第六章 定积分的应用第二节 定积分在几何上的应用 1. 求图中各阴影部分的面积: （1） 16. (2) 1(3)323. (4)323.2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 463π-. (2)3ln 22-. (3)12e e+-.(4)b a -3. 94.4. （1）.1213（2）.45. (1) πa 2. (2)238a π. (3)218a π.6. （1）423π⎛ ⎝ （2）54π（3）2cos2ρθρθ==及162π+7．求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： （1）2x x y y x =和轴、向所围图形，绕轴及轴。

（2）22y x y 8x,x y ==和绕及轴。

（3）()22x y 516,x +-=绕轴。

（4）xy=1和y=4x 、x=2、y=0，绕。

（5）摆线()()x=a t-sint ,1cos ,y 0x y a t =-=的一拱，绕轴。

2234824131,;(2),;(3)160;(4);(5)5a .52556πππππππ（）8．由y =x 3, x =2, y =0所围成的图形, 分别绕x 轴及y 轴旋转, 计算所得两个旋转体的体积.1287x V π=. y V =645π 9．把星形线3/23/23/2a y x =+所围成的图形, 绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积.332105a π 10．（1）证明 由平面图形0≤a ≤x ≤b , 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为 ⎰=badx x xf V )(2π. 证明略。

（2）利用题（1）结论, 计算曲线y =sin x (0≤x ≤π)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 22π11．计算底面是半径为R 的圆, 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积. 3R .12．计算曲线3223y x =上相应于38x ≤≤的一段弧的弧长。

212313．计算曲线2ln(1)y x =-上相应于102x ≤≤的一段弧的弧长。

1ln 32- 14．求星型线33cos sin x a ty a t ⎧=⎨=⎩的全长。

6a15．求曲线()1cos a ρθ=-的周长。

8a第三节 定积分的应用第四节1. 由实验知道, 弹簧在拉伸过程中, 需要的力F (单位: N )与伸长量s (单位: cm)成正比, 即F =ks (k 为比例常数). 如果把弹簧由原长拉伸6cm , 计算所作的功. 18 k(牛⋅厘米)解 将弹簧一端固定于A , 另一端在自由长度时的点O 为坐标原点, 建立坐标系. 功元素为dW =ksds , 所求功为 182160260===⎰s k ksds Wk(牛⋅厘米). 2．直径为20cm 、高80cm 的圆柱体内充满压强为10N/cm 2的蒸汽. 设温度保持不变, 要使蒸汽体积缩小一半, 问需要作多少功？800ln 2π(J). 解 由玻-马定律知:ππ80000)8010(102=⋅⋅==k PV .设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变, 高度减小x 厘米时压强 为P (x )牛/厘米2, 则ππ80000)]80)(10[()(2=-⋅x x P , π-=80800)(x P .功元素为dx x P dW )()10(2⋅=π, 所求功为 2ln 8008018000080800)10(400402πππππ=-=-⋅⋅=⎰⎰dx dx W(J).3．设地球的质量为M ，半径为R ，现要将一个质量为m 的物体从地球表面升高到h 处，问需要做多少功（设引力系数为G ）？()mMhGR h +4．半径为R 的圆柱体沿固定水平面做纯滚动，试分别求圆心C 沿其轨迹移动的距离S 时，作用于其上的静滑动摩擦力和滚动摩阻力偶的功解 圆柱体做平面运动，由运动学知，点B 为圆柱体的速度瞬心，由式 （11-16）知圆柱体沿固定面做纯滚动时，静滑动摩擦力的功为零。

滚动摩阻力偶的功可利用滚动摩阻力偶矩M=FNδ来计算所以它的元功为 Md W -=δ=-ds RF nδ如FN及R 均为常量，滚动一段路程S 后滚动摩阻力偶的功为W=⎰0S -ds R F nδ=-s RF n δ 可见滚动摩阻力偶的功为负功，且其绝对值W 与圆柱半径成反比5．设一锥形贮水池, 深15m , 口径20m , 盛满水, 今以唧筒将水吸尽, 问要作多少功？ 解 在水深x 处, 水平截面半径为x r 3210-=, 功元素为dx x x dx r x dW 22)3210(-=⋅=ππ,所求功为 ⎰-=1502)3210(dx x x Wπ⎰+-=15032)9440100(dx x x x π =1875(吨米)=57785.7(kJ).6. 有一闸门, 它的形状和尺寸如图, 水面超过门顶2m . 求闸门上所受的水压力.205.8(kN).解 建立x 轴, 方向向下, 原点在水面. 水压力元素为xdx dx x dP 221=⋅⋅=,闸门上所受的水压力为21252252===⎰x xdx P (吨)=205. 8(kN).7. 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体, 尺寸如图所示. 当水箱装满水时, 计算水箱的一个端面所受的压力. 17.3(kN).解 建立坐标系如图, 则椭圆的方程为11)43()43(2222=+-y x .压力元素为dx x x dx x y x dP 22)43()43(38)(21--⋅=⋅⋅=,所求压力为⎰⎰-⋅⋅+=--⋅=222322cos 43cos 43)sin 1(4338)43()43(38ππtdx t t dx x x Pππ169cos 49202==⎰tdx (吨)=17.3(kN).(提示: 积分中所作的变换为tx sin 4343=-)8. 有一等腰梯形闸门, 它的两条底边各长10m 和6m , 高为20m . 较长的底边与水面相齐. 计算闸门的一侧所受的水压力. 14388(千牛) 解 建立坐标系如图. 直线AB 的方程为x y 1015-=,压力元素为dx x x dx x y x dP )5110()(21-⋅=⋅⋅=,所求压力为1467)5110(200=-⋅=⎰dx x x P (吨)=14388(千牛).9．一底为8cm 、高为6cm 的等腰三角形片, 铅直地沉没在水中, 顶在上, 底在下且与水面平行, 而顶离水面3cm , 试求它每面所受的压力. 解 建立坐标系如图.腰AC 的方程为x y 32=, 压力元素为dx x x dx x x dP )3(34322)3(+=⋅⋅⋅+=,所求压力为168)2331(34)3(34602360=+=+=⎰x x dx x x P (克)=1.65(牛).10. 设有一长度为l 、线密度为μ的均匀细直棒, 在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M , 试求这细棒对质点M 的引力.解 建立坐标系如图. 在细直棒上取一小段dy , 引力元素为dy ya Gm y a dy m G dF 2222+=+⋅=μμ, dF 在x 轴方向和y 轴方向上的分力分别为 dF r a dF x -=, dF ry dF y =.2202222022)(1)(l a a l Gm dy y a y a aGm dy y a Gm r a F l lx +-=++-=+⋅-=⎰⎰μμμ, )11()(12202222022l a a Gm dy y a y a Gm dy y a Gm r y F l ly +-=++=+⋅=⎰⎰μμμ总复习题六1． 填空题：（1） 曲线2y x =与22y x x =-直线围成所界区域的面积为 13（2）曲线226y x =+与直线1y x =-所界区域的面积为 18（3）曲线0y =⎰上相应于0x π≤≤的一段弧长为 4(4) 圆盘222a y x ≤+绕x =-b (b >a >0)旋转所成旋转体的体积 . 222a b π （5）一圆盘的半径为R ，而密度为()ργ，其中γ为圆盘上一点到圆心的距离，则其质量M ()02Rd πγργγ⎰(6) 半径为的球沉入水中，它与水面相切，密度与水相同，若将球从水中取出，则做 的功。

2．求抛物线223x x y --=与Ox 轴所围成图形的面积。

3．求抛物线x y =2与42+-=x y 所围成图形的面积。

4．求圆222r y x =+的面积、圆周长。

5．求双纽线θ2cos 22a r =的面积。

6．求心脏线)cos 1(θ+=a r 绕极轴旋转所成旋转体体积。

7．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x )20(π≤≤t 与x 轴围成图形的面积，弧长，绕x 轴旋转体体积。

8．求悬链线)(,)(2a x axach e e a y a xa x≤=+=-下的曲边梯形的面积，弧长，绕x 轴旋转体体积。

9．抛物线)0(,22a x px y ≤≤=绕x 轴旋转所得旋转抛物面的体积。

10．证明曲线x y sin =的一个周期的弧长等于椭圆2222=+y x 的周长。

11．求椭球体1222222=++cz b y a x 的体积。

12．设有一半径为R ，长度为l 的圆柱体平放在深度为R 2的水池中（圆柱体的侧面与水面相切）。

设圆柱体的比重为)1(>ρρ，现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功？ 13．一块高为a ，底为b 的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄板每面所受的压力。

14．用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在铁锤击第一次时能将铁钉击入木板内cm 1，如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等，问铁锤击第二次时，能将铁钉又击入多少cm ？ 答案：2．解：),1)(3(232x x x x y -+=--=令0=y 得13or x -=。

故抛物线与Ox 轴交点为)0,3(-及)0,1(，所求图形为Ox 轴上半部分。

332)23()(13213=--==⎰⎰--dx x x dx x f S 。

3．解：两条抛物线交点为)2,2(),2,2(-。

则2316)24(2])4[(222222=-=-+-=⎰⎰-dy y dy y y S 。

4．解：由对称性，只需考虑第一象限，dx x r S r⎰-=0221422cos 1cos cos sin 220220rdt t r tdt r t r t r x πππ=+=⋅=⎰⎰； 故圆面积为2r S π=。

由圆的参数方程⎩⎨⎧==,sin ,cos t r y t r x ，求周长只需考虑第一象限，2cos sin 202022221rdt r dt t r t r l πππ==+=⎰⎰；圆周长r l l π241==。