各类自由网S和G的确定
1、水准网情况（ｄ=1）
t 1
S 11
1
T
2、测边网情况（ｄ=3,m为网中三角点数目）
1 0 1 0 0 1 0 1 T S 32 m 0 0 0 0 y x y x 1 2 2 1
1 0 0 1 0 0 y m x m
T
T
N 0
K NK
B T PL 0
K ( NN ) B T PL X N ( NN ) B T PL
T ˆ X N ( N N ) B P L
则
T ˆ N X BPl m
3.3秩亏自由网平差
二、秩亏自由网平差广义逆解法
值得说明的是：在秩亏自由网平差中，最小范数逆可取 ，与伪逆的条件相比，最小范数逆条件仅是 N N ( NN ) m 其中的两个条件，由于只有满足4各条件的伪逆才是唯一存 在，因此最小范数逆不是唯一的，但是最小范数解却是唯一 存在的。了解这一点对于研究自由网平差理论十分重要，下 面作出证明。 NN 已知最小范数逆满足两个条件 NN m T 与满足下列一个条件是一致的 ( N N ) N N m m
法方程系数阵：
2 1 1 B T PB 1 2 1 1 1 2
可见，系数阵的行列式等于零,即是一个奇异阵，方程有 无穷多组解。
3.1预备知识
产生秩亏的原因：一是平差网形中缺少的必要起 算数据个数，而不假设它，二是所设的未知数必 须独立。 秩亏数d：就是秩亏自由网中的基准亏损数， d=R'（B）-R（B）（ R‘（B）是B的列满秩数 ，R（B）是实际秩数。） 如果网中不设起始数据或没有必要的起算数据， 而且又设所有网点坐标为参数，这样的平差问题 称为秩亏自由网平差。 怎么解算秩亏自由网平差？我们首先了解广义逆 矩阵。
3.3秩亏自由网平差
（五）秩亏法方程的最小范数解 设满足法方程的一个解为X,取其平方和的开方为
2 2 2 X ( X X ) x x x 1 2 n T 1 2
称为向量X的范数,几何意义是向量的长度。 最小范数满足条件,称为最小范数条件,其表达式为
T X m i n 或 X X m i n
第三章 监测网平差及参考点稳定性检验
本章主要内容
1、预备知识； 2、监测网经典平差； 3、秩亏自由网平差； 4、监测网拟稳平差； 5、参考点稳定性检验方法。
3.1预备知识
经典自由网平差算例，如图所示：选定X3的高程为已知，X1 、X2的高程为未知，则可列出误差方程为：
v1 1 v 1 2 v3 0 0 l1 ˆ1 x 1 l2 ˆ2 x 1 l3
ˆ l l x 1 2 2 3 2
是在控制网中必需设定足够的坐标起算数据；
3.1预备知识
如果不假设起始高程，设网中全部待定点为参数，则误差 方程为： v ˆ1 l1 1 1 1 0 x v 1 1 0 x l ˆ 2 2 2 ˆ3 v3 0 1 1 x l3
3.1预备知识
• 算例2：设矩阵 • • 已知
2 1 1 A 1 2 1 计算伪逆A+ 1 1 2
A A ( A AA ) ( A AA )
2 1 1 2 1 1 6 3 3 T 则： AA 1 2 11 2 1 3 6 3 1 1 2 1 1 2 3 3 6 6 3 1 6 3 1 2 T 1 因为 R(AA ) 2 取 M M 27 3 6 9 1 3 6 2 9 1 9 0 21 T 1 于是 (AA ) 1 9 2 9 0 A A (AA )A (AA )A 1 2 9 0 0 0 1 1
T T T ( N N ) NN ( N N ) 0 [( N N ) N ][( N N ) N ] 0 或 m 1 m 2 m 1 m 2 m 1 m 2 m 1 m 2
上式成立，必须满足 右乘任意向量Y，得： ( N N ) NY 0
法方程
ˆ l l 1 2 x 1 2 1 0 ˆ l l x 1 2 2 3 2
系数阵的行列式不为零，即R（N）=2，非奇异，方程有唯 1 一解： ˆ l l2 1 x 2 1 1 经典平差法的条件：
3.1预备知识
• 算例2：设矩阵
2 1 1 A ，计算最小范数逆 m A 1 2 1 1 1 2
2 1 1 2 1 T AA 1 2 11 2 1 1 2 1 1 6 T 因为 R(AA ) 2 取 M 3 2 9 1 9 0 T 于是 (AA ) 1 9 2 9 0 0 0 0
1 2 0 0 0
3.1预备知识
3）广义逆A+（Moore-Penrose广义逆、伪逆）
1、定义：满足下列四个条件，即
AAA A AAA

A

( A A )T A A
( A A )T A A
2、 A+的计算 当A为对称方阵时：
A A ( A AA ) ( A AA )
3.1预备知识
2）最小范数逆 A m • 1、定义：设A的秩R（A）=r≤min(n,m)，满足下列矩阵 方程的 A m 定义为A的最小范数逆。
AA A A m T ( A A ) A A m m
2、最小范数逆 A m 的计算：在自由网平差中，最小范数逆 常取
T T A A ( AA ) m
3.3秩亏自由网平差
问题的提出:在秩亏自由网平差中,如果像经典平差平差 那样,只要求遵循最小二乘原则求未知参数的解,将不可能 取得唯一确定的估计量; 解决方法:为了得唯一确定的估计量,需要在遵循最小二 乘原则基础上附加另外条件;
附加条件的前提:该条件的确定应保证所求得的未知数 的估计量是最优的. 这样的最优解是唯一存在的,它就是法方程的最小范数 解!
m 1 m 2
( N N ) N 0 m 1 m 2
T 因为 NY ，故有 B Pl
T X ( N N ) B Pl 0 即 X 1 2 m 1 m 2
可见最小范数逆不是唯一的，但是最小范数解却是唯一的
3.3秩亏自由网平差
三、秩亏自由网平差伪观测值法
数学模型:
T T N NN N m
3.3秩亏自由网平差
设有两个最小范数 N 和 N m 2 ，相应的最小范数解为：
m1
T X N B Pl 1 m 1
T X N B Pl 2 m 2
按最小范数 的条件，则
T T N NN N N NN N m 1 m 2
T T N N ) NN 0 ( N N ) 得 即： ( 两边右乘 m 1 m 2 m 1 m 2
A 0
1 2
0 3
0

R (A ) 2
1 0 A 11 2 3 0 0 1 3 0 1 1 2 3 1 3 0 则A A 11 2 1 3 0 0 0
取
0 0 1 0 3 1 1 0 3 1 0 3 2 3 1 3 0 2 3 0 2 3 0 A 验证 AA A 2 3 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1 2

1 1 2
3.1预备知识
• 二、相容线性方程组的广义逆解 • 设有相容线性方程组 A X B
n , m m , 1
( 1 )
Y B • 其解存在，设为Y，则有 nA ,m m,1 • 按广义逆A- 有 AA AY B或 AA B B
• • • •
ˆ VB x l
T ˆ 0 S x
权阵为 P
按照附有条件的间接平差得法方程：
ˆ W x N S 0 T S 0 0 K t
求解法方程，可得未知参数的解为：
T ˆ x ( N SS )1 W
3.3秩亏自由网平差
ˆ BX ˆ d L
相应的误差方程为 随机模型为 法方程为
n1
nu u1
n1
ˆl V B x
2 2 1 D Q P 0 L L 0
T ˆ B P B XB P l 0 T
法方程是相容方程组，其解有无穷多组
T X N B Pl ( I N N ) M
法方程若有一解X满足其范数最小,这个解就称为最小范数解 。
3.3秩亏自由网平差
求最小范数的法方程解过程： ˆ B T PL 0 即求下列数学解： NX
ˆTX ˆ min X
X
T
X 2K
T
( NX
B T PL ) min
得：
0 X 2X T 2K X N NNK
3.3秩亏自由网平差
3、测角网情况（ｄ=4）
1 0 1 0 0 1 0 1 T S 0 0 0 0 4 2m y x y x 1 1 2 2 0 0 0 0 x y x y 1 2 2 1
4、边角网情况（ｄ=3） 边角自由网与测边网的S完全相同。
1 0 0 1 0 0 y x m m 0 0 x y m m
X A B 此式称为方程组（1）的相容条件，由此可知 上式为方程组（1）的一个特解。 A X 0 X ( I A A ) M 齐次方程组 n,m m,1 的一般解为： 因此非齐次方程组的一般解为：