现代控制理论试题及答案
一、（10分）考虑如图的质量弹簧系统。

其中，m 为运动物体的质量，k 为弹簧的弹性系数，h 为阻尼器的阻尼系数，f 为系统所受外力。

取物体位移为状态变量x 1，速度为状态变量x 2，并取位移为系统输出y ，外力为系统输入u ，试建立系统的状态空间表达式。

解
f ma =……………………………….……1分
令位移变量为x 1，速度变量为x 2，外力为输入u ，有
122u kx kx mx --=&………………………………2分
于是有
12x x =&………………………………..……………1分
2121
k h x x x u m m m
=-
-+&……….….……………….2分 再令位移为系统的输出y ，有
1y x =…………………………….……….1分
写成状态空间表达式，即矩阵形式，有
11
220101x x u k h x x m m m ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
&&………..……………..2分 []1210x y x ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
……………………..……….……….2分
二、（8分）矩阵A 是22⨯的常数矩阵，关于系统的状态方程式=&x
Ax ，有 1(0)1⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x 时，22t t e e --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x ；2(0)1⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦x 时，2t t e e --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
x 。

试确定状态转移矩阵(,0)t Φ和矩阵A 。

解
因为系统的零输入响应是
()(,0)(0)t t =x x Φ……………..……….……….2分
所以
221(,0)1t t e t e --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
Φ，22(,0)1t t e t e --⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦Φ 将它们综合起来，得
22122(,0)11t
t t
t e e t e e ----⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦
⎣⎦Φ……………….……….2分 1
22222222122(,0)11122112222t t t
t t t t t t t t t t t
t t e e t e e e e e
e e e e e e e e e -----------------⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥----⎣⎦
⎣⎦--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎡⎤--=⎢⎥--⎣⎦
Φ …………….……….2分 而状态转移矩阵的性质可知，状态转移矩阵0(,)t t Φ满足微分方程
()()00,,d
t t t t dt
=A ΦΦ 和初始条件 ()00,t t =I Φ 因此代入初始时间00t =可得矩阵A 为：
01000
22220
(,)(,)
222424t t t
t
t
t
t t t
t t d t t t t dt e e e e e e
e e -==--------=⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭⎡⎤-+-+=⎢⎥-+-+⎣⎦A ΦΦ…………….……….1分
0213⎡⎤
=⎢⎥
--⎣⎦
…………………………………….……….1分
三、（10分）（1）设系统为
()()()011, (0)011a t t u t x b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
&x x 试求出在输入为(0)u t t =≥时系统的状态响应（7分）。

(2)已知系统[]011, 11341u y ⎡⎤⎡⎤
=+=-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
&x
x x ，写出其对偶系统（3分）。

解 （1）
()00at
bt e t e --⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
Φ……………………………..…….……..1分 ()()0
()(0)()d τt t t t u τ=+⎰x x B ΦΦ……….….……….……..2分
()
()010
10d τ110
a t at
t bt b t e e t e e ττ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰….……..1分 ()()0d τa t at t bt b t e e e e τ
τττ------⎡⎤
⎡⎤=+⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎰.……….…………………..…..1分
111=111at at bt bt e t e a a a e t e b b b ----⎡⎤
⎛⎫+-+ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎢⎥
⎢⎥⎛⎫+-+⎢⎥
⎪⎝⎭⎣
⎦…………………………..…..2分 （2）
031141u -⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
&x x ………….….……….……..2分
[]11y =x ……….………………...……….……..1分
四、（10分）
（1）求系统[]111222102, 11121x x x u y x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
&&的传递函数()g s .（5分） (2)求系统110102110111u -⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
&x x 的能控标准型（可以不求变换矩阵）。

（5分）
解 (1)由状态空间表达式得到传递函数的公式为：
1()()g s c sI A b -=-……….……….…………….1分
由
1012s sI A s -⎡⎤
-=⎢⎥
--⎣⎦
…………...………………..1分 得
1
101()11(1)(2)2s sI A s s s -⎡⎤
⎢⎥
-⎢
⎥-=-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦
………..………….1分
于是
[]21021
()11111(1)(2)2333322
s g s s s s s s s s ⎡⎤⎢⎥
⎡⎤-⎢
⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
⎢⎥---⎣⎦
-==
-+-…………..2分
（2）
1
10
210
1
1
s s I A s s +-⋅-=--+………...……………….1分
2(1)(1)s s s =+-- …...………………………1分
3221s s s s s =--+--…………..……………1分 321s s =--……………………………………1分
从而知能控标准型为
010*********u ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
&x x …………………………1分
五、(10分）（1）利用Lyapunov 第一方法判断系统平衡点0x =的稳定性（5分）：
1
11222124sin 331
x x x x x x x e x =+-=-++&&
（2）取Q I =，通过求解Lyapunov 方程判断系统平衡点0x =的稳定性（5分）：
1153x x ⎡⎤
=⎢⎥--⎣⎦
&
解
（1）
1
20
1
14cos 33x x x A e =-⎛⎫= ⎪-⎝⎭…………………………….2分 1323-⎛⎫= ⎪⎝⎭
……………………………………………….1分 A 的特征值为25±，具有正实部…………………………..1分
所以系统在平衡点0x =不稳定……………………...……….1分
（2）
令a b P b c ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
0T A P PA Q ++=………………………………………….1分
21010
2502610
a b b c a b c -+=--+=-+=…………………………………………….1分 4.5110.5P ⎛⎫= ⎪⎝⎭
…………………………………………..….2分
4.50, 1.250P >=>，P 正定，大范围一致渐近稳定….1分。