a惠州市 2019 届高三第一次调研考试理科数学2018.07一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.（1） 复数5i - 2的共轭复数是（ ） (A) 2 + i (B) -2 + i (C) -2 - i (D) 2 - i（2） 已知集合 M ={x x 2= 1}， N = {x ax = 1}，若 N ⊆ M ，则实数 a 的取值集合为（）(A){1}(B) {-1,1}(C) {1,0}(D){-1,1, 0}（3） 函数 f (x ) = 2 c os 2x - s in 2 x +2 的最小正周期为，则= （）3 (A)(B) 22(C) 1 1 (D)2（4） 下列有关命题的说法错误的是（）(A) 若“ p ∨ q ”为假命题，则 p 与q 均为假命题；(B) “ x = 1 ”是“ x ≥ 1”的充分不必要条件；(C)若命题 p ：∃x ∈ R ，x 2 ≥ 0 ，则命题⌝p ：∀x ∈ R ，x 2 < 0 ；(D)“ sin x =0 01”的必要不充分条件是“ x =”.2 6（5）已知各项均为正数的等比数列{a n } 中，a 1 = 1， 2a 3 ， a 5 ， 3a 4 成等差数列，则数列{a n } 的前 n 项和 S n = （ ）(A) 2n -1(B) 2n -1 -1(C) 2n -1(D) 2n（6） “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体。

它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）。

其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线。

当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）(A)(B) (C)(D)（7）若函数 f (x ) = a x -2 ， g (x ) = log | x |（ a > 0 ，且 a ≠ 1），且 f (2) ⋅ g (2) < 0 ，则函数 f (x ) ， g (x )在同一坐标系中的大致图象是（）3+13 3 ⎨ ⎩(A)(B) (C) (D)（8） 对一个作直线运动的质点的运动过程观测了 8 次，得到如下表所示的数据.在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图(其中 a 是这 8 个数据的平均数)，则输出的 S 的值是（ ） (A) 6(B) 7 ( C) 8(D) 9x 2 y 2（9） 已知 F 1 和 F 2 分别是双曲线 a 2 - b2 = 1(a > 0, b > 0) 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以 OF 1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 F 2 AB 是等边三角形，则该双曲线的离心率为 ()(A)(B)-12(C)+1(D) 2（10） 已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥外接球的表面积为（ ）(A) 108(B) 72 (C) 36(D) 12（11） 已知函数 f (x ) = x + x ln x ，若 k ∈ Z 且 k (x - 2) < f (x ) 对任意 x > 2 恒成立，则 k 的最大值为（ ）(A) 3(B) 4(C) 5 (D) 6（12） 设抛物线 y2= 4x 的焦点为 F ，过点(2, 0) 的直线交抛物线于 A , B 两点，与抛物线准线交于点C ，若S ACF S BCF = 2，则 AF = （ ） (A)2 53(B) 4 (C) 3 (D) 2二．填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。

⎧x + y -1 ≤ 0 （13） 若实数 x ，y 满足的约束条件⎪x - y +1 ≥ 0 ，则函数 z = 2x + y 的最大值是．⎪y +1 ≥ 02 开始S =0S = S + (a - a )2i 输入 a i否i ≥ 8 ?是 i= i +1i =1输出 S结束S = S / 8观测次数i 12345678 观测数据 a i40414343444647483 57D3 2 a (2,1), b a b 与b 共线，则 的值为 B（14） 已知向量 == (x , -1) ，且 - x．（15） 某公司招聘 5 名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中 2 名英语翻译人员不能分给同一部门，另 3 名电脑编程人员不能都分给同一部门，则不同的分配方案种数是 ．（ 16） 已 知 数 列 {a n } 是 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 ， 对 任 意 大 于 2 的 正 整 数n ， 记 集 合{x x = a i+ a j, i ∈ N , j ∈ N ,1 ≤ i < j ≤ n }的元素个数为c n，把{c n} 的各项摆成如图所示的三角形数阵，则数阵中第 17 行由左向右数第 10 个数为 ．c 3 c 4 c 5c 6 c 7c 8 c 9c 10c 11c 12…………三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2⎛ ⎫ 5（17）（本小题满分 12 分）在∆ABC 中，锐角C 满足2 s in C - cos 2C + ⎪ = .⎝⎭（1）求角C 的大小；（2）点 P 在 BC 边上， ∠PAC =求∆ABC 的面积。

， PB = 3 ， sin ∠BAP = ，3 38（18）（本小题满分 12 分）如图，直四棱柱 ABCD - A B C D 的底面是菱形，侧面是正方形， ∠DAB = 600 ， E 是棱CB 的延1 1 1 1长线上一点，经过点 A 、C 1 、 E 的平面交棱 BB 1 于点 F ， B 1 F = 2BF ．（1） 求证：平面 AC 1 E ⊥ 平面 BCC 1 B 1 ； 1C 1（2） 求二面角 E - AC 1 - C 的平面角的余弦值．A 11FCABE（19）（本小题满分 12 分）x 2 y 2 2如图，椭圆 E ： + a 2 b 2= 1(a > b > 0) 经过点 A (0, -1) ，且离心率为 ． 2D3 ⎫4 ⎩⎭甲公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 38 39 40 41 42 天数2040201010乙公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 38 39 40 41 42 天数1020204010（1） 求椭圆 E 的方程；（2）经过点(1,1) ，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同两点 P ，Q （均异于点 A ），证明：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为定值．（20）（本小题满分 12 分）甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪 70 元，每单抽成 2 元；乙公司无底薪，40单以内(含 40 单)的部分每单抽成 4 元，超出 40 单的部分每单抽成 6 元．假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其 100 天的送餐单数，得到如下频数表：（1） 现从甲公司记录的这 100 天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于 40 的概率；（2） 若将频率视为概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙公司送餐员日工资为 X (单位：元), 求 X 的分布列和数学期望；（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.（21）（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = ( x - 2) e x + a (a ∈ R ) ，（1） 试确定函数 f( x ) 的零点个数；（2） 设 x 1 ， x 2 是函数 f( x ) 的两个零点，证明： x 1 + x 2 < 2 ．（22）（本小题满分 10 分）在极坐标系中，已知圆 C 的圆心 C⎛2, ，半径 r = ． 4 ⎪ ⎝ ⎭ （1）求圆 C 的极坐标方程；（2）若∈ ⎡0,⎫，直线l 的参数方程为⎧x = 2 + t c ost 为参数），⎣ ⎪ ⎨y = 2 + t sin （ 直线l 交圆 C 于 A 、B 两点，求弦长 AB 的取值范围．AC BC AF BF a max一、选择题：惠州市 2019 届高三第一次调研考理科数学参考答案题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案B DCDABABCCBD（5）【解析】A ；设{a } 的公比为 q ，则2a= 2a + 3a ，∴2a q 2 = 2a + 3a q ，∴2q 2 = 2 + 3q ，n534333∴ q = 2 或q = - （舍），∴ S = a + a +… + a = 1+ 2 +… + 2n -1 = 2n -1 ； 2n 1 2 n（6）【解析】B ；因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合在一起的方形伞，所以其正视图和侧视图是一个圆。

俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，所以俯视图是有 2 条对角线且为实线的正方形，故选 B ； （7）【解析】A ；由题意 f ( x ) = a x -2 是指数型的， g ( x ) =logx 是对数型的且是一个偶函数，由f (2)g (2) < 0 ，可得出 g (2) < 0 ，故log 2 < 0，故0 < a < 1，由此特征可以确定 C 、D 两选项不正确，且 f ( x ) = a x -2 是一个减函数，由此知 B 不对，A 选项是正确答案，故选 A ；（10）【解析】C ；可求出正四棱锥的高为 3．设其外接球的半径为 R ，则由两者的位置关系可得(3 - R )2+ 32 = R 2 ，解得 R = 3 ，所以 S = 4R 2 = 36．故选 C.（1）【解析】B ；考虑直线 y = k (x - 2) 与曲线 y =f (x ) 相切时的情形。

f (m ) - 0 设切点为( m ，f (m )），此时 = m - 2f ' (m ) ，即 m + m ln m = 2 + ln m ，化简得： m - 4 - 2 ln m = 0 ，m - 2设 g (m ) = m - 4 - 2 ln m ，由于 g (e 2 ) = e 2 - 4 - 2 ln e 2 < 0 ， g (e 3) = e 3 - 4 - 2 ln e 3 > 0 。

故e 2 < m < e 3 ，所以切线斜率 k =f '(m )=2 + ln m 的取值范围是(4, 5) ，又 k ∈ Z ，∴ k = 4 ，选 B ；（12）【解析】D ；设直线l : y = k ( x - 2) ， A ( x 1, y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ，将直线方程代入抛物线方程得：k 2 x 2 - 4 (1+ k 2 ) x + 4k 2 = 0 ，由韦达定理得： x 1 ⋅ x 2 = 4 ①，分别过点 A , B 作准线的垂线 AA 1, BB 1 ，垂足分别为点 A , B ，∴S ACF = = = = x 1 +1 = 2 ，即5x - 2x + 3 = 0②，解得 11S B C F x 2+1 5x 1 = 1 ，∴ AF 293= 2 ，故选 D 。