建筑力学行动导向教学案例教案提纲模块七压杆稳定性 7.1压杆稳定的概念为了说明问题，取如图7-2 (a)所示的等直细长杆，在其两端施加轴向压力 F ,使杆在直线状态下处于平衡，此时，如果给杆以微小的侧向干扰力， 使杆发生微小的弯曲，然后撤去干扰力，贝9当杆承受的轴向压力数值不同时， 其结果也截然不同。

当杆承受的轴向压力数值F 小于某数值F cr时，在撤去干扰力以后， 杆能自动恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡,(a)、(b)所示，这种原有的直线平衡状态称为稳定的平衡;压力F 小于匚 时，杆件就能够保持稳定的平衡，这种性能称为压杆具有稳定性；而当压Fcr杆所受的轴向压力 F 等于或者大于Fcr 时，杆件就不能保持稳定的平衡而失稳。

压杆经常被应用于各种工程实际中，例如脚手架立杆和基坑支护的支撑杆，均承受压力， 此时必须考虑其稳定性，以免引起压杆失稳破坏。

7.2临界力和临界应力7.2.1细长压杆临界力计算公式一一欧拉公式从上面的讨论可知，压杆在临界力作用下，其直线状态的平衡将由稳定的平衡转变为不稳 定的平衡，此时，即使撤去侧向干扰力，压杆仍然将保持在微弯状态下的平衡。

当然，如果压力 超过这个临界力，弯曲变形将明显增大。

所以，使压杆在微弯状态下保持平衡的最小的轴向压力,即为压杆的临界压力。

下面介绍不同约束条件下压杆的临界力计算公式。

一、两端铰支细长杆的临界力计 算公式一一欧拉公式设两端铰支长度 为z 的细长杆，在轴向压力/cr 的作 用下保持微弯平衡状态，如图7-3所示。

杆在小变形时其挠曲线近似微分方程为:图7-2到某一数值匚时，即使撤去干扰力，杆仍然处于微弯形F cr 状，不能自动恢复到原有的直线平衡状态，如图 7-2 (c)、(d)所示，则原有的直线平衡状态为 不稳定的平衡。

如果力 F 继续增大，则杆继续弯曲， 产生显著的变形，甚至发生突然破坏。

上述现象表明，在轴向压力 F 由小逐渐增大的过程中，压 杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆 丧失稳定性或者压杆失稳。

显然压杆是否失稳取决于轴向 压力的数值，压杆由直线状态的稳定的平衡过渡到不稳定 的平衡时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界 力，用表示 /cr 当压杆所受的轴向图7-2 如图7-2 图7-1F 逐渐增大当杆承受的轴向压力数值图7-1【例7.2-1】如图7-4所示，一端固定另一端自由的细长压杆，其杆长I =2m ,截面形状为矩形，b =20mm h=45mm 材料的弹性模量 E=200GPa=试计算该压杆的临界力。

若把截面改为 b 二h =30mm 而保持长度不变，则该压杆的临界力又为多大？解（1）计算截面的惯性矩由前述可知，该压杆必在弯曲刚度最小的 xy 平面内失稳，故公式（4-53）的惯性矩应以最小惯性矩代入，即在图7-3所示的坐标系中，坐标 z 处横截面 上的弯矩为：= —F cr >将式（b 代入式（a ），得EI进一步推导（过程从略），可得临界力为：F 上咔^（公式7-1）上式即为两端铰支细长杆的临界压力计算公式，称为欧拉公式图7-3从欧拉公式可以看岀，细长压杆的临界力 F cr 与压杆的弯曲刚度成正比，而与杆长 I 的平方成反比。

、其他约束情况下细长压杆的临界力杆端为其他约束的细长压杆，其临界力计算公式可参考前面的方法导岀，也可以采用类比的方法得到。

经验表明，具有相同挠曲线形状的压杆，其临界力计算公式也相同。

于是，可将两 端铰支约束压杆的挠曲线形状取为基本情况，而将其他杆端约束条件下压杆的挠曲线形状与之进行对比，从而得到相应杆端约束条件下压杆临界力的计算公式。

为此，可将欧拉公式写成统一的形式:F一斥 EIcr（妙（公式7-2 ）支卓情况尸值表7-1压杆长度系数一端固定 一端鰻支两端固定 一端固定—端自由0. 5I1 ）若设■ p 为压杆的临界应力达到材料的比例极限 二p 时的柔度值，则:人"=人 1212⑵ 计算临界力查表 4-12得U =2，因此临界力为：p =H X200X 1°却 X3X1°也= 70]N = 3 70kN"（辺2（2X2X103）2 ' 衣⑶ 当截面改为b =h=30mm 时压杆的惯性矩为：加 3O 4人=人=丸=〒7 = 6・75X104mm 4y12 12代入欧拉公式，可得：F=迪=cr（0尸（2X2X0）从以上两种情况分析，其横截面面积相等，支承条件也相同，但是，计算得到的临界力后 者大于前者。

可见在材料用量相同的条件下，选择恰当的截面形式可以提高细长压杆的临界力。

7.2.2欧拉公式的适用范围一、临界应力和柔度前面导岀了计算压杆临界力的欧拉公式，当压杆在临界力时，其横截面上的压应力等于临界力匚“除以横截面面积A ，称为临界应力，用 坊 表示，即cr— cr上式为计算压杆临界应力的欧拉公式，式中 •称为压杆的柔度（或称长细比）。

柔度，是一个无量纲的量，其大小与压杆的长度系数 U 、杆长I 及惯性半径i 有关。

由于压杆的长度系数 U 决定于压杆的支承情况，惯性半径i 决定于截面的形状与尺寸，所以，从物理意义上看，柔度•综合地反映了压杆的长度、截面的形状与尺寸以及支承情况对临界力的影响。

从式 （7-3）还可以看岀，如果压杆的柔度值越大，则其临界应力越小，压杆就越容易失稳。

二、欧拉公式的适用范围欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程导岀的，而应用此微分方程时，材料必须服从虎克定 理。

因此，欧拉公式的适用范围应当是压杆的临界应力◎ cr 不超过材料的比例极限 d p ，即：= ^ = 45X20i = 3Xlo1mm1图7-4F cr作用下处于直线状态的平衡（公式7-3 ）I200XWX 严 5X10*83 湖=&33kN若设■ p为压杆的临界应力达到材料的比例极限二p时的柔度值，则:A>A P上式表明，当压杆的柔度不小于 ，p 时，才可以应用欧拉公式计算临界力或临界应力。

这类压杆称为大柔度杆或细长杆，欧拉公式只适用于大柔度杆。

料性质，不同的材料都有自己的E 值和p 值，所以，不同材料制成的压杆，其人p也不同。

例如 Q235钢，二 p = 200MPa ，E=200GPq 由式（7-4）即可求得,132.82= 275000N =275KN7.3中长杆的临界力计算一一经验公式、临界应力总图7.3.1中长杆的临界力计算一一经验公式上面指岀，欧拉公式只适用于大柔度杆，即临界应力不超过材料的比例极限 （处于弹性稳定状态）。

当临界应力超过比例极限时，材料处于弹塑性阶段，此类压杆的稳定属于弹塑性稳定（非弹性稳定）问题，此时，欧拉公式不再适用。

对这类压杆各国大都采用经验公式计算临界力或者 临界应力，经验公式是在试验和实践资料的基础上，经过分析、 归纳而得到的。

各国采用的经验公式多以本国的试验为依据，因此计算不尽相同。

我国比较常用的经验公式有直线公式和抛物线公式等，本书只介绍直线公式，其表达式为(7-6 )故欧拉公式的适用范围为(7-4 )Ap =(7-5 )从式（4-55）可知，人p 的值取决于材p=100。

【例7.2-2】Q235钢制成的矩形截面杆，两端约束以及所承受的载荷如图示（（在 AB 两处为销钉连接。

若已知 L = 2300mm b = 40mm h = 60mm 材料的弹试求此杆的临界载a ）为正视图（b ）为俯视图）， 性模量E = 205GPa 。

荷。

解：二-1.0I z1-0.5i z'yi y=，A =^3h 2 ”3 二 b 2.3 i y1 23002 360 1 2300 2340= 99.6> -101- 160mmfD ---- 1/ ■L40mmd 1 中 1 A= 132.8 - > =10160mmEP「40mm 2300mm2 33.14 汽 205 汉 10 汉 40(b)cr图7-5式中a和b ——与材料有关的常数，其单位为MPa —些常用材料的a、b值可见表7-2材料 a / MPa b / MPa扎P扎sQ235钢⑴= 235MPas304 1.1210062硅钢Q-7 s= 353MPa577 3.7410060b ‘510MPa铬钼钢980 5.29550硬铝372 2.14500铸铁331.9 1.453松木39.20. 199590表7-2 几种常用材料的a、b值应当指岀，经验公式（7-6）也有其适用范围，它要求临界应力不超过材料的受压极限应力。

这是因为当临界应力达到材料的受压极限应力时，压杆已因为强度不足而破坏。

因此，对于由塑压杆已因为强度不足而破坏。

性材料制成的压杆，其临界应力不允许超过材料的屈服应力或令得: ，即:~b(7-7)式中.一一临界应力等于材料的屈服点应力时压杆的柔度值。

与"s.P一样，它也是一个与材料的性质有关的常数。

因此，直线经验公式的适用范围为：A5<A<A F计算时，一般把柔度值介于九s与X P之间的压杆称为中长杆或中柔度杆，而把柔度小于九s的压杆称为短粗杆或小柔度杆。

对于柔度小于九p的短粗杆或小柔度杆，其破坏则是因为材料的抗压强度不足而造成的，如果将这类压杆也按照稳定问题进行处理，则对塑性材料制成的压杆来说，可取临界应力二“；s。

7.3.2临界应力总图综上所述，压杆按照其柔度的不同，可以分为三类,并分别由不同的计算公式计算其临界应力。

当时，压杆为细长杆（大柔度杆），其临界应力用欧拉公式■ > ■（7-3）来计算；当 h s <k <k p 时，压杆为中长杆（中柔度杆），其临界应力用经验公式（7-6）来计算；九兰& s 时，压杆为短粗杆（小柔度杆），其临界应力等于杆受压时的极限应力。

如果把压杆 的临界应图7-6力根据其柔度不同而分别计算的情况，用一个简图来表示，该图形就称为压杆的临界应力总图。

图7-6即为某塑性材料的临界应力总图。

【例7.3-1】图7-7所示为两端铰支的圆形截面受压杆，用Q235钢制成，材料的弹性模量E=200GPa 屈服点应力=235MPa 直径d=40mm 试分别计算下面三种情况下压杆的临界力：s(1) 杆长 I =1.2m ； (2)杆长 I =0.8m ； (3)杆长 I = 0.5m因为扎s <九<h p ，所以该杆为中长杆，应用直线经验公式来计算临界力。

查表 7-2，Q235钢 a=304MPa b=1.12MPa轧=mA=a —加）呼=（304 — 1* 12X80） X rX ^0'=269. 4X103N-=269. 4kN⑶ 计算杆长I =0.5m 时的临界力#=], z = 10mm「竿=空0書XW =5g ； = 62压杆为短粗杆（小柔度杆），其临界力为F tr A - 235 X^295, 3X103N-295. 3kN7.4压杆的稳定计算7.4.1压杆稳定实用计算公式解（1）计算杆长I =1.2m 时的临界力。