高中立体几何证明平行的专题训练
深圳市龙岗区东升学校一一罗虎胜
立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为
线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法: （1）通过“平移”。
（2）利用三角形中位线的性质。
（3）利用平行四边形的性质。
（4）利用对应线段成比例。
（5）利用面面平行，等等。
⑴通过“平移”再利用平行四边形的性质
1. 如图，四棱锥P—ABCD的底面是平行四边形，点E、F 分另为棱AB、PD的中点.求证：AF //平面PCE;
P
分析：取PC的中点G，连EG.，FG，则易证AEGF是平行四边形
F
E A
（第1题
图）
2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB // CD，AB 丄BC，AB = 1，BC = 2，CD = 1 + -•. 3，过A作AE丄CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ ADE沿AE折叠，使得DE 丄EC.
（I）求证：BC 丄面CDE ; （H）求证：FG //面BCD ;
分析：取DB的中点H，连GH,HC贝惕证FGHC是平行四边形
的中点,证明：EB//平面PAD ;
分析：：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证 ABEF 是
平行四边形
(2)利用三角形中位线的性质
5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱 AD
AM //平面 EFG 。
3、已知直三棱柱 ABC — A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为 AA 1, CC 1, AB 的中点, M 为BE 的中点,AC 丄BE.求证： (i) C 1D 丄BC ；
(n) C 1D //平面 B i FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是
MF//EA
D
A
A
1
4、如图所示,四棱锥P ABCD 底面是直角梯形，
BA AD, CD AD ,CD=2AB, E 为 PC
分析：连 MD 交GF 于H ，易证EH 是厶AMD 的中位线 6、如图，ABCD 是正方形，0是正方形的中心， E 是PC C
的中点。
求证：PA //平面BDE
7.如图，三棱柱ABC —A i B i C i中，D为AC的中点. 求
证：AB i//面BDC i ;
分析：连B i C交BC i于点E,易证ED是
△ B i AC的中位线
8、如图，平面ABEF Bl
平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,
1 i
BAD FAB 900, BC // AD，BE // AF，
2 2
(I)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(n) C,D,F, E四点是否共面？为什么？
G, H分别为FA, FD的中点
(•3)利用平行四边形的性质
9.正方体ABCD —A i B i C i D i中0为正方形ABCD的中心，
求证：D i O//平面A i BC i;
分析：连D i B i交A i C i于O i点，易证四边形OBB i O i
是平行四边形
M为BB i的中点,
1
10、在四棱锥 P-ABCD 中，AB// CD AB=丄DC, E 为PD 中点. 2
求证：AE//平面PBC 分析：取PC 的中点F ,连EF 则易证 ABFE 是平行四边形
BCD, EF //AE,FG//EC,EG//AC .AB = 2EF .
(I)若M 是线段AD 的中点，求证：GM //平面ABFE (H)若AC = BC =2AE ，求二面角A -BF - C 的大小.
(I )证法一：
因为 EF//AB , FG//BC , EG//AC , ACB 90 , 所以 EGF 90 , ABC s EFG. 由于 AB=2EF ，因此，BC=2FC ,
1
连接 AF ，由于 FG//BC , FG BC
2
因此FG//AM 且FG=AM ，所以四边形 AFGM 为平行四边形，因此 GM//FA 。
又FA 平面 ABFE , GM 平面ABFE ，所以 GM//平面AB 。
⑷利用对应线段成比例
分析：过 M 作ME//AD ，过 N 作NF//AD
在YABCD 中，M 是线段AD 的中点，则
AM//BC ，且 AM -BC
11、在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形，/
ACB= 90 ,EA 丄平面A
12、如图：S 是平行四边形 ABCD 平面外一点, M 、N 分别
是SA 、BD 上的点，且 AM SM
BN ND
求证：MN //平面SDC
D
A E
B
C
S
利用相似比易证 MNFE 是平行四边形
ABCD 与ABEF 交于 AB , M , N 分别为 AC 和BF 上的点且 AM=FN 求 证：
MN //平面BEC
分析：过 M 作MG//AB ，过 N 作NH/AB 利用相似比易证 MNHG 是平行四边形
(6) 利用面面平行
(1)求证： BE 平面PAC ;
(2)求证：
CM //平面 BEF ；
14、如图，三棱锥 P ABC 中，PB 底面 ABC , BCA 90°, PB =BC =CA , E 为 PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且AF 2FP .
分析：取AF 的中点N ，连CN 、MN ，易证平面 CMN//EFB
13、如图正方形 E。