安师大附中2020-2021学年第二学期高二年级理科数学试题一、单选题（每小题3分，共36分） 1.23242535⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯表示为（ ）A.2335AB.1323AC.1235AD.1335A2.若4名学生报名参加数学.物理.化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ） A.81种 B.64种 C.24种 D.6种3.5人站成一排，若甲.乙彼此不相邻，则不同的排法种数共有（ ）A.144B.72C.36D.12 4.5人排成一排照相，甲排在乙左边（可以相邻，也可以不相邻）的排法总数为（ ） A.30 B.60 C.120 D.240 5.用数字0，1，2，3可以组成无重复数字的四位偶数（ ）A.20个B.16个C.12个D.10个6.如图所示，在由二项式系数构成的杨辉三角中，第m 行中从左至右第14个数与第15个数的比为2∶3，则m =（ ）A.40B.50C.34D.327.若2020220200122020(12)(1)(1)(1)x b b x b x b x -=+-+-+⋅⋅⋅+-，则32020122320202222b b b b +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A.-1B.1C.0D.202021-8.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有不同的选法种数为（ ） A.420 B.660 C.840 D.8809.2020154-被7除后余数是（ ）A.2B.3C.4D.510.疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（ ） A.60种 B.90种C.150种D.240种11.把14个相同的球全部放入编号为1、2、3的三个盒内，要求盒内的球数不小于盒号数，则不同的放入方法种数为（ ）A.36B.45C.72D.165 12.有7张卡片分别写有数字1，1，1，2，2，3，4，从中任取4张，可排出不同的四位数个数为（ ） A.78B.102C.114D.120二、填空题（每小题4分，共16分）13.若36421818n n C C +-=，则8nC =______.14.()2*nn N ∈展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为______.15.用红、黄、蓝、绿四种颜色给如图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有______种不同的涂色方法.（用数字回答）16.已知数列{}n a ，{1,0,1}i a ∈-，1i =，2，3，4，5，6.满足条件“12345603a a a a a a ≤+++++≤”的数列个数为______.（用数字回答） 三、解答题（共48分）17.（本小题满分8分）已知数列{}n a 是等差数列，且36a =-，60a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足12b a =，2123b a a a =++，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18.（本小题满分10分）已知函数2()22sin f x x x =+. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 19.（本小题满分10分）二项式n的二项式系数和为256. （1）求展开式中二项式系数最大的项： （2）求展开式中各项的系数和；（3）展开式中是否有有理项，若有，求其系数；若没有，说明理由20.（本小题满分10分）已知圆22:(1)13C x y -+=和直线:l y x m =+，l 与圆C 交于A ，B 两点. （1）若1m =，求弦长AB ；（2）O 为坐标原点，若90AOB ∠=︒，求直线l 的方程.21.（本小题满分10分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，平面PDC ⊥平面ABCD ，AC AD PD PC ===，90DAC ∠=︒，M 在PB 上.（1）若点M 是PB 的中点，求证：PA ⊥平面CDM ；（2）在线段PB 上确定点M 的位置，使得二面角D MC B --的余弦值为3-. 理科数学答案与解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1.【答案】D【详解】根据排列数公式可得：133523242535A ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=，故选：D.2.【答案】A【详解】每位学生都有3种选择，则4位学生的报名方式共有4381=种.故选：A. 3.【答案】B【详解】先对除甲.乙两人的其他3人排列，有33A 种，3个人排列后有4个空，然后甲、乙两人从这4个空中选2个空排列即可，所以共有3234324372A A ⋅=⨯⨯⨯=种方法，故选：B4.【答案】B【详解】先5人全排列有55120A =种不同的排法，甲排在乙左边的机会与排在右边的机会相同，所以甲排在乙左边（可以相邻，也可以不相邻）的排法总数为55111206022A =⨯=种. 故选：B 5.【答案】D【详解】由0，1，2，3组成无重复数字的四位偶数，这四个数字全部取出，有两类办法：个位数字为0时，有33A 种；个位数字为2时，先排最高位有12C ，再排除2和最高位数字外的余下两个数字有22A 种，共有1222C A ⋅种，所以成无重复数字的四位偶数有 3123226410A C A +⋅=+=.故选：D6.【答案】C【详解】：二项式展开式第1r +项的系数为1rr m T C +=，∴第m 行的第14个和第15个的二项式系数分别为13m C 与14m C，131423m m C C ∴=，整理得142133m =-，解得34m =， 故选：C. 7.【答案】A【详解】令2020()(12)f x x =-，则20200(1)(1)1b f ==-=，320201202320201022222b b b b b f ⎛⎫++++⋅⋅⋅+== ⎪⎝⎭，因此， 32020122320201(1)01122222b b b b f f ⎛⎫+++⋅⋅⋅+=-=-=- ⎪⎝⎭.故选：A. 8.【答案】B【详解】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，共有2286840A C ⋅=种选法，其中不含女生的有2264180A C =种选法，所以服务队中至少有1名女生的选法种数为840180660-=.故选：B 9.【答案】C【详解】因为20202020154(114)4-=+-，01222020202020202020202020201414144C C C C =+++⋅⋅⋅+-， 1222020202020202020202011141414C C C =+++⋅⋅⋅+，所以2020154-被7除后余数是4，故选：C10.【答案】C【详解】5名专家到3个不同的区级医院，分为1，2，2和1，1，3两种情况；分为1，2，2时安排有1223542322C C C A A ；分为1，1，3时安排有1133543322C C C A A ，所以一共有 12211333542543332222150C C C C C C A A A A +=，故选：C 11.【答案】B【详解】根据题意，先在14个球种取出1个球放到编号为2的盒子里，再取出2个球放在编号为3的盒子里，此时只需将剩下的11个球，分为3组，每组至少一个，分别放到三个盒子里即可；将11个球排成一列，排好后，有10个空位，在10个空位中任取2个，插入挡板，有21045C =种方法，即有45种将11个球分为3组的方法，将分好的3组对应3个盒子，即可满足盒内的球数不小于盒号数，则盒内的球数不小于盒号数的放入方法有45种，故选：B. 12.【答案】C【详解】根据题意，分四种情况讨论：①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1，2，3，4；此时有4424A =种顺序，可以排出24个四位数.②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，若重复的数字为1，在2，3，4中取出2个，有233C =种取法，安排在四个位置中， 有2412A =种情况，剩余位置安排数字1，可以排出31236⨯=个四位数同理，若重复的数字为2，也可以排出36个重复数字；③若取出的四张卡片为2张1和2张2，在4个位置安排两个1，有246C =种情况，剩余位置安排两个2，则可以排出616⨯=个四位数；④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1，在2，3，4中取出1个卡片，有133C =种取法，安排在四个位置中，有144C =种情况，剩余位置安排1，可以排出3412⨯=个四位数，则一共有243636612114++++=个四位数，故选C. 二.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13.【答案】28【详解】由36421818n n C C +-=，得3642n n +=-或364218n n ++-=，解得2n =，或8n =舍去，2828C =.故答案为：28. 14.【答案】210【详解】由己知()2*nn N ∈展开式中只有第6系数为52n C最大，所以展开式有11项，所以210n =，即5n =，又展开式的通项为5510611010rr rrrr T C C x --+=⋅=，令5506r -=，解得6r =，所以展开式的常数项为641010210C C ==.15.【答案】72【详解】若四种颜色全部用到，则A ，C 同色或BD 同色，则共有44222448A =⨯=种；若只用三种颜色涂色，则A ，C 同色且B 、D 同色，共有3443224A =⨯⨯=种，根据分类加法计数原理可得，共有482472+=种涂色方法.故答案为：72. 16.【答案】233【详解】因为{1,0,1}i a ∈-，1i =，2，3，4，5，6，所以i a 只能取0或1，而12345603a a a a a a ≤+++++≤，所以1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a 中出现0的个数可以是6个、5个、4个、3个，若出现6个0，则数列为常数列，共有1个常数列，若出现5个0，则出现一个1i a =，1i a =±有两种取法，共有16212C ⨯=，若出现4个0，则出现两个1i a =，共有226215460C ⨯=⨯=，若出现3个0，则出现三个1i a =，共有3362208160C ⨯=⨯=，综上所述，数列的个数为11260160233+++=.三、解答题（本大题共4小题，共48分） 17.（本小题满分8分）【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为36a =-，60a =，可得112650a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得110a =-，2d =，所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=-，*n N ∈.（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，因为212323b a a a a =++=，1222128b a ==⨯-=-，解得221233b a q b a ===，所以()()()11813413113n n n n b q S q --⨯-===---.18.（本小题满分10分）【详解】（1）因为()21cos 22sin 216f x x x x π⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭， 令222262k x k πππππ-+≤-≤+，解得63k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈所以函数()f x 的单调增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （2）因为,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin 21,62x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的值域为[1,2]-. 19.（本小题满分10分）【解析】因为二项式n的二项式系数和为256，所以2256n=， 解得8n =.（1）8n =，则展开式的通项828318812rrrr r r T C C x --+-⎛⎫=⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭.∴二项式系数最大的项为445813528T C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（2）令二项式中的1x =，则二项展开式中备项的系数和为88111122256⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（3）由通项公式及08r ≤≤且r Z ∈得当1r =，4，7时为有理项；系数分别为118142C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，44813528C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，77811216C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 20.（本小题满分10分）【详解】（1）当1m =时，直线方程为：10x y -+=，圆C 的圆心坐标为(1,0)C，半径r =. 圆心C到直线的距离d ==||AB ==（2）联立22(1)13y x m x y =+⎧⎨-+=⎩，得222(22)120x m x m +-+-=， 由()22(22)8120m m ∆=--->，解得22250m m +-<.（*）设()11 ,A x y ，()22,B x y ，则121x x m +=-，212122m x x -=，由90AOB ∠=︒得()()()21212121212122OA OB x x y y x x x m x m x x m x x m ⋅=+=+++=+++解得：4m =-或3m =，符合（*）.直线l 的方程为：4y x =-或3y x =+. 21.（本小题满分10分）【解析】（1）证明：取DC 的中点O ，连接PO ，OA .则PO DC ⊥，AO DC ⊥，又PO OA O ⋂=，从而CD ⊥平面PAO ，故CD PA ⊥.取PA 的中点N ，连接ON ，MN ，则ON PA ⊥.由M 为PB 中点，得四边形MNOC 为平行四边形，所以2212(1)0m m m m =-+-+=//CM ON ，所以CM PA ⊥.又CM ⊂平面CDM ，CD ⊂平面CDM ，CM CD C ⋂=，所以PA ⊥平面CDM .（2）解：由平面PDC ⊥平面ABCD 得PO ⊥平面ABCD ，故以OA ，OC ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设2DC =，由已知得：(0,1,0)D -，(0,1,0)C ，(1,2,0)B ，(0,0,1)P ，设平面MCB 的法向量为()111,,1n x y =，由(1,1,0)CB =，(0,1,1)CP =-，得：111111101 110n CB x y x y n CP y ⎧⋅=+==-⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=-+=⎩⎪⎩，则1(1,1,1)n =-. 设(01)PM PB λλ=<<，则(,2,1)M λλλ-，从而(0,2,0)DC =，(,21,1)CM λλλ=--，设平面DCM 的法向量为()222,,1n x y =，则由2212221120(21)100n DC y x n CM x y y λλλλλ-⎧⋅⎧⎪⎨⎪===⎪⇒⎨⋅=+-+-=⎪=⎩⎩，则21,0,1n λλ-⎛⎫=⎪⎝⎭所以121cos ,n n λ-<>==，解得12λ=. 故当点M 是PB 的中点时，二面角D MC B --的余弦值为3-.。