第七节三角函数的化简与求值
[选题明细表]
知识点、方法题号
三角函数式的化简15
三角函数的求值1,2,3,5,9,10,11,13
三角变换的综合应用4,6,7,8,12,14
一、选择题
1.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α=,则cos 2α等于( B )
(A)(B)(C)-(D)-
解析:因为sin α=,所以cos 2α=1-2sin2α=1-2×()2=.故选B.
2.设α为锐角,若cos(α+)=,则sin(2α+)的值为( A )
(A)(B)(C)(D)
解析:因为α为锐角,即0<α<,
所以<α+<+=.
因为cos(α+)=,
所以sin(α+)=.
所以sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)
=2××
=.
cos(2α+)=2cos2(α+)-1=.
所以sin(2α+)=sin(2α+-)
=sin(2α+)cos -cos(2α+)sin
=×-×
=.
故选A.
3.若α∈(,π),且3cos 2α=sin(-α),则sin 2α的值为( D )
(A)(B)-(C)(D)-
解析:cos 2α=sin(-2α)
=sin[2(-α)]
=2sin(-α)cos(-α),
代入原式,得6sin(-α)cos(-α)=sin(-α),
因为α∈(,π),所以cos(-α)=,
所以sin 2α=cos(-2α)=2cos2(-α)-1=-. 故选D.
4.函数y=的单调递增区间是( A )
(A)(2kπ-π,2kπ+)(k∈Z)
(B)(2kπ-,2kπ+)(k∈Z)
(C)(2kπ-,2kπ-)(k∈Z)
(D)(kπ-,kπ+)(k∈Z)
解析:y==
=
=
=tan(+),
当+∈(kπ-,kπ+),k∈Z时,函数为增函数, 此时x∈(2kπ-,2kπ+),k∈Z.
故选A.
5.函数f(x)=sin x-cos(x+)的值域为( B )
(A)[-2,2] (B)[-,]
(C)[-1,1] (D)[-,]
解析:f(x)=sin x-cos x+sin x
=(sin x-cos x)
=sin(x-).
因为x∈R,所以x-∈R,
所以f(x)∈[-,].故选B.
6.设α,β∈[0,π],且满足sin αcos β-cos αsin β=1,则sin (2α-β)+sin(α-2β)的取值范围为( A )
(A)[-1,1] (B)[-2,1]
(C)[-1,2] (D)[-2,2]
解析:由sin αcos β-cos αsin β=1,得sin(α-β)=1,
又α,β∈[0,π],所以α-β=,
所以
即≤α≤π,
所以sin(2α-β)+sin(α-2β)
=sin(2α-α+)+sin(α-2α+π)
=cos α+sin α
=sin(α+).
因为≤α≤π,
所以≤α+≤,
所以-1≤sin(α+)≤1,
即取值范围为[-1,1].故选A.
7.已知2sin θ=1+cos θ,则tan 等于( C )
(A)2 (B)
(C)或不存在(D)不存在
解析:4sin cos =2cos2,
所以cos =0或2sin =cos ,
所以tan =或不存在.
故选C.
8.函数y=(acos x+bsin x)cos x有最大值2,最小值-1,则实数 (ab)2的值为( C )
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
解析:y=(acos x+bsin x)cos x
=acos2x+bsin xcos x
=a+sin 2x
=sin(2x+φ)+,
所以
解得a=1,所以a2=1,b2=8,
所以(ab)2=8.故选C.
二、填空题
9.已知α∈(0, ),β-α∈(0, ),sin α=,cos (β-α)=,则sin (β-α)= ,sin β= .
解析:因为β-α∈(0, ),cos(β-α)=,
所以sin(β-α)==.
同理可得cos α=,
所以sin β=sin(β-α+α)=sin(β-α)cos α+cos(β-α)sin α= .
答案:
10.已知锐角α,β满足cos α=,tan β=3,则tan(α+
β)= ,α+β= .
解析:锐角α,β满足cos α=,
所以sin α==,所以tan α=2.
因为tan β=3,则tan(α+β)==-1,
锐角α,β满足0<α+β<π,
所以α+β=.
答案:-1
11.(2019·温岭高三模拟)已知0<α<,且sin α=,则tan(α+ π)= ,= .
解析:因为α为锐角,且sin α=,
所以cos α=,tan α=,
所以tan (α+)=tan (α+)
=
==7,
所以=
==.
答案:7
12.在△ABC中,A,B,C是其三个内角,设f(B)=4sin B·cos2(-)+ cos 2B.当f(B)-m<2恒成立时,实数m的取值范围是.
解析:原式=4sin B·+cos 2B
=2sin B(1+sin B)+(1-2sin2B)
=2sin B+1.
因为f(B)-m<2恒成立,
所以2sin B+1-m<2恒成立,
即m>2sin B-1恒成立.
因为0<B<π,
所以0<sin B≤1.
所以-1<2sin B-1≤1,故m>1.
答案:(1,+∞)
13.已知cos4α-sin4α=,且α∈(0,),则cos(2α+)= .
解析:因为cos4α-sin4α=(sin2α+cos2α)(cos2α-sin2α)=,
所以cos 2α=.
又α∈(0,),
所以2α∈(0,π),
所以sin 2α==.
所以cos(2α+)=cos 2α-sin 2α
=×-×
=.
答案:
三、解答题
14.已知函数f(x)=(2cos2x-1)·sin 2x+cos 4x.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间;
(2)若α∈(0,π),且f(-)=,求tan(α+)的值. 解:(1)f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+cos 4x
=cos 2xsin 2x+cos 4x
=(sin 4x+cos 4x)
=sin (4x+),
所以f(x)的最小正周期T=.
令2kπ+≤4x+≤2kπ+,k∈Z,
得+≤x≤+,k∈Z.
所以f(x)的单调递减区间为[+,+],k∈Z.
(2)因为f(-)=,
所以sin(α-)=1.
因为α∈(0,π),-<α-<,
所以α-=,故α=.
因此tan(α+)===2-.
15.已知f(x)= (1+)sin2x-2sin(x+)·sin(x-).
(1)若tan α=2,求f(α)的值;
(2)若x∈[,],求f(x)的取值范围.
解:(1)f(x)=(sin2x+sin xcos x)+2sin(x+)·cos(x+) =+sin 2x+sin(2x+)
=+(sin 2x-cos 2x)+cos 2x
=(sin 2x+cos 2x)+.
由tan α=2,得sin 2α===.
cos 2α===-.
所以f(α)=(sin 2α+cos 2α)+=.
(2)由(1)得f(x)=(sin 2x+cos 2x)+ =sin(2x+)+.
由x∈[,],
得≤2x+≤.
所以-≤sin(2x+)≤1,
所以0≤f(x)≤,
所以f(x)的取值范围是[0,].。