不等式的解题归纳第一部分 含参数不等式的解法 例1解关于x 的不等式022≤-+k kx x例2．解关于x 的不等式：(x-2x +12)(x+a)<0.例3、若不等式13642222<++++x x kkx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值范围.例4若不等式ax 2+bx+1>0的解集为{x ︱-3<x<5},求a 、b 的值.例5 已知关于x 的二次不等式：a 2x +(a-1)x+a-1<0的解集为R ，求a 的取值范围.例6、1．定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有 ()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.【课堂练习】1、已知(2a -1) 2x -(a-1)x-1<0的解集为R ，求实数a 的取值范围.2、解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x3、解关于x 的不等式：.012<-+ax ax【课后练习】1．如果不等式x 2－2ax ＋1≥21(x －1)2对一切实数x 都成立，a 的取值范围是2．如果对于任何实数x ，不等式kx 2－kx ＋1>0 (k>0)都成立，那么k 的取值范围是3．对于任意实数x ，代数式 (5－4a －2a )2x －2(a －1)x －3的值恒为负值，求a 的取值范围4．设α、β是关于方程 2x －2(k －1)x ＋k ＋1=0的两个实根，求 y=2α ＋2β关于k 的解析式，并求y 的取值范围第二部分 绝对值不等式1．(2010年高考福建卷)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．2．设函数()|1|||f x x x a =-+-，（1）若1a =-，解不等式()3f x ≥； （2）如果x R ∀∈，()2f x ≥，求a 的取值范围3．设有关于x 的不等式()a x x >-++73lg（1）当1a =时，解此不等式； （2）当a 为何值时，此不等式的解集为R4．已知()|1||2|g x x x =---。

（1）化简()g x ，并求()g x 的值域；【课堂练习】1．已知关于x 的不等式|x ＋a |＋|x －1|＋a <2 011(a 是常数)的解是非空集合，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，2 011)B ．(－∞，1 005)C ．(2 011，＋∞)D ．(2 010，＋∞) 2．若不等式|x ＋1x |>|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(2,4)C ．(5,6)D ．(－2,4)3．若不等式5－x >7|x ＋1|和不等式ax 2＋bx －2>0的解集相同，则实数a ，b 的值为( )A ．a ＝－8，b ＝－10B ．a ＝－1，b ＝9C ．a ＝－4，b ＝－9D ．a ＝－1，b ＝24．已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋|a －14|＋|a |＝0有实数根，则a 的取值范围是________．【课后练习】1．函数y＝|x＋1|＋|x＋3|的最小值为()A．2 B. 2 C．4 D．62．不等式|5x－x2|<6的解集为()A．(－1,2) B．(3,6) C．(－1,2)∪(3,6] D．(－1,2)∪(3,6) 3．不等式|2x－1|－x<1的解集是()A．(0,2) B．(0,2] C．(－2,0) D．(－2,0]4．不等式|x|＋|x－1|<2的解集是()A．(－∞，－12)∪(12，＋∞) B．(－∞，－12] C．(－12，32) D．[32，＋∞)第三部分线性规划与不等式一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个四,求非线性目标函数的最值例4、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，45D、5例5， 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则 yx 的取值范围是（ ）.（A ）[95，6] （B ）（－∞，95]∪[6，＋∞）（C ）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D ）[3，6]四、求线性目标函数中参数的取值范围例6、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1例7、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是 （ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3）【课后练习题】1.设x ，y 满足约束条件则目标函数z=x+y 的最大值是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．82.若实数x ，y 满足不等式组且x+y 的最大值为9，则实数m=（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．23.若2m +4n ＜2，则点（m ，n ）必在（ ） A ．直线x+y=1的左下方 B ．直线x+y=1的右上方 C ．直线x+2y=1的左下方 D ．直线x+2y=1的右上方4.在平面直角坐标系中，若不等式组（a 为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为（ ） A ．﹣5 B ．1C ．2D ．35.若x ，y 满足约束条件目标函数z=ax+2y 仅在点（1，0）处取得最小值，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，2）B ．（﹣4，2）C ．（﹣4，0]D ．（﹣2，4）6.如果点P 在平面区域上，点Q 在曲线x 2+（y+2）2=1上，那么|PQ|的最小值为（ ）7. A ．﹣1 B ．﹣1 C ．2﹣1 D ．﹣18.已知约束条件若目标函数z=x+ay （a ≥0）恰好在点（2，2）处取得最大值，则a 的取值范围为（ ）A ．0＜a ＜B ．a ≥C ．a ＞D ．0＜a ＜第四部分 均值不等式 一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） (2)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）两个正数 “积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三等” 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 .【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4xx y +的最小值为 .【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则1||2||a a b+的最小值为 .【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足211a b+=，则2a b +的最小值为 .【变式】已知正实数,a b 满足211a b+=，则2a b ab ++的最小值为 .【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 .【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则8x yxy+的最小值为 .【例5】已知0,0a b >>，若不等式212ma b a b+≥+总能成立，则实数m 的最大值为 .【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则2212a b+的最小值为 .【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则11a b+的最小值为 .【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，则22214e e +的最小值为【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2xyx y >>+=，则11x y+的最小值是（ ）A ．6B ．5C ．3+．【例10】已知函数()4141x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 .【模块二】“和”与“积”混合型【例1】（2012年天津）设,m n R ∈,若直线:10l mx ny +-=与x 轴相交于点A,与y 轴相交于B ，且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为 .【例2】设,x y R ∈，1,1a b >>，若2x y a b ==，28a b +=，则11x y+的最大值为_______.【例3】若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值为 .【例4】（2013年南开一模）已知正实数,a b 满足21a b ab ++=，则a b +的最小值为 .【例5】设,m n R ∈，若直线()()1120m x n y +++-=与圆()()22111x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ）（A ）1⎡⎣ （B ）(),11⎡-∞⋃+∞⎣（C ）2⎡-+⎣（D ）(),22⎡-∞-⋃++∞⎣【例6】已知1,1x y >>，且11ln ,,ln 44x y 成等比数列，则xy 的最小值为 .【例7】（2015天津）已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最大值.【例8】（2011年天津）已知22log log 1a b +≥，则39ab+的最小值为 .【例9】下列说法正确的是（ ）A ．函数xx y 2+=的最小值为22 B ．函数)0(sin 2sin π<<+=x xx y 的最小值为22C ．函数xx y 2+=的最小值为22 D ．函数xx y lg 2lg +=的最小值为22【例10】设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是（ ） A ．10 B ．63 C ．46 D ．183【课堂练习】 1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。