不等式的解题归纳第一部分含参数不等式的解法例1解关于x的不等式2x2• kx _ k岂0例2 .解关于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0.2x2+2k x +k例3、若不等式2x22kx1 :::1对于x取任何实数均成立，求k的取值范围.4x +6x +3例4若不等式ax2+bx+1>0的解集为｛x | -3<x<5 ｝，求a、b的值.例5已知关于x的二次不等式：a x2+(a-1)x+a-1<0的解集为R,求a的取值范围.例6、1•定义在R上的函数f(x )既是奇函数，又是减函数，且当日€ 0,- I时，有I 2丿f cos2v • 2msif -2m-2 0恒成立，求实数m的取值范围.【课堂练习】2 21、已知(a -1) x -(a-1)x-1<0的解集为R,求实数a的取值范围.22、解关于x的不等式：x ，(a-2)x a 0.3、解关于x的不等式：ax2 ax「1 ：：：0.【课后练习】2 11 .如果不等式x —2ax+ 1> (x- 1)2对一切实数x都成立，a的取值范围是____________________2 .如果对于任何实数x,不等式kx2—kx+ 1>0 (k>0)都成立，那么k的取值范围是3.对于任意实数x,代数式(5 —4a—a2)x2—2(a —1)x—3的值恒为负值，求a的取值范围+2 2 口 24 .设a、B是关于方程x —2(k —1)x + k+仁0的两个实根，求y=> + ■关于k的解析式，并求y 的取值范围.第二部分绝对值不等式1. (2010年高考福建卷)已知函数f(x) = |x —a|.(1)若不等式f(x)w 3的解集为｛x|—K x< 5｝，求实数a的值；⑵在(1)的条件下，若f(x) + f(x+ 5)> m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.2. 设函数f (x) =|x-1| |x-a|,(1 )若a = -1，解不等式f(x)_3 ；(2)如果- x R , f(x) —2，求a的取值范围3. 设有关于x的不等式lg(j x + 3+|x-7»a(1 )当a=1时，解此不等式； (2)当a 为何值时，此不等式的解集为 R4•已知 g(x) =|x —1| — |x — 2|。

(1)化简 g(x)，并求 g(x)的值域； 【课堂练习】1. 已知关于x 的不等式|x + a 汁|x —1汁a<2 011(a 是常数)的解是非空集合，则a 的取值范围 是()A . ("，2 011)B . ("，1 005)C . (2 011，+^)D . (2 010，+^)12. 若不等式x +xl>|a — 2|+ 1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是()A . (1,3)B . (2,4)C . (5,6)D . ( — 2,4)3 .若不等式5 — x>7|x + 1|和不等式ax 2 + bx — 2>0的解集相同，则实数a ，b 的值为( )A . a = — 8， b =— 10B . a =— 1，b = 9C . a = — 4，b = — 9D . a = — 1，b =22 14 .已知a € R ，若关于x 的方程x + x + |a —才+ |a|= 0有实数根，则a 的取值范围是 _________ 5.设函数 f(x)=|2x-1|+x+3,【课后练习】则f(-2)=;若f(x) < 5,则x 的取值范围是.1 .函数y = |x + 1|+ |x + 3|的最小值为()A . 2 B. 2 C . 4 D . 6 2.不等式|5x — x 2|<6的解集为( )2x y -6 一0例2、不等式组x ，y-3乞0表示的平面区域的面积为()7^2A 、4B 、1C 、5D 无穷大A . (— 1,2)B . (3,6)C . (— 1,2) U (3,6] 3 .不等式|2x — 1|— x<1的解集是()A . (0,2)B . (0,2]C . (— 2,0)D . (— 2,0] 4 .不等式|x|+ x — 1|<2的解集是()1 1 \ ， 1A .(",—尹 <2，+^)B . (^]第三部分线性规划与不等式 一、 求线性目标函数的取值范围x 乞2例1、 若x 、y 满足约束条件 y _ 2 ，则z=x+2yx y _ 2A 、[2,6]B 、[2,5]C 、[3,6]D 、( 3,5]D . (— 1,2) U (3,6)C . (-23D . [|，+^)的取值范围是 ()、求可行域中整点个数3、满足凶+ |y| < 2的点(x , y )中整点(横纵坐标都是整数)有() A 、9 个 B 、10 个 C 、13 个 D 、14 个,求非线性目B 、10 个标函数的最值4、已知x 、2x y - 2 _ 0Iy 满足以下约束条件 x_2y_0 〕3x 一 y 一3_ 0,则 z=x2+y 2的最大值和最小值分别(A ) 13 , 1 13 , 2 C 、4 13 ,-5D 、、、13 ,2.5 5已知变量 x . 9 [5, 6]fx — y + 2< 0,y 满足约束条件 x > 1, 则、x + y — 7< 0,9(B ) (—^, 5] U [6 , +3 (C )的取值范围是((—3 3] U [6 ,+^)(D ) [3 , 6]、求线性目标函数中参数的取值范围x y _ 5I 『6、已知x 、y 满足以下约束条件 x_y ，5^0,使x 乞3z=x+ay(a>0)A 、取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( A 、 一 3 7、已知 |2x — y + m| < 3 围是 (-3,6)B 、 3C 、D 、() B 、( 0,6 )—1D 、1 表示的平面区域包含点(0,0 )和(一1,1 ),m 的取值范C 、( 0,3 )D ( -3,3)f2x+y 6>0【课后练习题】 1•设x , y 满足约束条件「则目标函数z=x+y 的最大值是(B . 4C . 6D . 8x+3y - 3^0-二丁 -■'且x+y 的最大值为9，则实数m=()x _ nty+1^02•若实数x , y 满足不等式组“ A . - 2 B . - 1 C . 13•若 2m +4n < 2 】，则点(m , A .直线x+y=1的左下方C .直线 x+2y=1D . 2n )必在(B .直线 的左下方 D .直线4•在平面直角坐标系中, 若不等式组)x+y=1的右上方 x+2y=1的右上方\+y- 1>0 *-(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于ax - y+lAO值为( )围为( )AC1 D J C f C 1 A . 0v a v — B . a > C . a >— D . 0v a v33 32第四部分均值不等式 一.均值不等式2 2a 2b 2 _2ab ⑵ 若a,b ・R ，则ab —(当且仅当a = b 时取“=”)_ 22 23.若a,b ・R ，则（」_^）2岂3 L （当且仅当a2 2注：（1）两个正数 “积定和最小，和定积最大”. 【模块1】“1 ”的巧妙替换3 4 1I 例"已知x 0,y 0，且x-，则的最小值为34 x【变式1】已知x 0,y 0，且x y ，则的最小值为4 x y【变式2】（2013年天津）设a ^2,b 0 ,则丄 •回的最小值为 2|a| b2 1【例2】（2012河西）已知正实数a,b 满足1，则a 2b 的最小值为 _________ . _______a b【变式】已知正实数a,b 满足-1 =1，则a 2b ab 的最小值为5•若x , y 满足约束条件丿x+y^lx - y> - 1目标函数z=ax+2y 仅在点（1，0）处取得最小值，则 a 的取值范围是 2x - yC26•如果点 7. A •(-1, 2)P 在平面区域 B . (-4, 2) C .r2x-y+2>0* 土 - 2y+l<0 上,点 x+y- 2<0(-4, 0] D •(- 2, 4)2 2Q 在曲线x + （y+2） =1上，那么|PQ|的最小值为（■- 1 B • 8•已知约束条件亠丄-1 C . 2■: - 1 3y+4>0x+2y- 1>0若目标函数z=x+ay （ a%）恰好在点（2, 2）处取得最大值，则 a 的取值范 3x+y- 8<0LD .'：- 11. ( 1)若 a,b R ，2.⑴若 a,b R ，专亠b （当且仅当⑵若a, b R ，2 （当且仅当a =b 时取“=”)二b 时取“=”）（2）求最值的条件“一正，二定，三等”a b【例3】已知x 0, y 0，且2x ■ 8y - xy = 0，则x y的最小值为【例4】已知正数x, y满足x • 2y =1，贝U 的最小值为xy【例5】已知a . 0,b . 0 ,若不等式- -—总能成立，则实数m的最大值为a b 2a+b【例6】（2013年天津市第二次六校联考）已知直线,2ax by =1 a,b = 0与圆x2 y2=1相交于A,B两点，O为坐标原点，且△ AOB为直角三角形，则4 •的最小值为a b【例7】（2012年南开二模）若直线2ax -by ^0 a . 0,b . 0始终平分圆x2 y2 2x-4y T = 0的周长，则1 1的最小值为a b【例8】设即殳分别为具有公共焦点F1, F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足2 2PF1PF2=0，贝y 4e e2的最小值为1 1【例9】已知x 0, y - 0,lg 2x lg 4^ lg 2，则的最小值是（）x yA. 6 B . 5 C . 3 2.2【例10】已知函数f x B4^1，若捲4x +1为【模块二】“和”与“积”混合型【例1】（2012年天津）设m, R,若直线l : mx ny「1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于B,且I与2 2圆x y =4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，贝y AOB面积的最小值为1 1【例2】设x, y € R , a >1,b >1，若a x =b y =2 , a+2b = 8，则一+—的最大值为_____________ .x y【例3】若实数x, y满足x2 y2 x^1，则x y的最大值为.【例4】（2013年南开一模）已知正实数a,b满足a b 2a^1，则a b的最小值为… " 2 20,x2 0，且f X1 f x? =1，则f x1 x2 的最小值【例5】设m, n € R，若直线（m十1 ）x +（n +1 ）y - 2 = 0与圆（x—1） +（y—1）=1相切，则m+ n的取值范围是（）（A）卩 - ■ 3,1 ■ ■ 3 寸（B）-:： ,1 - I- 3 - 11 ■ ■ 3, ■::（C）2-2 2,2 2迈（D） -：：,2-2 2 一2 2 2, ：：1 1【例6】已知x 1,y .1，且一In x, —,ln y成等比数列，则xy的最小值为4 4【例7】（2015天津）已知a . 0,b .0,ab=8,则当a的值为 ________________ 时log2a log22b取得最大值. 【例8】（2011年天津）已知log 2 a log2b -1，则3a - 9b的最小值为________________【例9】下列说法正确的是（）A. 函数y = x •—的最小值为厶2XB. 函数y =sin x ——（0 ：：x =）的最小值为2 2sin x2C. 函数y = x + —的最小值为272xD函数y®灵的最小值为2 2【例10】设x, y R,且x y =5,则3x 3y的最小值是（）A. 10 B . 63【课堂练习】5 彳1 ：已知x ，求函数y =4x -2 • 1的最大值。