团风中学2015年春季高二年级五月份月考数学试题（理科）满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理叫（ ）A ．合情推理B ．演绎推理C ．类比推理D ．归纳推理2．已知)(x f =23x -62x +m （m 为常数），在[-2，2]上有最大值3，则此函数在[-2，2]上的最小值为（ ） A ．-37B ．-29C ．-5D ．-113．如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA 的模是（ ） A ．1B ．7C ．13D ．54．函数()f x 定义域为R ，(1)2f -=对x ∀∈R ，()2f x '>，则()24f x x >+的解集是（ ）A ．(1,1)-B ．(1,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．(,)-∞+∞5．若质点P 的运动方程为S(t)=2t 2+t （S 的单位为米，t 的单位为秒），则当t=1时的瞬时速度为（ ）A ．2米/秒B ．3米/秒C ．4米/秒D ．5米/秒 6．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的第50项（ ） A ．8B ．9C ．11D ．107．一圆的面积以10πcm 2/s 速度增加，那么当圆半径20cm r =时，其半径r 的增加速率u 为（ ） A ．12cm/sB ．13cm/sC ．14cm/sD ．15cm/s8．用反证法证明命题“a b ∈N ，，如果ab 可被5整除，那么a 、b 至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（ ） A ．a 、b 都能被5整除 B ．a 、b 都不能被5整除 C ．a 不能被5整除D ．a 、b 有1个不能被5整除9．如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +等于（ ）A ．23B ．43C ．123D ．8310．已知)(x f =x +3x , 且x 1+x 2<0, x 2+x 3<0, x 3+x 1<0则（ ）A ．f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)>0B ．f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)<0C ．f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)=0D ．f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)符号不能确定.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将答案填写在题中的横线上) 11．若函数3()3f x x x a =--有三个零点，则a 的取值范围是____________.12．3233(9)x x dx ---⎰的值为_________，2()(0)a f x a x=>在0x x =处导数为4-，则0x =____________.13．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数的公和. 已知数列{}n a 是等和数列，且12a =，公和为5，那么18a 的值为_________，这个数列前n 项和Sn 的计算公式为__________. 14．若a b ∈R ，，则复数22(45)(26)a a b b i -++-+-表示的点在第_________象限.15．物体A 的运动速度v 与时间t 之间的关系为21v t =-（v 的单位是m/s ，t 的单位是s ），物体B的运动速度v 与时间t 之间的关系为18v t =+，两个物体在相距为405m 的同一直线上同时相向运动．则它们相遇时，A 物体的运动路程为_________.三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16. （本小题满分12分）已知1a iz i-=-，0a >，复数()z z i ω=+的虚部减去它的实部所得的差为32，求实数a ．17．（本小题满分12分）如图在边长为4的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，在把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底盒子.问：切去的小正方形边长为多少时，盒子容积最大？最大容积1V 是多少？18．（本小题满分12分）在数列{}n a 中，113a =，且前n 项的算术平均数等于第n 项的2n －1倍（*n N ∈）. （1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想{}n a 的通项公式，并加以证明.19．（本小题满分12分）求由抛物线243y x x =-+-与它在点A （0，－3）和点B(3，0)的切线所围成的区域的面积.20．（本小题满分13分）已知函数)(x f =ax 3+cx +d (a≠0)在R 上满足 )(x f -=－)(x f ,当x =1时)(x f 取得极值－2. （1）求)(x f 的单调区间和极大值；（2）证明：对任意x 1, x 2∈(－1，1)，不等式12|()()|4f x f x -<恒成立.xyＯ19题21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x =，21(),02g x ax bx a =+≠. （1）若2b =，且函数()()()h x f x g x =-存在单调递减区间，求a 的取值范围； （2）当3,2a b ==时，求函数()()()h x f x g x =-的取值范围.团风中学2015年春季高二年级五月份月考数学试题参考答案（理科）1~5 DADBD 6~10DCBDB 11． (2,2)- 12.92π 2a±13. 3 51,225,2n n n S n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数 14．四 15. 72m16.解：()(1)1(1)1112222a i a i i a a i a a z i i --+++-+-====+-． 211111()222222a a a a a a az z i i i i ω+-++++⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∵；213222a a a ++-=∴，解得2a =±．又因为0a >，故2a =．17.设切去的正方形边长为x ，则焊接成的盒子的底面边长为4－2x ，高为x .所以1V =(4－2x )2·x =4(3x －42x +4x ),(0<x <2)∴1V '=4(32x －8x +4).令1V '=0得x 1=32 ,x 2=2（舍去）而1V '=12(x －32)(x －2)又当x <32时，1V '>0, 当32<x <2时，1V '<0∴当x =32时盒子容积最大，最大容积1V 是2712818．解析：（1）由已知113a =，123(21)nn a a a a n a n++++=-，分别取2,3,4,5n =，得：2111153515a a ===⨯， 312111()145735a a a =+==⨯，4123111()277963a a a a =++==⨯， 51234111()4491199a a a a a =+++==⨯所以数列的前5项是：113a =，2115a =，3135a =，4163a =， 5199a =（2）由（1）中的分析可以猜想1(21)(21)n a n n =-+.下面用数学归纳法证明：①当n=1时，公式显然成立.②假设当n k =时成立，即1(21)(21)k a k k =-+，那么由已知，得12311(21)1k k k a a a a a k a k +++++++=++，即21231(23)k k a a a a k k a +++++=+ 所以221(2)(23)k k k k a k k a +-=+即1(21)(23)k k k a k a +-=+，又归纳假设，得：11(21)(23)(21)k k k a k +-=+-(2k+1)所以11(21)(23)k a k k +=++，即当1n k =+时，公式也成立由①，②，对一切*n N ∈，都有1(21)(21)n a n n =-+成立.19.解析：24y x '=-+，1(0)4,(3)2k y y y '''====-，所以过点A （0，－3）和点B(3，0)的切线方程分别是43y 26y x x =-=-+和，两条切线的交点是（3,32），围成的区域如图所示：区域被直线32x =分成了两部分，分别计算再相加，得： 3333222233022[(43)(43)][(26)(43)]S x dx x x dx x dx x x dx =---+-+-+--+-⎰⎰⎰⎰33232233232200332211(23)(23)(6)(23)33x x x x x x x x x x =---+-+-+--+-94=即所求区域的面积是94.20．解：（1）由)(x f -=－)(x f (x∈R)得.d=0∴)(x f = ax 3+cx , )(x f '=ax 2+c. …………2分 由题设f(1)=－2为)(x f 的极值,必有)1(f '=0∴⎩⎨⎧=+=+030c a c a 解得a=1,c=－3∴)(x f ' =3x 2－3=3(x －1)(x+1) 从而)1(f '=)1(-'f =0. …………3分当x∈(－∞,－1)时, )(x f '>0则)(x f 在(－∞,－1)上是增函数; …………4分 在x∈(－1,1)时, )(x f '<0则)(x f 在(－1,1)上是减函数…………5分 当x∈(1,+∞)时, )(x f '>0则)(x f 在(1,+∞)上是增函数…………6分 ∴)1(-f =2为极大值. …………8分(2)由(1)知, )(x f =x x 33-在[－1,1]上是减函数,且)(x f 在[－1,1]上的最大值M=)1(-f =2,在[－1,1]上的最小值m= f(2)=－2. …………11分对任意的x 1,x 2∈(－1,1),恒有│)()(21x f x f -│<M－m=2－(－2)=4…………13分.21. 解析：（１）2b =时，21()ln 22h x x ax x =--，则2121()2ax x h x ax x x --+'=--= 因为函数()h x 存在单调递减区间，所以()0h x '<有解，即2210ax x x--+<，又因为0x >，则22100ax x x +->>有的解.①当0a >时，221y ax x =+-为开口向上的抛物线，22100ax x x +->>总有的解；②当0a <时，221y ax x =+-为开口向下的抛物线，22100ax x x +->>要有的解，所以440a ∆=+>，且方程2210ax x +-=至少有一个正根，所以10a -<<.综上可知，a 得取值范围是(1,0)(0,)-+∞.（2）3,2a b ==时，23()ln 22h x x x x =--，2221321()ax x x x h x x x --+--+'==， 令()0h x '=，则23210x x x --+=，所以213210,13x x x +-==-或（舍去）x1(0,)3131(,)3+∞ ()h x ' ＋ ０ － ()h x极大值。