一段的长x.
（来自教材）
1.整式 2.一个未知数 3.最高次数为2
使方程两边 一
相等的未知
元 二
数的值
次 方
程
的
根
一元二次方程的定义 一元二次方程
建立一元二次方程的模型
一 元
二 a x²+b x+ c =0
次 方 程 的 一 般 形 式
判别一元二次方程的“两方法”： (1)根据定义要把握三点：一是整式方程；二是含
有一个未知数；三是未知数的最高次数是2. (2)根据一般形式要把握两点：一是能化成ax2＋bx
＋c＝0的形式，且a一定不能为0，而b，c都可以 为0；二是判断是否为一元二次方程与其解的情 况无关．
1.必做: 完成教材P4 T1-T7 2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
列方程
（来自《点拨》）
总结
知4－讲
建立一元二次方程模型解决实际问题时，既 要根据题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目 中隐含的一些常用关系式(如面积公式、体积公式、 利润公式等)进行列方程．
（来自《点拨》）
知4－练
1 随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关 部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8 万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程 中正确的是( ) A．20(1＋2x)＝28.8 B．28.8(1＋x)2＝20 C．20(1＋x2)＝28.8 D． 20＋(1＋2x)＋20(1＋x)2＝28.8
（来自《点拨》）
总结
知3－讲
判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法： 将这个值代入一元二次方程，看方程的左右两
边是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等， 就不是方程的根．
（来自《点拨》）
1 方程x2+x－12＝0的两个根为( ) A．x1＝－2，x2＝6 B．x1＝－6，x2＝2 C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝－4，x2＝3
例1 下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋ 1 ＝2； x
③x2－x－2＝0；④x2－2＋5x3－6x＝0；
知1－讲
⑤2x2－3x＝2(x2－2)，是一元二次方程的有( A )
A．1个 B. 2个 C．3个 D．4个
导引： ①x2＋y－6＝0 有两个未知数 ×
②x2＋ 1 ＝2 x
不是整式方程 ×
和常数项．
解：去括号，二次方程的一般形式
二次项
3x2－8x－10＝0.
系数所以二次项系数为3，一次项系数为常－数8项， 常数项为－一1次0. 项系数
总结
知2－讲
(1)ax2＋bx＋c＝0，当a≠0时，方程才是一元二次方 程，但b，c可以是0.
(2)将一个一元二次方程化成一般形式，可以通过去 分母、去括号、移项、合并同类项等步骤．
(3)指出一元二次方程的某项时，应连同未知数一起； 指出某项系数时应连同它前面的符号一起.
（来自《点拨》）
知2－练
1 把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，b，
c的值分别是( )
A．1，－3，10
B．1，7，－10
C．1，－5，12
D．1，3，2
（来自《典中点》）
知2－练
2 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写 出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)5x2－1＝4x；(2)4x2＝81； (3)4x(x＋2)＝25； (4)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.
A．ax2＋bx＋c＝0 C．x2＋ 1 ＝2
x
B．x2＋1－x2＝0 D．x2－x－2＝0
2 若方程(m－1)x|m|+1－2x＝3是关于x一元二次方程，
则( )
A．m＝1
B． m＝－1
C． m＝±1
D．m≠±1
（来自《典中点》）
知识点 2 一元二次方程的一般形式
知2－导
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经 过整理，都能化成如下形式：ax²+bx+c=0 (a≠0)这 种形式叫做一元二次方程的一般形式 .
知4－讲
建立一元二次方程模型的一般步骤： (1)审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之
间的关系； (2)设出合适的未知数，一般设为x； (3)确定等量关系； (4)根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为
一般形式．
知4－讲
例4 小雨在一幅长90 cm，宽40 cm的油画四周外围镶上一条宽
度相同的边框，制成一幅挂图并使油画画面的面积是整
根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，
比赛组织者应该邀请多少个队参赛？
全部比赛场数为 4 7 28 .
设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x－1)个队各赛一场，
因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所 以全部比赛共 1 x x 1 场.
2
列方程 1 x x 1 28 2
知1－导
问 题（一）
如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切 去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方 盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应 切去多大的正方形？
知1－导
设切去的正方形的边长是x cm，则盒底的
长为(100－2x)cm，宽为(50－2x)cm.根据方
（来自《典中点》）
知4－练
2 根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程
化成一元二次方程的一般形式：
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正
方形的边长x；
(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的
长x；
(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与
全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短
2
x
一元一次方程
1、只有一个未知数 2、未知数的指数是一次 3、方程的两边都是整式
导入新知
在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)
的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉
美感．按此比例，如果雕像的高为2 m，那么它的下部应设
计为多高？
A
如图，雕像的上部高度AC与下部高度BC
应有如下关系：
AC∶BC＝BC∶2，即BC2＝2AC.
C
设雕像下部高x m，可得方程x2＝2(2－x)，
整理得
x2＋2x－4＝0.
B
这个方程与我们学过的一元一次方程不同，其 中未知数x的最高次数是2. 如何解这类方程？ 如何用这类方程解决一些实际问题？
这就是本章要学习的主要内容．
知识点 1 一元二次方程的定义
知3－练
（来自《典中点》）
知4－讲
知识点 4 利用一元二次方程建立实际问题模型
一元二次方程的模型：
一元二次方程是刻 画现实世界的一个有效 数学模型，它是把实际 问题中语言叙述的数量 关系通过设未知数用一 元二次方程来表达．
常用于一元二次方程 来建模的问题有：
• 圆形的面积 • 增长(利润)率 • 行程问题 • 工程问题等
为什么规定a≠0，b， c可以为0吗？
一元二次方程的项和各项系数
二次项 系数
a≠0
一次项系 数
a x²+b x+ c =0
二次项 一次项
知2－讲
指出方程各项的 系数时要带上前
面的符号.
常数项
知2－讲
例2 将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一
般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数
④x2－2＋5x3－6x＝0 未知数的最高次数是3 ×
⑤2x2－3x＝2(x2－2) 整理后二次项系数为零 ×
只有③符合一元二次方程的定义
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
一元二次方程的识别方法： 整理前：①整式方程，②只含一个未知数； 整理后：未知数的最高次数是2.
（来自《点拨》）
知1－练
1 下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( )
盒的底面积为3600cm2，得 (100－2x)(50－2x)＝3 600.
整理，得4x2－300x＋1400=0 化简，得x2－75x＋350=0
化简后的方程中 未知数的个数和
最高次数各是 多少？
解上面方程即可得出所切正方形
的具体尺寸.
问 题（二）
知1－导
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．
整理，得 1 x2 1 x 28 22
化简，得 x2 x 56 解上面方程即可得出参赛队数.
知1－导
思考：方程 x2 2x 4 0， x2－75x+350=0， x2 x 56 有什么共同点？
可以发现
1、只含有一个未知数 2、未知数的最高次数是2次 3、等号的两边都是整式
知1－讲
定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)， 并且未知数的最高次数是2(二次) 的方程，叫做 一元二次方程．
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
第1课时 认识一元二次 方程
1 课堂讲解 一元二次方程的定义
一元二次方程的一般形式 一元二次方程的解(根) 利用一元二次方程建立实际问题模型
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
回顾旧知
判断下列式子是否是一元一次方程：
x 9 6.5 2 0.3x 5 1 1 2
个挂图面积 的54%，设边框的宽度为x cm，根据题意，列
出方程． 在油画四周外围x镶上宽度 90
本题涉及两个基本量： 油画的面积与整个挂
40+2x
为x cm的边框，则整4个0 挂
图的面积．
图的长与宽各增加了多少？利用长方形的面积公