为定值10【点睛】本题主要考查了椭圆中设点，根据椭圆的方程化简求解的方法，同时也考查了椭圆中的定值问题，包括弦长公式等化简，属于难题。