直线的方向向量与平面的法向量判断线面位置关系一、直线的方向向量
空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定.
直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量。

1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量
为()
A．(1,2,3) B．(1,3,2)
C．(2,1,3) D．(3,2,1)
2．已知直线l过A(3,2,1)，B(2,2,2)，且a＝(2,0，x)是直线l的一
个方向向量，则x＝________.
考点1直线的方向向量的求解及应用
【例1】(1)已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的
一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.
(2)在空间直角坐标系中，已知点A(2,0,1)，B(2,6,3)，P是直线AB
上一点，且满足AP∶PB＝3∶2，则直线AB的一个方向向量为
________，点P的坐标为________．
1．应注意直线AB的方向向量有无数个，哪个易求求哪个．
2．利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的
位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置．
基础预备
1．若直线l1的方向向量a＝(1,3x，－2)，直线l2的方向向量b＝
(－2,2y,5)，且l1⊥l2，则xy＝________.
二、平面的法向量
如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面, 记作⊥，如果⊥，那么向量叫做平面的法向量.
1.平面的法向量是非零向量;
2.一个平面的法向量不是唯一的，其所有法向量都互相平行
3.向量是平面的法向量，若∥，则有
例1已知点A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,5)，求平面ABC的一个
法向量．
[思路点拨]可先求出一个法向量，再除以该向量的模，便
可得到单位法向量．
1．利用待定系数法求平面法向量的步骤
法向量。

的），求平面
（），（练习：已知单位ABC 3,5,4AC 1,2,2AB ==
考点2平面法向量的求解及应用
例2:在正方体1111ABCD A B C D -中，求
证：1DB 是平面1ACD 的法向量
变式：求平面1ACD 的一个法向量
2．求平面法向量的三个注意点
(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．
(2)取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个取特殊值，得
另两个值，就是平面的一个法向量．
(3)注意0：提前假定法向量n ＝(x ，y ，z )的某个坐标为某特定值
时，一定要注意这个坐标不为0.
练1 如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，
SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平
面SBA 与平面SCD 的法向量．
2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，C1D1的
中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的一个法向量．
确定平面的法向量通常有两种方法：
(1)几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直．
(2)几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法
求解平面的法向量．
三、利用的方向向量与平面的法向量判断线面位置关系
5．利用直线的方向向量和平面的法向量能够解决哪些位置关
[提示](1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)．
(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直
线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行．
(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)．
3．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面()
A．xOy平行B．xOz平行
C．yOz平行D．yOz相交
3．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系．
(1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)；
(2)平面α，β的法向量分别是u＝(1,3,0)，ν＝(－3，－9，0)．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若向量AB →是直线l 的一个方向向量，则向量BA →也是l 的一个方
向向量．( )
(2)若向量a 是直线l 的一个方向向量，则向量k a 也是直线l 的一个方向向量．( )
(3)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．( )
(4)一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．( )
(5)一个平面的法向量就是这个平面的垂线的方向向量．( )
2．已知直线l 过A (3,2,1)，
B (2,2,2)，且a ＝(2,0，x )是直线l
的一个方向向量，则x ＝( ) A ．2 B ．－2
C ．3
D ．－3
3．已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，试求平面α的一个法向量． 4．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝BB 1＝1，求平面ABC 1的一个法向量． 4.图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角
梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且 SA ＝
AB ＝BC ＝1，AD ＝12
，求平面SCD 与平面SBA 的一个法向量． 1．若两条直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)，则l 1与l 2的位置关系为________．
2．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：
(1)直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)；
(2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9，0)；
(3)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(1，－4，－
3)，u ＝(2,0,3)；
(4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)．
5.如图所示，四棱锥V －ABCD ，底面ABCD 为正方形，VA ⊥平
面ABCD ，以这五个顶点为起点和终点的向量中，求：
(1)直线AB 的方向向量；
(2)求证：BD ⊥平面VAC ，并确定平面VAC 的法向量．
2、如图所示，已知P 、Q 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面A 1B 1BA 和面ABCD 的中心．
证明：PQ ∥平面11CD B .
．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝BB 1＝1，求平面ABC 1的一个法向量．。