2019-2020学年第二学期高二数学期中测试卷（文科）（本试卷满分150）一、选择题（每小题5分，共60分）1．[2016·北京高考]已知集合A ＝{x ||x |<2}，B ＝{－1,0,1,2,3}，则A ∩B ＝( )A ．{0,1}B ．{0,1,2}C ．{－1,0,1}D ．{－1,0,1,2}答案 C解析 由题意得A ＝(－2,2)，A ∩B ＝{－1,0,1}，选C.2．[2016·北京高考]复数1＋2i 2－i ＝( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－i 答案 A解析 1＋2i 2－i ＝(1＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2＋i ＋4i ＋2i 24－i 2＝5i 5＝i ，故选A.3．[2017·安徽模拟]“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 “x ＝12或x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件，选B. 4．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的解析式是( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7 答案 B解析 因为g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1，所以g (x )＝2x －1.5．[2014·湖北高考]根据如下样本数据：得到的回归方程为y＝bx＋a，则()A．a>0，b>0 B．a>0，b<0C．a<0，b>0 D．a<0，b<0答案 B解析由表中数据画出散点图，如图，由散点图可知b<0，a>0.6.复数z＝2sin θ＋(cos θ)i的模的最大值为()A．1B．2C. 3D. 5解：选B|z|＝（2sin θ）2＋cos2θ＝3sin2θ＋1.当sin2θ＝1时，|z|max＝3×1＋1＝2.故选B.7、给出下面一段演绎推理：有理数是真分数，大前提整数是有理数，小前提整数是真分数．结论结论显然是错误的，是因为()A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误解析：选 A.推理形式没有错误，小前提也没有错误，大前提错误．举反例，如2是有理数，但不是真分数．8、．已知f′(1)＝－2，则limΔx→0f(1－2Δx)－f(1)Δx的值为()A．－2 B．2 C．－4 D．4 解析：选D.解析：limΔx→0f(1－2Δx)－f(1)Δx＝(－2)×limΔx→0f(1－2Δx)－f(1)－2Δx＝(－2)×(－2)＝4.9．[2016·山东高考]执行上边的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为________．答案 1解析执行程序框图：i＝1，S＝2－1,1≥3不成立；i＝2，S＝3－1,2≥3不成立；i＝3，S＝4－1＝1，此时3≥3成立，结束循环，输出S的值为1.10．[2017·大连模拟]PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，一般情况下PM2.5浓度越大，大气环境质量越差．如图所示的茎叶图表示的是某市甲、乙两个监测站连续10日内每天的PM2.5浓度读数(单位：μg/m3)，则下列说法正确的是()A．甲、乙监测站读数的极差相等B．乙监测站读数的中位数较大C．乙监测站读数的众数与中位数相等D．甲、乙监测站读数的平均数相等答案 C解析因为甲、乙监测站读数的极差分别为55,57，所以A错误；甲、乙监测站读数的中位数分别为74,68，所以B错误；乙监测站读数的众数与中位数都是68，所以C正确，因此选C.11．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x，则函数f(x)的单调递增区间是()A．(3，9) B．(－∞，－1)，(3，＋∞)C．(－1，3) D．(－∞，3)，(9，＋∞)解析：选B.因为f(x)＝x3－3x2－9x，所以f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x2－2x－3)．令f′(x)＞0，得x＞3或x＜－1.即函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(3，＋∞)．12．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：以下说法正确的是()A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关B ．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关C ．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关D ．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 解析：选D.根据临界值表，9.643＞7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．附：二、填空题（每小题5分，共20分）13、用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”，正确的假设是________．答案：三角形的内角中至少有两个钝角14．设f (x )＝2xx ＋2，x 1＝1，x n ＝f (x n －1)(n ≥2)，则x 2，x 3，x 4分别为________．猜想x n ＝________．解析：x 2＝f (x 1)＝21＋2＝23，x 3＝f (x 2)＝2×2323＋2＝12＝24，x 4＝f (x 3)＝2×1212＋2＝25，所以x n ＝2n ＋1.答案：23，24，25 2n ＋115．[2017·重庆模拟]在等差数列{a n }中，若公差为d ，且a 1＝d ，那么有a m ＋a n ＝a m ＋n ，类比上述性质，写出在等比数列{a n }中类似的性质：______________________.答案 在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m＋n解析 等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n .”16．[2017·太原十校联考]已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞ 解析 由“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a >0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方．故Δ＝25－4×152a <0，解得a >56，即实数a 的取值范围⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞. 三、解答题（17题10分，其余各12分，共计70分） 17..当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m ＋(m 2－2m )i 为 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解：(1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数； (2)当m 2－2m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数；(3)当⎩⎨⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．18.设集合A ＝{x |x 2－x －6<0}，B ＝{x |x －a ≥0}． (1)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使得A ∩B ＝{x |0≤x <3}？若存在，求出a 的值及对应的A ∪B ；若不存在，说明理由．解 A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |x ≥a }． (1)如图，若A ∩B ＝∅，则a ≥3， 所以a 的取值范围是[3，＋∞)．(2)存在如图，由A ∩B ＝{x |0≤x <3}得a ＝0， A ∪B ＝{x |x >－2}．19、设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值．(1)求a ，b 的值；(2)若对于任意的x ∈[0，3]，都有f (x )＜c 2成立，求c 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2时取得极值， 所以f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.(2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ， f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)． 当x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(1，2)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(2，3)时，f ′(x )＞0.所以，当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝5＋8c ， 又f (0)＝8c ，f (3)＝9＋8c .所以当x ∈[0，3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . 因为对于任意的x ∈[0，3]，有f (x )＜c 2恒成立， 所以9＋8c ＜c 2，解得c ＜－1或c ＞9. 因此c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．20．某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160, 180)，[180, 200)，[200, 220)，[220, 240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？解 (1)依题意，20×(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x ＋0.005＋0.0025)＝1，解得x ＝0.0075.(2)由图可知，最高矩形的数据组为[220,240)， ∴众数为220＋2402＝230. ∵[160,220)的频率之和为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45，依题意，设中位数为y ，∴0.45＋(y －220)×0.0125＝0.5.解得y ＝224， ∴中位数为224.(3)月平均用电量在[220,240)的用户在四组用户中所占比例为0.01250.0125＋0.0075＋0.005＋0.0025＝511，∴月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取11×511＝5(户)．21．某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如下：质量指数API(记为ω)的关系式为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤ω≤100，3ω－200，100<ω≤300，2000，ω>300.试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于400元且不超过700元的概率；(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：K2＝(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)解大于400元且不超过700元”为事件A.由400<S≤700，即400<3ω－200≤700，解得200<ω≤300，其满足条件天数为20.所以P(A)＝20100＝15.(2)根据以上数据得到如下列联表：K2＝85×15×30×70≈4.575>3.841，所以有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关．22.将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线Γ.(1)写出Γ的参数方程；(2)设直线l：3x＋2y－6＝0与Γ的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为Γ上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 1，y ＝3y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2，y 1＝y 3.由x 21＋y 21＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 32＝1，即曲线Γ的方程为x 24＋y 29＝1.故Γ的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝3sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎨⎧x 24＋y 29＝1，3x ＋2y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3.不防设P 1(2,0)，P 2(0,3)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，所求直线的斜率k ＝23.于是所求直线方程为y －32＝23(x －1)，即4x －6y ＋5＝0，化为极坐标方程，得4ρcos θ－6ρsin θ＋5＝0.。