立体证明题(2)1•如图，直二面角 D- AB- E中，四边形 ABCD是正方形，AE=EB F为CE上的点，且 BF丄平面ACE(1)求证：AE丄平面BCE(2)求二面角 B-AC- E的余弦值.2•等腰△ ABC中, AC=BC= r, AB=2, E、F分别为AC BC的中点，将△ EFC沿EF折起，使得C到P,得到四棱锥 P- ABFE且AP=BP*.(1) 求证：平面 EFP1平面 ABFE(2) 求二面角 B-AP- E的大小.02PADL 底面ABCD 且ABCD 3•如图，在四棱锥 P- ABCD 中，底面是正方形，侧面 PA=PD=2 AD,若E 、F 分别为PC BD 的中点.(I) 求证：EF//平面PAD4•如图：正△ ABC 与Rt △ BCD 所在平面互相垂直，且/(1)求证：AB 丄CDBCD=90°,Z CBD=30°5•如图，在四棱锥 P- ABCD中，平面PADL平面ABCD^ PAD是等边三角形，四边形是平行四边形，/ ADC=120 , AB=2AD6•如图，在直三棱柱 ABC- A i BQ 中，/ ACB=90°, AC=CB=CC2, E是 AB中点. (I)求证：AB丄平面A i CE(H)求直线 AG与平面A i CE所成角的正弦值.(1)求证：平面PADL平面PBD7•如图，在四棱锥 P- ABCD中, PA丄平面 ABCD / DAB为直角，AB// CD, AD=CD=2AB=2E, F分别为PC, CD的中点.(I)证明：AB丄平面BEF;(H)若PA=丄，求二面角 E- BD- C.8•如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA丄平面 ABCD , PA=AB=AD=2，四边形 ABCD 满足AB 丄 AD , BC // AD 且 BC=4，点 M 为 PC 中点.(1)求证：DM丄平面PBC ；BE(2)若点E为BC边上的动点，且一一，是否存在实数人使得二面角 P- DE - B的EC2余弦值为-?若存在，求出实数入的值；若不存在，请说明理由.310.如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形AB=2CD=2B, EA L EB(1)求证：EA L平面EBC ABE所在的平面互相垂直, AB// CD, AB丄BC,9•如图，ABED是长方形，平面 ABEDL平面 ABC AB=AC=5 BC=BE=6且 M是BC的中点(I) 求证：AM L平面BEC(H) 求三棱锥B- ACE的体积；(川)若点Q是线段AD上的一点，且平面 QECL平面BEC求线段AQ的长.(2)求二面角C- BE- D的余弦值.£D11. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， AD// BC, / ADC=90°,平面PADL底面ABCD O 为AD 中点，M 是棱PC 上的点，AD=2BC12. 如图，三棱柱 ABC- ABC 中，侧棱AA 丄平面ABC △ ABC 为等腰直角三角形，/ BAC=90，且 AB=AA, E 、F 分别是 CC, BC 的中点.13. 如图，在菱形 ABCD 中，/ ABC=60°, AC 与BD 相交于点 Q AE 丄平面ABCD CF/ AE,AB=AE=2(I )求证：BD 丄平面ACFE(II )当直线FQ 与平面BDE 所成的角为45°时，求二面角 B- EF- D的余弦角.(1)求证：平面 POBL 平面 PAD (1)求证：平面 ABF 丄平面 AEF; (2 )求二面角 B 1 - AE- F 的余弦值.14. 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF和一个正四棱锥 P- ABCD组合而成,ADL AF, AE=AD=2(1)证明：平面 PADL平面 ABFE(2)求正四棱锥 P- ABCD的高h，使得二面角 C- AF- P的余弦值是二Ln3A15. 如图，已知斜三棱柱 ABC一 ABC,/ BCA=90°, AC=BC=2 A在底面ABC上的射影恰为 AC的中点D,且BA丄AC.(I)求证：AC丄平面A i BC;(H)求二面角 A- A i B- C的平面角的余弦值.试卷答案•在 Rt △ BFG中, 1.【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定.【分析】（1）由已知中直二面角 D- AB- E 中，四边形 ABCD 是正方形，且 BF 丄平面ACE 我们可以证得 BF 丄AE CB 丄AE 进而由线面垂直的判定定理可得 AE!平面BCE（2）连接BD 与AC 交于G,连接FG 设正方形ABCD 的边长为2,由三垂线定理及二面角 的平面角的定义，可得/ BGF 是二面角B- AC- E 的平面角，解 Rt △ BFG 即可得到答案.【解答】证明：（1）v BF 丄平面ACE••• BF 丄 AE …•••二面角 D- AB- E 为直二面角，且 CBL AB,• CB 丄平面ABE• CB 丄AE …• AE 丄平面BCE …解：（2）连接BD 与AC 交于G 连接FG 设正方形 ABCD 勺边长为2,• BG 丄 AC, BG=］，…•/ BF 垂直于平面 ACE 由三垂线定理逆定理得 FGL AC• Z BGF 是二面角 B- AC- E 的平面角…由（1） AE!平面 BCE 得 AE! EB,••• AE=EB BE= ■'：.•在 Rt △ BCE 中 , EC=丨「！讦’=.：，,…由等面积法求得挖斗―：G0S ^DUr GB <2 3故二面角B- AC- E 的余弦值为出.…则酹-B 严2.【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定.【分析】(1 )用分析法找思路，用综合法证明•取EF中点0,连接OR OC等腰三角形CEF中有COL EF,即卩ORL EF.根据两平面垂直的性质定理，平面PEF和平面ABFE的交线是EF,且PO L EF,分析得POL平面ABFE故只需根据题中条件证出POL平面ABFE即可利用面面垂直的判定定理证得平面EFP丄平面ABFE(2)根据第一问分析空间位置关系，可建立空间直角坐标线求得平面ABR和平面AER的法向量的所成角，利用向量角和二面角关系，确定二面角大小.【解答】解：(1)证明：在厶ABC中，D为AB中点，0为EF中点.由 AC=BC= '., AB=2••• E、F分别为AC BC的中点，••• EF 为中位线，得 C0=0D=1 COL EF•••四棱锥P—ABFE中，PO L EF,…2分•••OC丄AB, AD=OD=1 • AO= ?,又 AP=. ';, OP=1,•四棱锥 P- ABFE中，有AF^A O+O P,即卩OPL AQ…4分又 AOH EF=Q EF、AO?平面 ABFE• OP丄平面ABFE…5分又OF?平面EFP,•平面 EFP!平面 ABFE …6分(2 )由(1)知OD OF, OP两两垂直，以 0为原点，建立空间直角坐标系(如图)：则 A (1 , - 1 , 0), B ( 1,1, 0), E ( 0,」专，0), P (0, 0, 1 )-7 分二恥二°，- 心,帚(1, T, -1)',设矗仗，丹以，1=(/ ,)分别为平面AEP平面ABP的一个法向量，所以二面角B-AP- E为90°…12分同理可得n-由于m・n=lXl+2X 0+(-1) X!=0,【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【专题】证明题.【分析】对于（I）,要证EF//平面PAD只需证明EF平行于平面PAD内的一条直线即可，而E、F分别为PC BD的中点，所以连接 AC, EF为中位线，从而得证；对于（H）要证明 EF丄平面PDQ由第一问的结论，EF/ PA只需证PA!平面PDC即可, V2已知PA=PD=_ AD,可得PA丄PD,只需再证明 PA丄CD,而这需要再证明 CDL平面PAD由于ABCD是正方形，面 PADL底面ABCD由面面垂直的性质可以证明，从而得证.X ■厂 1 八EA_L m_ -?■ FAlmK■-y- z=Q取 x=1，得 y=2, z= - 1则所以△ PAD 是等腰直角三角形，且/B C =tan30=「从而 EC=BCsin60 = —,在 Rt △ DEC 中，可求 tan / DEC0 e【解答】证明：（I ）连接 AC 则F 是AC 的中点，在△CPA 中，EF// PA （ 3 分）且PA?平面PAD EF?平面PAD••• EF //平面 PAD （ 6 分）（H ）因为平面 PADL 平面 ABCD 平面 PAD T 平面 ABCD=AD又CDL AD 所以 CDL 平面 PAD• CD 丄 PA （9 分）42又 PA=PD= 一 AD,2而 CD A PD=D• PA 丄平面PDC 又EF// PA 所以EF 丄平面 PDC （ 14 分）【点评】本题考查线面平行的判定及线面垂直的判定，而其中的转化思想的应用值得注 意，将线面平行转化为线线平行；证明线面垂直，转化为线线垂直，在证明线线垂直时, 往往还要通过线面垂直来进行.4. 【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】（1 ）利用平面 ABCL 平面BCD 平面AB6平面BCD=BC 可得DCL 平面ABC 利用线面垂直的性质，可得 DCL AB;（2）过C 作CE! AB 于E,连接ED,可证/ CED 是二面角D- AB- C 的平面角.设 CD=a 则【解答】（1）证明：T DC L BC,且平面ABC L 平面BCD 平面AB6平面BCD=BC• DC 丄平面ABC又AB?平面ABC• DC L AB.…（2）解：过 C 作CEL AB 于E,连接ED,£,即PA 丄PD （12分）•/ AB 丄 CD AB 丄 EC, CDH EC=C ••• AB 丄平面ECD又 DE?平面 ECD •- AB 丄 ED,•••/ CED 是二面角 D- AB- C 的平面角,设 CD=a 则 BC=一 「」,tan30•••△ ABC 是正三角形，• EM®60-厉 DC a 2 在 Rt △ DEC 中 , tan / DEC= "3a " 2 "35.【考点】MT 二面角的平面角及求法； LY:平面与平面垂直的判定.【分析】（1 ）令AD=1,求出BD= ■:,从而AD ± BD,进而BD 丄平面PAD 由此能证明平面PADL 平面 PBD（2 ）以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，过D 作垂直于平面 ABCD 的直线为z 轴，建 立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 A- PB- C 的余弦值.【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD 中 ,令AD=1,则 BD=» 一,| - ■ 口 「：，心 r =.；,在厶 ABD 中,AD+B[i=AB, • AD 丄 BD又平面PADL 平面ABCD• BD 丄平面PAD BD?平面PBD•平面PADL 平面PBD解：（2）由（1）得AD 丄BD,以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，过D 作垂直于平面 ABCD 勺直线为z 轴，建立空间直角坐标系，令 AD=1,则 A （1, 0 , 0） , B （0 , . ； , 0） , C （- 1 , :; , 0） , P （丄，0,..）,15=( - 1^3, 0)，丙=(-芬吕年)’祝=(-1, 0，°)设平面PAB的法向量为.=(x, y, z).AB F二-汎十眉尸0设平面PBC的法向量'=(a, b, c),，取y=i，得rv BC 二-且二0n・PB =今曲/5不匚二0,取b=1，得T=(°, 1, 2),二cosVn*in|吐卜| m |由图形知二面角 A- PB- C的平面角为钝角,面角A- PB- C的余弦值为-上5【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角.【分析】(I)由 ABC- A1B1C1是直三棱柱，可知 CC丄AC, CC丄BC / ACB=9° , ACLBC建立空间直角坐标系 C-xyz .则A, B1, E, A,可得，AB［，ES，匚织可知，根据CE二0, CA］二0，推断出AB丄CE AB丄CA,根据线面垂直的判定定理可知 AB丄平面 ACE(H)由(I)知’」！是平面AQE的法向量，「严.一—一'二■，，进而利用向量数量积求得直线 AC 与平面ACE所成角的正弦值【解答】(I)证明：T ABC-A B 0是直三棱柱，••• CC! AC, CC! BC,又/ ACB=9° ,即 AC L BC如图所示，建立空间直角坐标系C- xyz . A (2, °, °), B1 (°, 2, 2), E (1, 1, 0), r ■ _>（n ）解：由（i ）知,晒二.-2. 2. ■.是平面ACE 的法向量, c i\ =CA = (2, Cl , 0)•|cos 设直线 11 c d AB ； 3AQ 与平面ACE 所成的角为B,则73 — 3【分析】 （I ）只需证明 AB 丄BF . AB 丄EF 即可. (n)以 A (2, 0, 2),•••R E ；二(-2, 2・ 2),爲=, Q ),CA ；二②0, 2)又因为 AB[・ CE>0, AB[・CA]二Q ,• AB 丄 CE AB 丄 CA, AB 丄平面 A i CE所以直线AC 与平面ACE 所成角的正弦值为7.【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定. A 为原点，以AB, AD AP 为x 轴，y 轴，z 轴正向建立空间直角坐标系,C OS 6 — 1 CO S^-- F7 j p n .A I —■【解答】解：（1）证：由已知 DF// AB 且/ DAB 为直角，故 ABFD 是矩形,从而AB 丄BF.又PA 丄底面 ABCD 二平面 PADL 平面 ABCD•/ AB 丄AD,故AB 丄平面PAD • AB 丄PD在厶PCD 内，E 、F 分别是PC CD 的中点，EF// PD, • AB 丄EF.由此得AB 丄平面BEF …（n ）以A 为原点，以AB, AD AP 为x 轴，y 轴，z 轴正向建立空间直角坐标系，则BD=（-1,齧陽乔® I 李）设平面CDB 的法向量为 石二0 0. 1）,平面EDB 的法向量为 匹二（富7- 2）, 求出平面 CDB 的法向量为□［二心O P D , 平面EDB 的法向量为■■设二面角 E- BD- C 的大小为 0,则v 5 A t , AE [ >|=sin >1= in 0 = |cos v J 「1Vsl^Vio(2)以A为原点，…,方向为x轴的正方向,方向，建立如图所示的空间直角坐标系•设坐标，得到丨I .的坐标，求出平面向量，由两法向量夹角的余弦值得到实数「.1方向为y轴的正方向，AP 方向为z轴的正E (2, t, 0)( O W t 吟4,再求得P, D , B 的PDE的法向量，再由题意得到平面DEB的一个法入的值.【解答】(1)证明：如图，取PB中点N，连结MN , AN .设二面角E- BD- C的大小为B,则【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定.【分析】(1 )取PB中点N，连结MN , AN •由三角形中位线定理可得四边形ADMN为平行四边形•由 AP丄AD , AB丄AD，由线面垂直的判定可得AD丄平面PAB •进一步得到 AN 丄MN .再由 AP=AB，得 AN丄PB,贝U AN丄平面PBC .又 AN // DM，得 DM丄平面 PBC;•/ M 是 PC 中点，• MN // BC , MN=£B C=2 .又••• BC // AD , AD=2 ,••• MN // AD , MN=AD , •••四边形ADMN为平行四边形.•/ AP 丄 AD , AB 丄 AD , AP A AB=A ,• AD丄平面PAB .•/ AN ?平面 PAB, • AD 丄 AN，贝AN 丄 MN .•/ AP=AB , • AN 丄 PB，又 MN A PB=N , • AN丄平面PBC .口2"BD=O-‘* —r:齢戈尸0可取n2=(2, l rn2 *BE=O1^=°则cos 6 二18吕＜“],n2设平面PDE的法向量：=(x, y, z),nj p PD-2y-2E=0 □「DE 二2 二0，令y=2，贝U z=2 , x=t - 2,取平面PDE的一个法向量为：|= (2- t, 2, 2).又平面DEB即为xAy平面,故其一个法向量为'=(0, 0, 1),n r n2•/ AN // DM , ••• DM 丄平面 PBC；(2)解：存在符合条件的入以A为原点，「■方向为x轴的正方向，頁］方向为y轴的正方向，方向为z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设 E ( 2, t, 0)( O W t 制4, P (0, 0, 2), D ( 0, 2, 0), B (2, 0, 0),则一，正二—•：.解得t=3或t=1 ,•入=3或入9.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定.【分析】(I)推导出 BE丄AM BC丄AM由此能证明 AML平面BEC(H)由V AC=V E—ABC,能求出三棱锥 B- ACE的体积.(川)在平面 QEC内作QNL EC QN交CE于点N QN与AM共面，设该平面为 a，推导出四边形AMN健平行四方形，由此能求出AQ【解答】证明：(I)：平面ABEDL平面ABC平面ABEC T平面ABC=ABBE! AB, BE?平面 ABED••• BE丄平面 ABC 又 AM?平面 ABC 二 BE X AM 又AB=AQ M是BC的中点，• BC丄AM 又 BO A BE=B BC?平面 BEC BE?平面 BEC• AM!平面 BEC解：（n）由（I）知，BE丄平面 ABC •- h=BE=6在 Rt△ABM中 , f,- 叮-1，又3iASC^-XBC X Afflux 6X 2V B-ACE - “E-JiBC亏X S AAEC X（川）在平面 QEC内作QN丄EC QN交CE于点N•••平面 QECL平面 BEC平面 QE6平面BEC- EC•QN!平面 BEC 又 AM L平面 BEC • QN/ AM•QN与AM共面，设该平面为 a, •/ ABED是长方形，• AQ// BE又Q?平面BEC BE?平面BEC • AQ//平面BEC又 AC? a, aA平面 BEC=MN • AQ// MN 又 QN/ AM•四边形AMNd平行四方形.• AQ=MN•/ AQ// BE, AQ// MN • MIN/ BE,又 M是 BC的中点.•二3 ,• AQ=MN=,3【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明EA丄平面EBC（2）求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可.【解答】（1 ）•••平面 ABE!平面ABCD且AB丄BC,• BC丄平面ABE•/ EA?平面 ABE • EA L BC,•/ EA L EB, EB A BC=B• EA丄平面EBCX12X6二2410.设平面BED的法向量为IT=(x , y , z),设x=1,则y= —1, z=1,则=(1, —1, 1),则|cos V IT，| EA p m=戈]lEAlIml(2 )取AB中0,连接EQ DO •/ EB=EA 二 EQL AB.•••平面 ABEL平面 ABCD••• EO丄平面 ABCD •/ AB=2CD AB// CD, AB丄 BC,• DO L AB,建立如图的空间直角坐标系O- xyz如图：设 CD=1,则 A ( 0 , 1 , 0) , B ( 0, - 1 , 0) , C ( 1 , - 1 , 0) , D (1 , 0 , 0) , E ( 0 , 由（1）得平面EBC的法向量为 .=（0 , 1, - 1）,m*BE=0【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定.【分析】（1）证明四边形 BCDQ1平行四边形，得出 OBLAD再证明BO L平面PAD从而证明平面POBL 平面PAD円[（2）解法一：由征■二1, M为PC中点，证明N是AC的中点，MIN/ PA PA//平面BMO口|[解法二：由PA//平面BMO证明N是AC的中点，M是PC的中点，得匚丄二.【解答】解：（1）证明：T AD// BC, BG令疝,O为AD的中点，•四边形BCDO^平行四边形,••• CD// BQi[故二面角C- BE- D的余弦值是二又•••/ ADC=90 ,•••/ AOB=90，即 OBL AD又•••平面 PADL平面 ABCD且平面 PAD A平面 ABCD=A,•BO丄平面PAD又：BO?平面POB•平面POBL平面PAD(2)解法一：農二:L,即M为PC中点，以下证明：M L连结AC,交BO于 N连结MN•/ AD// BC, O为 AD中点，AD=2BC•N是AC的中点，又点M是棱PC的中点，• MN/ PA•/ PA?平面 BMO MN 平面 BMO•PA//平面 BMO解法二：连接 AC,交BO于N,连结MN•/ PA//平面 BMO 平面 BMO A平面 PAC=MN•PA// MN又••• AD// BC O为 AD中点，AD=2BC•N是AC的中点，•M是PC的中点，则器二:L12.【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定.【分析】(1)连结AF,由已知条件推导出面ABCL面BBCC,从而AF丄B i F,由勾股定理得BF丄EF.由此能证明平面 ABF丄平面 AEF(2)以F为坐标原点，FA, FB分别为x, y轴建立直角坐标系，利用向量法能求出二面角B - AE- F的余弦值.【解答】(1)证明：连结 AF,v F是等腰直角三角形△ ABC斜边BC的中点，•AF L BC.又•.•三棱柱 ABC- A1B1C1为直三棱柱，•面 ABCL面 BBCC,•AF丄面 BBGC, AF L BF.…贝U cos 0 = |cos v又 AF n EF=F, • BF 丄平面 AEF.而B i F?面ABF ，故：平面 ABF 丄平面 AEF.（2）解：以F 为坐标原点，FA, FB 分别为x, y 轴建立直角坐标系如图, 设 AB=AA=1，设二面角B i - AE- F 的大小为0，由图可知0为锐角,衍酹+盼◎••• B i F 丄 EF.B i - AE- F 的余弦值为 •所求二面角13.,1) 则 F ( 0，0，0)，A (! 0i 0)， (—由（1）知，BF 丄平面 AEF,取平面 AEF 的法向量: ：1- I = (0，设平面B i AE 的法向量为丘=（氛齐Z ）， 取 x=3,得T, 2^2).由 |=.设平面BDE的法向量n r「•「二，由□|p DB=2V3y=0□1 •DE=i-h/3y+2z=0，可取|COS〈口「OF >1=V2V&xVl+h2 22+h,? h=3,，可取■■:--・ 1 ‘,【考点】MT二面角的平面角及求法；LW直线与平面垂直的判定.【分析】(I )只需证明DB丄AC, BD丄AE,即可得BD丄平面ACFE(II )取EF的中点为 M以0为坐标原点，以 0A为x轴，以0B为y轴，以0M为z 轴，建立空间直角坐标系，则■/=)：, D(0,- . ； 0), F (- 1, 0, h), E (1, 0, 2,则二］、；.)：，一「 1 . . / ,利用向量法求解【解答】(I )证明：在菱形 ABCD中，可得DB丄AC,又因为 AE!平面 ABCD - BDLAE,且 AE n AC=A BD丄平面 ACFE(II )解：取EF的中点为 M以O为坐标原点，以 OA为x轴，以OB为y轴，以OM为z轴，建立空间直角坐标系，则|：口寸0 门，,D (0, - -., 0), F (- 1, 0, h), E ( 1, 0, 2)，则DB=(O S2阿0), DE=C1,2),乔（占0. 1）1,故F ( - 1, 0, 3),；厂.-./ <. •；, J•，设平面BFE的法向量为巴・BE二曰飞垢b十k二0 n2・BF"-a-'/sb+3c=0吓」工■/；<?'■_5- ；-3 设平面DFE的法向量为'-一口 $ *■ DE =y+Vsy^2z-0 —- -- * L ，可取Ho——乩2j^）, n3■ DF二-耳+廣尸32=0101_■- r：■• • ■'=COS面角B- EF- D的余弦值为+i = (x , y , z )是平面 AFC 的法向量，则n •AC=2s+2z=0则 ______、m * AP-s _hy+z=0二 COS V .,；i >= _ ______________________________| m | | n | V5 (h+1【考点】MT 二面角的平面角及求法；LY:平面与平面垂直的判定. 【分析】(I)证明： AD 丄平面ABFE 即可证明平面 PADL 平面 ABFE(H)建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系即可求正四棱锥P -ABCD 的高.【解答】(I)证明：直三棱柱ADE- BCF 中, AE 丄平面ADE所以：AB 丄AD,又 ADL AF,所以：AD 丄平面ABFE AD?平面PAD所以：平面 PADL 平面 ABFE-. (n)T ADL 平面ABFE •••建立以A 为坐标原点，AB, AE AD 分别为x , y , z 轴的空间直 角坐标系如图： 设正四棱锥 P- ABCD 勺高为h, AE=AD=2则 A ( 0, 0, 0), F (2, 2, 0), C (2, 0, 2),匚=(2, 2, 0) , ■= (2 , 0 , 2),i '■= ( 1 , - h , 1),令 x=1，则 y=z= - 1,即［i= (1，- 1,- 1), 设|「、= (x, y, z)是平面 ACP 的法向量，，令 x=1，则 y= - 1, z=- 1 - h,即 | = (1，- 1，- 1 - h), •••二面角C- AF- P 的余弦值是1+1414-h得h=1或h=-岸(舍)E15.（2）推导出平面 则正四棱锥P-ABCD 勺高h=1.【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定.【专题】证明题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离.【分析】（1）推导出BC 丄AC, BC 丄AC, BA 丄AC,由此能证明 AC 丄平面ABC.AiAB 丄平面 BCF 过C 作CH 丄BF 于H,贝U CH 丄面 AAB,求出 CH=丄上二 过H 作HGL AiB 于G 连CG 贝U CGL AB,从而/ CGH 为二面角 A- AB-C 的平面角，由此能求出二面角 A- A i B-C 的平面角的余弦值.【解答】证明：（1 ）因为AD 丄平面ABC 所以，平面 AA C C 丄平面 ABC又BC 丄AC 所以，BC 丄平面 AAC i C,得BC 丄AC , 又BA 丄AC,所以，AG 丄平面A i BC.解：（2）因为AC 丄AC,所以四边形 AAC C 为菱形，故 AA=AC=2又D 为AC 中点，知/ A i AC=60 ,取AA 的中点F,贝U AA 丄平面BCF,从而，平面A i AB 丄平面BCF, 过 C 作 CHL BF 于 H,贝U CH!面 A AB,在 Rt △ BCF BC=2, CF=：；,故 CH= 」 过 H 作 HGL A i B 于 G 连 CG 贝U CGL A B,从而/ CGH 为二面角 A- A i B- C 的平面角，在 Rt △ A i BC 中，A i C=BC=2 所以，CG=,在Rt△CGH中,sin/CG记一:-【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.。