数学(第 二 轮)专 题 训 练第九讲: 三角函数的化简与求值学校 学号 班级 姓名知能目标1. 掌握同角的三角函数的基本关系式: 掌握正弦,余弦的诱导公式;掌握两角和与两角 差的正弦,余弦,正切公式;掌握二倍角的在正弦，余弦,正切公式.2. 能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简,求值和恒等式证明.综合脉络三角变换是运算化简过程中运用较多的变换, 也是历年高考命题的热点. 提高三 角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简的方法和技能. 常 用的数学思想方法技巧如下:1. 角的变换: 在三角化简、求值、证明中, 表达式往往出现较多的相异角, 可根据角与角之 间的和差、倍半、互补、互余的关系, 运用角的变换, 沟通条件与结论中的差异, 使问题 获解.对角的变形如下:)2()2()(,2304560304515α-β-β+α=β-β+α=α=-=-=,)4()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α,)4(24α-π-π=α+π特别地, α+π4与α-π4为互余角, 它们之间可以互相转化, 在三角变形中使用频率高.2. 函数名称变换: 三角变形中, 常常需要变函数名称为同名函数. 如在三角函数中正余弦是基础, 通常化切、割为弦, 变异名为同名.3. 常数代换: 在三角函数运算、求值、证明中, 有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常 数“1”的代换变形有: α-α=α-α=α+α=222222cot csc tan sec cos sin 1.4. 幂的变换: 降幂是三角变换时常用方法, 对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的方法. 常用降幂公式有: 1cos sin ,22cos 1cos ,22cos 1sin 2222=α+αα+=αα-=α 等, 三角变换时, 有时需要升幂, 如对无理式α+cos 1常用升幂化为有理式, 升幂公式与降幂公式是相对而言的.5. 公式变形式: 三角公式是变换的依据, 应熟练掌握三角公式的直接应用, 逆用以及变形式 的应用. 如: )tan tan 1)(tan(tan tan ,sin 22sin cos β⋅αβ±α=β±ααα=α 等.(一) 典型例题讲解:例1. (1)当2x 0π<<时，函数x 2sin x sin 8x 2cos 1)x (f 2++=的最小值为 ( )A. 2B. 32C. 4D. 34(2) 已知=α=αcos ,32tan 则 .例2. 已知22tan =α, 求: (1) )4tan(π+α的值; (2)α-αα+αcos 2sin 3cos sin 6的值.例3. 已知A 、B 、C 的坐标分别为A )0,3( , B )3,0( , C )sin ,(cos αα , )23,2(ππ∈α. (1) 若|AC ||BC | =, 求角α的值; (2) 若1C B AC -=⋅, 求α+α+αtan 12sin sin 22的值.例4. 已知,0x 2<<π-51x cos x sin =+. (1) 求x cos x sin -的值; (2) 求xcot x tan 2x cos 2x cos 2x sin 22x sin 322++-的值.(二) 专题测试与练习: 一. 选择题1. =-15cot 15tan ( ) A. 2 B. 32+C. 4D. 32-2. 若,x 2sin )x (tan f = 则)1(f -的值为 ( ) A. 2sin - B. 1- C. 21D. 13. 已知=π-β=π+α=β+α)4tan(,223)4tan(,52)tan(那么 ( ) A. 51 B. 1813 C. 41 D. 22134. 若βα，均是锐角，且)cos(sin 2β-α=α, α与β的关系是 ( ) A. β>α B. β<α C. β=α D. 2π>β+α 5. 化简:22sin cos 1010)1cos 10170---= .A. 0B. 1-C. 1±D. 16. 已知,1027)4sin(=π-α且432π<α<π, 求)42tan(π+α的值． A. 3217 B. 1731C. 1731-D. 3117-二. 填空题 7. 若,31)6sin(=α-π 则=α+π)232cos( .8. 设α为第四象限的角, 若513sin 3sin =αα, 则=α2tan ___________.9. 已知α、β均为锐角, 且),sin()cos(β-α=β+α 则=αtan .10. 若71cos =α, )2,0(π∈α, 则=π+α)3cos(________ __.三. 解答题11. 已知α为第二象限的角, 53sin =α, β为第一象限的角, 135cos =β, 求)2tan(β-α的值.12. 化简:.)4(sin )4tan(21cos 222α+π⋅α-π-α .13. 已知向量)sin ,(cos θθ= m , 和),2,(),cos ,sin 2(ππ∈θθθ-= n且.528||=+ n m 求)82cos(π+θ的值.三角函数的化简与求值解答(一) 典型例题例1. 解：1. (1) D ; (2) －54. 例2. 解：(1) ∵22tan =α, ∴ 3441222tan 12tan2tan 2-=-⨯=α-α=α; 所以71341134tan 11tan 2tan tan 14tantan )4tan(=++-=α-+α=πα-π+α=π+α. (2) 由(1)34tan -=α, 所以672)34(31)34(62tan 31tan 6cos 2sin 3cos sin 6=--+-=-α+α=α-αα+α 例3. 解：(1)∵|AC ||BC | =, ∴点C 在x y =上, 则α=αcos sin .),23,2(ππ∈α .45π=α∴(2) ),sin ,3(cos AC α-α=),3sin ,(cos B C -αα=,1)3(sin sin )3(cos cos -=-αα+-αα∴ 则32cos sin =α+α 原式＝.95cos sin 2-=αα例4. 解：(1) 25241251x cos x sin 251x cos x sin -=-=⇒=+， 254925241)x cos x (sin 2=+=- ，又0x cos x sin 0x 2<-⇒<<π- ， 57x cos x sin -=-∴．(2) 原式125108)2512(59x cos x sin )]x sin x (cos 2[xcos x sin 1xsin 12xsin 22-=-⨯=+-=-+=．(二) 专题测试与练习 一.二. 填空题7. 97-; 8. 43-; 9. 1 ; 10. 1411-.三. 解答题11. 解：α是第二象限角，7242tan 43tan 54cos 53sin -=α⇒-=α⇒-=α⇒=α， β是第一象限角，253204)2tan(512tan 135cos =β-α⇒=β⇒=β12. 解：原式＝12cos 2cos )4cos()4sin(22cos )]4(2[sin )4tan(22cos 2=αα=α-πα-πα=α-π-πα-πα13. 解法一:)sin cos ,2sin (cos θ+θ+θ-θ=+ n m22)sin (cos )2sin (cos θ+θ++θ-θ=+ n m )sin (cos 224θ-θ+= )4cos(44π+θ+=)4cos(12π+θ+=由已知528||=+ n m ，得257)4cos(=π+θ 又1)82(cos 2)4cos(2-π+θ=π+θ所以2516)82(cos 2=π+θ0)82cos(898285,2<π+θ∴π<π+θ<π∴π<θ<π 54)82cos(-=π+θ∴解法二:n m n m n n m m n m n m ⋅++=+⋅+=+=+22)(22222]cos sin )sin 2([cos 2)cos )sin 2(()sin cos (2222222θθ+θ-θ+θ+θ-+θ+θ=)82(cos 8)]4cos(1[4)sin (cos 2242π+θ=π+θ+=θ-θ+=由已知528||=+ n m ，得54|)82cos(|=π+θ0)82cos(898285,2<π+θ∴π<π+θ<π∴π<θ<π54)82cos(-=π+θ∴。